目錄下頁上頁11章能量法1目錄下頁上頁內容提要能力要求應變能、余能、卡氏第一定理、余能定理、卡氏第二定理、單位力法理解功能原理熟練計算結構的應變能熟練應用卡氏第二定理了解卡氏第一、二定理、余能定理的意義了解單位力法，用其計算線彈性結構的位移211章

能量法11.1能量法的基本概念11.2應變能11.3卡氏定理11.4用能量法解超靜定問題11.5虛位移原理與單位力法11.6本章的主要內容及學習重點目錄下頁上頁3目錄下頁上頁§11.1能量法基本概念

利用功和能的概念及能量守恒定律，求解可變形固體的位移、變形和內力等的方法。2.能量法的應用范圍：1.能量法（1）線彈性體；非線性彈性體（2）靜定問題；超靜定問題（3）是有限單元法的重要基礎4目錄下頁上頁§11.2應變能

1.桿件應變能的計算軸向拉伸或壓縮（1）應變能（a）軸力沿軸線不變5目錄下頁上頁（b）軸力沿軸線變化（2）應變能密度6目錄下頁上頁（b）扭矩沿軸線變化（1）應變能（a）扭矩沿軸線不變扭轉7目錄下頁上頁（2）純剪切應力狀態(tài)下的應變能密度8目錄下頁上頁（1）純彎曲彎曲9目錄下頁上頁（2）橫力彎曲微段dx整個梁10目錄下頁上頁組合變形下應變能11目錄下頁上頁對圖(a)的拉桿,其F-關系如圖（b）F在d上所作微功為

dW=Fd

F作的總功為：（F-曲線與橫坐標軸間的面積）AFl(a)FF1FdDO1(b)非線性彈性體的應變能表達式ΔΔ12目錄下頁上頁由能量守恒得應變能：類似，可得其余變形下的應變能：(此為由外力功計算應變能的表達式）13目錄下頁上頁應變能密度:(-曲線與橫坐標軸間的面積）sOde11(c)

若取邊長分別為dx、dy、dz

的單元體，則此單元體的應變能為：整個桿的應變能為：(此為由應變能密度計算應變能的表達式)特別地，在拉桿整個體積內為常量14目錄下頁上頁對于線彈性問題(3)已知內力函數求應變能(線彈性問題)(1)已知對于線彈性問題(2)已知應變能的計算方法15目錄下頁上頁(4)已知位移函數求應變能16目錄下頁上頁例彎曲剛度為EI的簡支梁受均布荷載q作用，如圖所示,

試求梁內的應變能解：梁的撓曲線方程為：荷載所作外力功為：得：wxlyABqx17目錄下頁上頁[例]如圖桿系受F作用，求應變能解：BAF18目錄下頁上頁或：（幾何非線性彈性問題）應變能為：FO19目錄下頁上頁2.余能設圖a為非線性彈性材料所制成的拉桿，拉桿的F-曲線如圖b

“余功Wc”定義為：F(a)FOdF1F1(b)

與余功相應的能稱為余能Vc，余功Wc與余能Vc

在數值上相等20目錄下頁上頁即：（F-曲線與縱坐標軸間的面積）FOdF1F1(b)21目錄下頁上頁余能密度vc為：（圖c中-與縱坐標軸間的面積）也可由余能密度vc計算余能V

c：Od1(c)22目錄下頁上頁對線彈性材料，余能和應變能僅在數值上相等，其概念和計

算方法卻截然不同。注意：對非線性材料，則余能V

c與應變能V

在數值上不一定相等。余功、余能、余能密度都沒有具體的物理概念，僅是具有功和能的量綱而已。23目錄下頁上頁例試計算圖a所示結構在荷載F1作用下的余能Vc。結構中

兩桿的長度均為l，橫截面面積均為A。材料在單軸拉伸

時的應力一應變曲線如圖b所示。解：兩桿軸力均為：O11(b)F1CBD(a)24目錄下頁上頁§11.3卡氏定理1.卡氏第一定理設圖中材料為非線性彈性應變能只與最后荷載有關，

與加載順序無關

按比例方式加載假設與第i個荷載相應的位移有一微小增量di,則應變能的變

化為：123n123nB（卡氏第一定理）外力功的變化為：25目錄下頁上頁注意：卡氏第一定理既適合于線彈性體，也適合于非線性彈性體。式中Fi及i分別為廣義力、廣義位移。必須將V

