1第二章

單自由度體系的振動(dòng)2§2.7對(duì)一般動(dòng)力荷載的響應(yīng)

1、瞬時(shí)沖量設(shè)體系在t=0時(shí)處于靜止?fàn)顟B(tài)，然后施加瞬時(shí)沖量S。(在時(shí)間內(nèi)作用荷載P，其沖量。體系將產(chǎn)生初速度，但初位移仍為零。

在t=0時(shí)作用瞬時(shí)沖量S所引起的動(dòng)力響應(yīng)為：3§2.7對(duì)一般動(dòng)力荷載的響應(yīng)

如果在時(shí)作用有瞬時(shí)沖量S，則在以后任一時(shí)刻的動(dòng)力響應(yīng)為：4

§2.7對(duì)一般動(dòng)力荷載的響應(yīng)

2、無(wú)阻尼Duhamel積分

任意的一般性荷載，在時(shí)刻的荷載強(qiáng)度為,

在一短時(shí)間間隔范圍內(nèi)作用這荷載，則會(huì)在結(jié)構(gòu)上產(chǎn)生一個(gè)短持續(xù)時(shí)間的沖量，沖量導(dǎo)致的響應(yīng)：5§2.7對(duì)一般動(dòng)力荷載的響應(yīng)

線(xiàn)性彈性體，總響應(yīng)為荷載作用時(shí)間的全部微分響應(yīng)的疊加，即對(duì)下式進(jìn)行積分。整個(gè)荷載時(shí)程可看作由一系列瞬時(shí)沖量組成，每一個(gè)脈沖將產(chǎn)生一個(gè)如式所示的微分響應(yīng)。

表示在的整個(gè)響應(yīng)時(shí)程范圍內(nèi)微分沖量的微分響應(yīng)，不是時(shí)間間隔內(nèi)的變化。6

作用：計(jì)算任意形式的動(dòng)力荷載作用下無(wú)阻尼單自由度體系的動(dòng)力響應(yīng)。無(wú)阻尼體系的杜哈梅Duhamel積分地震荷載風(fēng)荷載自由振動(dòng)

在荷載變化很不規(guī)則時(shí)，計(jì)算可能需要利用數(shù)值積分來(lái)進(jìn)行。如果初始位移和初始速度不為零，則總位移為:§2.7對(duì)一般動(dòng)力荷載的響應(yīng)

7式中：卷積積分（convolutionintegral）單位脈沖響應(yīng)意義：表示在時(shí)，在一個(gè)單位大小的脈沖作用下，結(jié)構(gòu)體系的動(dòng)力響應(yīng)。§2.7對(duì)一般動(dòng)力荷載的響應(yīng)

寫(xiě)成：83、有阻尼杜哈梅積分有阻尼體系在一般動(dòng)力荷載下的響應(yīng)的杜哈梅積分，當(dāng)時(shí)，微分沖量引起的動(dòng)力響應(yīng)為:§2.7對(duì)一般動(dòng)力荷載的響應(yīng)

在整個(gè)荷載作用時(shí)間內(nèi)對(duì)這些微分響應(yīng)求和，則有阻尼體系的振動(dòng)響應(yīng)為:有阻尼體系對(duì)單位脈沖的動(dòng)力響應(yīng)為:91)荷載函數(shù)是可積的，則結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)可利用下式進(jìn)行計(jì)算。2）對(duì)于許多實(shí)際情況，荷載由試驗(yàn)數(shù)據(jù)提供，此時(shí)的響應(yīng)計(jì)算就必須借助于數(shù)值分析方法。§2.7對(duì)一般動(dòng)力荷載的響應(yīng)

4、杜哈梅積分的數(shù)值計(jì)算10無(wú)阻尼體系的動(dòng)力響應(yīng)積分表達(dá)式：杜哈梅積分的數(shù)值計(jì)算，實(shí)質(zhì)上就是對(duì)上式進(jìn)行數(shù)值積分。其中：§2.7對(duì)一般動(dòng)力荷載的響應(yīng)

11三種基本的數(shù)值計(jì)算近似方法，其求和表達(dá)式為：討論積分項(xiàng)§2.7對(duì)一般動(dòng)力荷載的響應(yīng)

考慮等時(shí)間增量，令1）簡(jiǎn)單求和法：2）梯形法則：3）辛普森（Simpson）法則：121）簡(jiǎn)單求和法：為了獲得整個(gè)響應(yīng)歷程特征，把方程寫(xiě)成增量形式：§2.7對(duì)一般動(dòng)力荷載的響應(yīng)

