第第頁(yè)圓錐曲線（解答題）年份題號(hào)分值題干考點(diǎn)2024年新高考I卷1615（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知和為橢圓上兩點(diǎn).(1)求C的離心率;(2)若過(guò)P的直線交C于另一點(diǎn)B，且的面積為9，求的方程．求橢圓的離心率或離心率的取值范圍；根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)；根據(jù)橢圓過(guò)的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程；橢圓中三角形（四邊形）的面積2024年新高考II卷1917（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知雙曲線，點(diǎn)在上，為常數(shù)，．按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)：過(guò)作斜率為的直線與的左支交于點(diǎn)，令為關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，記的坐標(biāo)為.(1)若，求；(2)證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；(3)設(shè)為的面積，證明：對(duì)任意正整數(shù)，.由遞推關(guān)系證明等比數(shù)列；求直線與雙曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)；向量夾角的坐標(biāo)表示2023年新高考I卷2212（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．(1)求的方程；(2)已知矩形有三個(gè)頂點(diǎn)在上，證明：矩形的周長(zhǎng)大于．求平面軌跡方程；求直線與拋物線相交所得弦的弦長(zhǎng)；由導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）；基本（均值）不等式的應(yīng)用2023年新高考II卷2112（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線與交于點(diǎn)P．證明:點(diǎn)在定直線上.直線的點(diǎn)斜式方程及辨析；根據(jù)a、b、c求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；雙曲線中的動(dòng)點(diǎn)在定直線上問(wèn)題2022年新高考I卷2112（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）已知點(diǎn)在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線的斜率之和為0．(1)求l的斜率；(2)若，求的面積．求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問(wèn)題；根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)2022年新高考II卷2112（2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．(1)求C的方程；(2)過(guò)F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在C上，且．過(guò)P且斜率為的直線與過(guò)Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立：①M(fèi)在上；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.根據(jù)雙曲線的漸近線求標(biāo)準(zhǔn)方程；根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)；求雙曲線中的弦長(zhǎng)；由中點(diǎn)弦坐標(biāo)或中點(diǎn)弦方程、斜率求參數(shù)近三年新高考數(shù)學(xué)圓錐曲線解答題考查情況總結(jié)?考點(diǎn)方面?曲線方程與性質(zhì)：橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程求解，離心率、漸近線等幾何性質(zhì)的考查是核心。如根據(jù)已知點(diǎn)坐標(biāo)求橢圓離心率，由雙曲線焦點(diǎn)和離心率求標(biāo)準(zhǔn)方程。?直線與曲線的位置關(guān)系：常考查直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)、面積計(jì)算，利用韋達(dá)定理處理交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系。例如通過(guò)直線與橢圓相交求三角形面積，或根據(jù)直線與雙曲線相交的條件求參數(shù)。?綜合應(yīng)用與證明：涉及數(shù)列與圓錐曲線的綜合（如證明數(shù)列是等比數(shù)列），以及點(diǎn)在定直線上的證明等。還包括軌跡方程的求解，如根據(jù)幾何條件求拋物線的軌跡方程。?題目設(shè)置方面?通常設(shè)置兩問(wèn)或多問(wèn)，第一問(wèn)相對(duì)基礎(chǔ)，多為求曲線方程、離心率等基本量；第二問(wèn)深入考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題，如面積、定點(diǎn)定值、參數(shù)范圍等，對(duì)運(yùn)算求解和邏輯推理能力要求較高，且可能與其他知識(shí)模塊（如數(shù)列）綜合，體現(xiàn)較強(qiáng)的綜合性。題型與分值：預(yù)計(jì)2025年新高考中，圓錐曲線仍會(huì)以一道解答題（分值約15-17分）的形式出現(xiàn)，題目設(shè)置2-3問(wèn)，具有一定的難度梯度。?考查方向?曲線方程與性質(zhì)：橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)依然是考查重點(diǎn)?？