寫成給定位移的函數，才可求其變化率?？ㄊ系谝欢ɡ?6目錄下頁上頁例平面桁架，受集中力F，如圖a所示。兩桿的材料相同，

彈性模量為E，面積均為A，且均處于線彈性范圍內。試

按卡氏第一定理，求結點B的水平和鉛垂位移。設結點B的水平和鉛垂位移分別為1和2，先假設結點B只發(fā)生水平位移1

（圖b）則：AB(b)CB'1ABF45O(a)ClAB(c)CB''2同理，結點B只發(fā)生鉛垂位移2（圖c）27目錄下頁上頁當水平位移與鉛垂位移同時發(fā)生時，則有（疊加）應用卡氏第一定理得解得：桁架的應變能為28目錄下頁上頁2.卡氏第二定理設有非線性彈性的梁，梁內的余能為：假設第i個荷載Fi有一微小增量dFi，外力總余功的相應改變量為：余能的相應改變量為：（余能定理）特別：對線彈性體（卡氏第二定理）29目錄下頁上頁注意：卡氏第一定理和余能定理既適合于線彈性體，也適合于非線性

彈性體，而卡氏第二定理，僅適合于線彈性體。所導出的位移是加力點沿加力方向的位移。當所求位移處無相應廣義力時，可在該處“虛加”上廣義力，將其

看成已知外力，反映在反力和內力方程中，待求過偏導后，再令該“虛加”外力為0。實際計算時，常采用以下更實用的形式：30目錄下頁上頁例圖示桁架結構。已知：F=35kN,d1=12mm,d2=15mm,E=210Gpa。求A點垂直位移。

31目錄下頁上頁例彎曲剛度為EI的懸臂梁,如圖所示,材料為線彈性。

試用卡氏第二定理計算懸臂梁自由端的撓度。解：在自由端“虛加”外力FqqxlyABx00lx32目錄下頁上頁例圖示彎曲剛度為EI的等截面開口圓環(huán)受一對集中力F作用。

環(huán)的材料為線彈性的，不計圓環(huán)內剪力和軸力對位移的影響。

試用卡氏第二定理求圓環(huán)的張開位移和相對轉角

解：1、張開位移FRFjjR(1-cos)33目錄下頁上頁2、相對轉角：

FRFjjR(1-cos)34目錄下頁上頁1.計算A點垂直位移yaaFABCEI1EI2x1x2解：[例]不計軸力和剪力影響，計算圖示鋼架A點垂直位移y及

轉角A35目錄下頁上頁2.計算B截面轉角A在A處施加力矩M0AaaFBCEI1EI2x1x2（“-”表示A與M0轉向相反）Mo36目錄下頁上頁1、應變能余能應變能余能2、卡氏定理卡氏第一定理卡氏第二定理回顧37目錄下頁上頁卡氏第二定理的實用形式桁架結構梁與剛架結構38目錄下頁上頁（2）建立變形協調條件；1.用能量法解超靜定系統(tǒng)的步驟：（4）求解多余未知力：將力-位移間物理關系，代入變形協調

條件，得補充方程。由補充方程解出多余未知力。（1）選取基本靜定系；（5）進行其他計算。§11.4用能量法解超靜定系統(tǒng)（3）求力-位移關系：應用能量原理（余能原理、卡氏第二定理）

計算基本靜定系分別在荷載和多余未知力作用下的位移；39目錄下頁上頁例作圖示梁的彎矩圖，EI為常數。ABq解：（1）選基本靜定系（2）變形協調條件（3）求力-位移關系ql2/89ql2/12840目錄下頁上頁例由同一非線性彈性材料制成的1、2、3桿，如圖a所示。

已知三桿的橫截面面積均為A，材料的應力--應變關系

為=K1/n，且n>1；并知1、2兩桿的桿長為l。試計算各桿的內力。解：（1）選基本靜定系統(tǒng)如圖b。FBDCA132aa(a)BA(b)DC132XFaa（2）變形協調條件:D=0（3）求力-位移關系:用余能原理41目錄下頁上頁由圖b的平衡得各桿軸力：BA(b)DC132XFaa余能密度為：42目錄下頁上頁總余能為（4）求解未知力43目錄下頁上頁1緒論例試作圖示結構的彎矩圖。解：aaABCx2x1XqFAyFAxFBy49ql2/512qa2/1644目錄下頁上頁1緒論例

試作圖示結構的彎矩圖。（1）基本靜定系；

（2）變形條件：ΔBx=0，ΔBy=0；

解：（3）求力-位移關系：

45目錄下頁上頁1緒論46目錄下頁上頁1緒論例圖a所示兩端固定半圓環(huán)在對稱截面處受集中力F作用。

環(huán)軸線的半徑為R，彎曲剛度為EI，不計剪力和軸力對

圓環(huán)變形的影響。試用卡氏第二定理求對稱截面上的內力。解：FR(a)F22FjX11X2X3XX3X247目錄下頁上頁練習題：作圖示剛架的彎矩圖，EI為常數。ABFaa48目錄下頁上頁§11.5虛位移原理與單位力法1.虛位移原理剛體的虛位移原理：