2）梯形法則：目的：計(jì)算一系列相繼時(shí)刻的響應(yīng)，其中兩相鄰時(shí)刻的間隔為（用辛普森法則時(shí)）。3）辛普森法則：積分項(xiàng)可用相同的方法進(jìn)行計(jì)算。其中，表示在時(shí)刻所得到的和。無(wú)阻尼體系動(dòng)力響應(yīng)的數(shù)值解：13§2.8阻尼理論與阻尼比的量測(cè)

1、關(guān)于粘滯阻尼理論的討論單自由度體系，按照粘滯阻尼理論建立了體系的自由振動(dòng)和強(qiáng)迫振動(dòng)方程：在簡(jiǎn)諧荷載作用下，設(shè)結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：相應(yīng)的速度為：14時(shí)間t增加dt時(shí)相應(yīng)的位移增量為dy，故總功為：

等于橢圓所包圍的面積。阻尼力和位移y都隨時(shí)間變化，在一周期內(nèi)做的總功可以看成是在各個(gè)時(shí)間微量dt上所做功的總和?！?.8阻尼理論與阻尼比的量測(cè)

粘滯阻尼的阻尼力為：因此：表示阻尼力和位移y之間呈橢圓型關(guān)系。15

粘滯阻尼理論的耗能和外加荷載的頻率成正比，振動(dòng)越快，每周耗散的能量越大。§2.8阻尼理論與阻尼比的量測(cè)

用表示粘滯阻尼振動(dòng)一個(gè)周期時(shí)的能量耗散，通常稱(chēng)為耗能，即實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：對(duì)于許多結(jié)構(gòu)振動(dòng)一個(gè)周期的耗能與頻率無(wú)關(guān)，即耗能與振動(dòng)的快慢無(wú)關(guān)。

粘滯阻尼理論的耗能就是一個(gè)橢圓面積，是個(gè)環(huán)，稱(chēng)為滯回環(huán)。

利用粘滯阻尼理論分析結(jié)構(gòu)振動(dòng)的結(jié)果，并不能與實(shí)驗(yàn)結(jié)果很好地吻合，尤其是在能量耗散機(jī)理上表現(xiàn)出與實(shí)驗(yàn)結(jié)論的不一致性。但是，粘滯阻尼理論使體系的振動(dòng)微分方程保持為線(xiàn)性，計(jì)算簡(jiǎn)便，因此仍然得到廣泛應(yīng)用。162、阻尼比的量測(cè)§2.8阻尼理論與阻尼比的量測(cè)

多數(shù)情況下，結(jié)構(gòu)的質(zhì)量和剛度可以較容易地用物理方法進(jìn)行分析與計(jì)算，通常不可能用計(jì)算的方法來(lái)確定阻尼系數(shù)。許多結(jié)構(gòu)體系的阻尼必須直接用試驗(yàn)的方法來(lái)量測(cè)。用實(shí)測(cè)結(jié)果計(jì)算結(jié)構(gòu)阻尼的幾個(gè)主要方法。自由振動(dòng)衰減法共振放大法半功率譜法17a）自由振動(dòng)衰減法§2.8阻尼理論與阻尼比的量測(cè)

求解：如果是在任一時(shí)刻的振動(dòng)幅值，而為n周后的幅值，則阻尼比：方法：用任意手段使一個(gè)體系產(chǎn)生自由振動(dòng)后，阻尼比可用相隔n周后量得的兩個(gè)位移幅值的比來(lái)確定。自由振動(dòng)衰減試驗(yàn)：最簡(jiǎn)單且最常用的方法18為對(duì)數(shù)衰減率?！?.8阻尼理論與阻尼比的量測(cè)

自由振動(dòng)方法的主要優(yōu)點(diǎn)：所需儀器設(shè)備少，可用任何簡(jiǎn)便的方法產(chǎn)生振動(dòng)。一般阻尼比都小于0.2，不考慮阻尼引起的頻率變化。和分別為無(wú)阻尼和有阻尼時(shí)的固有頻率。19典型的頻率響應(yīng)曲線(xiàn)b)共振放大法在結(jié)構(gòu)上作用包括共振頻率在內(nèi)的一系列較密分布頻率的簡(jiǎn)諧荷載，然后分析振幅與荷載頻率之間的關(guān)系曲線(xiàn)，即結(jié)構(gòu)頻率響應(yīng)曲線(xiàn)?！?.8阻尼理論與阻尼比的量測(cè)