剛體處于平衡狀態(tài)的充要條件為：作用于剛體上的所有力在該位置的任一虛位移上所作虛功之和等于零。其中虛位移為假想的約束所容許的任何微小的位移。變形體的虛位移原理：

變形體于平衡狀態(tài)的充要條件為：作用于變形體上的所有外力在該位置的任一虛位移上所作虛功之和等于變形體的內力在相應虛變形上所作虛功之和。49目錄下頁上頁外力在虛位移上所作虛功之和稱為外力虛功，用表示；內力在虛變形上所作虛功之和稱為內力虛功，用表示。則變形體的虛位移原理可表示為

下面以懸臂梁為例，來推導變形體的虛位移原理的具體表達式梁上外力荷載為……（廣義力）相應虛位移……（廣義位移）外力虛功為：內力虛功為：則有50目錄下頁上頁2.單位力法由單位力所引起的桿的任意橫截面上的內力記為桿件的虛位移原理表達式成為對于線彈性體的桿件，由實際荷載引起的變形位移分別為：式中為桿件橫截面上由實際荷載所引起的內力51目錄下頁上頁

單位力法求線彈性體位移的計算公式：（對于非圓截面桿，上式中的應以替代）則有，注意：（1）在由實際荷載所引起的橫截面上的內力，并不一定都有軸力,彎矩、剪力和扭矩。同樣，在單位力作用下也不一定都有因此，需具體對象具體分析（2）單位力為廣義力，視所需確定的位移而定，且是個由單位的量（3）若計算結果為正值，表示所求位移的指向與單位力指向一致；若為負值，則的指向與單位力的相反。公式右端積分號內由單位力引起的內力以及由荷載引起的內力，其正負號的規(guī)定與以前的規(guī)定相同52目錄下頁上頁1緒論例彎曲剛度為EI的等截面簡支梁受均布荷載（其集度為q）作用，如圖圖11-24（a）所示。試用單位力法計算梁中點C的撓度和支座截面A的轉角。剪力對彎曲變形的影響可略去不計。解：取x軸與梁的軸線重合，并以左支座A為坐標原點。在均布荷載作用下，任意x截面的彎矩為在C處施加向下的單位力（如圖b），引起x截面彎矩：

帶入單位力法求線彈性體位移的計算公式53目錄下頁上頁1緒論則有可得梁中點的撓度（結果為正值，表示撓度的指向與單位力指向一致，即向下）求左支座截面A的轉角在該截面處施加單位力偶1，其轉向取逆時針向（圖c）。由單位力偶作用所引起的x的截面彎矩表達式為:帶入單位力法求線彈性體位移的計算公式，經積分得54目錄下頁上頁則有（結果為負值，表示轉角轉向與單位力偶相反，即為順時針轉向）55目錄下頁上頁1．利用功能原理解決力學問題的方法統(tǒng)稱為能量法。2．桿件的應變能計算：軸向拉伸與壓縮桿件的應變能：§11.6本章的主要內容及學習重點扭轉圓桿的應變能：彎曲梁的應變能：56目錄下頁上頁在線彈性、小變形條件下，軸力、彎矩、剪力和扭矩在桿件變形上作的功是相互獨立的，因此組合變形時桿件的應變能為：3．余功與余能的計算：4．卡氏第一定理：應變能函數對某個廣義位移的偏導數等于與該位移相應的廣義力。該定理適用于線性和非線性彈性體。即：57目錄下頁上頁5．余能定理：余能對某個廣義力的偏導數等于與該力相對應的位移。該定理適用于線性和非線性彈性體。即：6．卡氏第二定理：對于線彈性結構，應變能對某廣義力的偏導數等于與該力相對應的位移。即：實際應用時常采用的形式：7．單位力法法求線彈性體位移的計算公式58目錄下頁上頁1緒論59第十三章能量法§13-1概述在彈性范圍內，彈性體在外力作用下發(fā)生變形而在體內積蓄的能量，稱為彈性應變能，簡稱應變能。物體在外力作用下發(fā)生變形，物體的變形能在數值上等于外力在加載過程中在相應位移上所做的功，即=W§13-2桿件變形能計算一、軸向拉伸和壓縮二、扭轉三、彎曲純彎曲：橫力彎曲：13-3變形能的普遍表達式即：線彈性體的變形能等于每一外力與其相應位移乘積的二分之一的總和。所有的廣義力均以靜力方式，按一定比例由O增加至最終值。任一廣義位移與整個力系有關，但與其相應的廣義力呈線性關系。例：試求圖示懸臂梁的應變能，并利用功能原理求自由端B的撓度。F解：例題：懸臂梁在自由端承受集中力F及集中力偶矩M0作用。設EI為常數，試求梁的應變能。LFMeAB解：⑴彎矩方程⑵變形能LFM0AB⑶當F和M0分別作用時⑷用普遍定理§13-4互等定理位移發(fā)生點荷載作用點F1F2F1F2F1F2F1功的互等定理:位移互等定理:例：求圖示簡支梁C截面的撓度。F例：求圖示懸臂梁中點C處的鉛垂位移。F13-5卡氏定理若只給以增量，其余不變，在作用下，原各力作用點將產生位移變形能的增加量：略去二階小量，則：如果把原有諸力看成第一組力，把看作第二組力，根據互等定理：所以：變形能對任一載荷Fi的偏導數，等于Fi作用點沿Fi方向的位移卡氏第二定理推導過程使用了互等定理，所以只適用線彈性結構。橫力彎曲：桁架桿件受拉壓：軸受扭矩作用：13-6單位載荷法莫爾積分莫爾定理

（莫爾積分）例：試用莫爾定理計算圖(a)所示懸臂梁自由端B的撓度和轉角。§13-7計算莫爾積分的圖乘法在應用莫爾定理求位移時，需計算下列形式的積分：對于等直桿，EI=const，可以提到積分號外，故只需計算積分直桿的M0(x)圖必定是直線或折線。頂點頂點二次拋物線例：試用圖乘法求所示懸臂梁自由端B的撓度和轉角。LFF解（1）求自由端的撓度Fm=1(2)求自由端的轉角例：試用圖乘法求所示簡支梁的最大撓度和最大轉角。qM解（1）簡支梁的最大撓度（2）求最大轉角最大轉角發(fā)生在兩個支座處例：試用圖乘法求所示簡支梁C截面的撓度和A、B截面的轉角。CL12TU34解：例：試用圖乘法求所示懸臂梁自由端B的撓度和轉角。CL12TU35解：例：試用圖乘法求圖示懸臂梁中點C處的鉛垂位移。CL12TU36解：例：圖示梁，抗彎剛度為EI，承受均布載荷q及集中力X作用。用圖乘法求：

(1)集中力作用端撓度為零時的X值；

(2)集中力作用端轉角為零時的X值。CL12TU37F解：(1)F(2)例：圖示梁的抗彎剛度為EI，試求D點的鉛垂位移。CL12TU38解：例：圖示開口剛架，EI=const。求A、B兩截面的相對角位移θAB

和沿P力作用線方向的相對線位移ΔAB

。CL12TU39解：例：用圖乘法求圖示階梯狀梁A截面的轉角及E截面的撓度。CL12TU40解：例：圖示剛架，EI=const。求A截面的水平位移ΔAH

和轉角θA

。CL12TU41解：第十四章

超靜定結構第十四章超靜定結構14-1超靜定結構概念14-2用力法解超靜定結構14-3對稱及反對稱性質的利用目錄14-1超靜定（靜不定）結構概述目錄在超靜定系統(tǒng)中，按其多余約束的情況，可以分為：外力超靜定：內力超靜定：支座反力不能全由平衡方程求出；外力超靜定系統(tǒng)和內力超靜定系統(tǒng)。支座反力可由平衡方程求出，但桿件的內力卻不能全由平衡方程求出.目錄例如

解除多余約束，代之以多余約束反力然后根據多余約束處的變形協調條件建立補充方程進行求解。目錄我們稱與多余約束對應的約束力為多余約束力。

解除多余約束后得到的靜定結構，稱為原超靜定系統(tǒng)的基本靜定系統(tǒng)或相當系統(tǒng)。（本章主要學習用力法解超靜定結構）求解超靜定系統(tǒng)的基本方法是：§14-2用力法解超靜定結構在求解超靜定結構時，目錄我們把這種以“力”為未知量，求解超靜定的方法稱為“力法”。一般先解除多余約束，代之以多余約束力，得到基本靜定系，再根據變形協調條件得到關于多余約束力的補充方程。該體系中多出一個外部約束，為一次超靜定梁解除多余支座B，并以多余約束X1代替若以表示B端沿豎直方向的位移，則：是在F單獨作用下引起的位移是在X1單獨作用下引起的位移目錄例如：

目錄對于線彈性結構，位移