任意給定頻率的動(dòng)力放大系數(shù)是該頻率的響應(yīng)幅值與零頻率(靜止?fàn)顟B(tài))響應(yīng)幅值的比值。阻尼比與共振時(shí)的動(dòng)力放大系數(shù)是緊密相關(guān)的。20§2.8阻尼理論與阻尼比的量測(cè)

當(dāng)靜響應(yīng)和共振響應(yīng)幅值分別用和表示時(shí)，阻尼比為：在實(shí)際加載時(shí)，施加準(zhǔn)確的共振頻率比較困難，而確定最大響應(yīng)幅值則比較方便。

忽略了阻尼對(duì)頻率的影響，對(duì)于一般的結(jié)構(gòu)而言，引起的誤差很小。阻尼比：優(yōu)缺點(diǎn)：所需儀器也很簡(jiǎn)單，但是，大多數(shù)加載體系不能在零頻率時(shí)工作，因此在產(chǎn)生靜位移時(shí)可能會(huì)出現(xiàn)困難。21

半功率法：利用阻尼比對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)曲線(xiàn)有很大影響，根據(jù)曲線(xiàn)的變化特性來(lái)分析結(jié)構(gòu)阻尼比。§2.8阻尼理論與阻尼比的量測(cè)

c)半功率譜法方法：阻尼比由響應(yīng)減小到時(shí)的頻率來(lái)確定，在此頻率下輸入為共振功率的一半。22將方程兩邊平方，求得頻率比為：§2.8阻尼理論與阻尼比的量測(cè)

得兩個(gè)半功率頻率為：23

阻尼比等于這兩個(gè)半功率頻率差值的一半?！?.8阻尼理論與阻尼比的量測(cè)

在共振響應(yīng)幅值的處作一條切割響應(yīng)曲線(xiàn)的水平線(xiàn)，此線(xiàn)與曲線(xiàn)相交的兩個(gè)頻率間的差值，即為阻尼比的兩倍。優(yōu)點(diǎn)在于可以避免量測(cè)結(jié)構(gòu)靜響應(yīng)，但需要得到較高精度的共振響應(yīng)曲線(xiàn)。24

等效粘滯阻尼比

實(shí)際結(jié)構(gòu)并非粘滯阻尼體系。利用粘滯阻尼體系簡(jiǎn)化的計(jì)算結(jié)論§2.8阻尼理論與阻尼比的量測(cè)

試驗(yàn)結(jié)果表明，結(jié)構(gòu)在振動(dòng)時(shí)，阻尼因素所起影響的大小主要取決于耗能的數(shù)值，與一個(gè)周期內(nèi)形成能量損耗的具體過(guò)程無(wú)顯著關(guān)系。建立等效粘滯阻尼比的計(jì)算理論。假設(shè)體系為一個(gè)等效粘滯阻尼（equivalentviscousdamping）體系。

假設(shè)等效粘滯阻尼體系一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)所損耗的能量正好與實(shí)際結(jié)構(gòu)在一個(gè)振動(dòng)周期內(nèi)所損耗的能量相等，且兩者具有相等的位移振幅值。25

§2.8阻尼理論與阻尼比的量測(cè)

等效粘滯阻尼體系中的阻尼常數(shù)和阻尼比分別為等效阻尼常數(shù)和等效阻尼比。實(shí)線(xiàn)表示實(shí)際結(jié)構(gòu)的滯回曲線(xiàn)（hystereticcurve），包圍面積為：虛線(xiàn)所表示的橢圓為等效的滯回曲線(xiàn)，包圍的面積為；兩者面積相等，并有相同的位移振幅A。

在簡(jiǎn)諧荷載作用下發(fā)生共振時(shí)，慣性力和彈性力等值反向，根據(jù)平衡條件，阻尼力應(yīng)該與荷載值等值反向。26

即可得到等效阻尼常數(shù)和等效阻尼比?！?.8阻尼理論與阻尼比的量測(cè)

方法：測(cè)出荷載值、量測(cè)相應(yīng)的位移值，作出實(shí)際結(jié)構(gòu)的滯回曲線(xiàn)，此曲線(xiàn)的面積即為，于是利用式：27

在結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)中，無(wú)論是用自由振動(dòng)衰減曲線(xiàn)確定阻尼比，還是用簡(jiǎn)諧荷