赡軙?huì)給出更隱蔽的條件，如通過(guò)曲線的幾何特征（焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、漸近線關(guān)系等）求方程，或結(jié)合離心率的取值范圍考查對(duì)性質(zhì)的深入理解。?直線與曲線的綜合：直線與圓錐曲線的位置關(guān)系仍是核心考點(diǎn)?？赡軙?huì)出現(xiàn)面積的最值、弦長(zhǎng)的定值、定點(diǎn)問(wèn)題等，計(jì)算量較大，需要熟練運(yùn)用韋達(dá)定理、設(shè)而不求等技巧。也可能與向量結(jié)合，通過(guò)向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算。?創(chuàng)新與綜合題型：可能會(huì)出現(xiàn)條件開(kāi)放型題目，如給定多個(gè)條件選擇合適的條件進(jìn)行證明（類(lèi)似2022年新高考Ⅱ卷）；或與數(shù)列、函數(shù)等知識(shí)綜合，考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力。還可能涉及一些實(shí)際背景的問(wèn)題，如軌跡在實(shí)際場(chǎng)景中的應(yīng)用。?計(jì)算與推理能力：圓錐曲線解答題對(duì)計(jì)算能力和邏輯推理能力要求較高。2025年可能會(huì)延續(xù)這一特點(diǎn)，在計(jì)算上設(shè)置一定難度，同時(shí)要求考生具備清晰的解題思路和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评磉^(guò)程，如在證明點(diǎn)共線、定值問(wèn)題時(shí)，需要有條理地進(jìn)行推導(dǎo)。1.利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為、；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解2.若直線與圓雉曲線相交于，兩點(diǎn)，由直線與圓錐曲線聯(lián)立，消元得到（）則：則：弦長(zhǎng)或處理定點(diǎn)問(wèn)題的思路：（1）確定題目中的核心變量（此處設(shè)為），（2）利用條件找到與過(guò)定點(diǎn)的曲線的聯(lián)系，得到有關(guān)與的等式，（3）所謂定點(diǎn)，是指存在一個(gè)特殊的點(diǎn)，使得無(wú)論的值如何變化，等式恒成立，此時(shí)要將關(guān)于與的等式進(jìn)行變形，直至找到，①若等式的形式為整式，則考慮將含的式子歸為一組，變形為“”的形式，讓括號(hào)中式子等于0，求出定點(diǎn)；②若等式的形式是分式，一方面可考慮讓分子等于0，一方面考慮分子和分母為倍數(shù)關(guān)系，可消去變?yōu)槌?shù).處理定值問(wèn)題的思路：聯(lián)立方程，用韋達(dá)定理得到、（或、）的形式，代入方程和原式化簡(jiǎn)即可.典例1（2024·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）已知和為橢圓上兩點(diǎn).(1)求C的離心率;(2)若過(guò)P的直線交C于另一點(diǎn)B，且的面積為9，求的方程．【答案】(1)(2)直線的方程為或.【分析】（1）代入兩點(diǎn)得到關(guān)于的方程，解出即可；（2）方法一：以為底，求出三角形的高，即點(diǎn)到直線的距離，再利用平行線距離公式得到平移后的直線方程，聯(lián)立橢圓方程得到點(diǎn)坐標(biāo)，則得到直線的方程；方法二：同法一得到點(diǎn)到直線的距離，再設(shè)，根據(jù)點(diǎn)到直線距離和點(diǎn)在橢圓上得到方程組，解出即可；法三：同法一得到點(diǎn)到直線的距離，利用橢圓的參數(shù)方程即可求解；法四：首先驗(yàn)證直線斜率不存在的情況，再設(shè)直線，聯(lián)立橢圓方程，得到點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線距離公式即可；法五：首先考慮直線斜率不存在的情況，再設(shè)，利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線的距離公式即可得到答案；法六：設(shè)線法與法五一致，利用水平寬乘鉛錘高乘表達(dá)面積即可.【詳解】（1）由題意得，解得，所以.（2）法一：，則直線的方程為，即，，由（1）知，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，則將直線沿著與垂直的方向平移單位即可，此時(shí)該平行線與橢圓的交點(diǎn)即為點(diǎn)，設(shè)該平行線的方程為：，則，解得或，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立，解得或，即或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，直線的方程為，即，當(dāng)時(shí)，此時(shí)，直線的方程為，即，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立得，，此時(shí)該直線與橢圓無(wú)交點(diǎn).綜上直線的方程為或.法二：同法一得到直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離，設(shè)，則，解得或，即或，以下同法一.法三：同法一得到直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離，設(shè)，其中，則有，聯(lián)立，解得或，即或，以下同法一；法四：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)，，符合題意，此時(shí)，直線的方程為，即，當(dāng)線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程有，則，其中，即，解得或，，，令，則，則同法一得到直線的方程為，點(diǎn)到直線的距離，則，解得，此時(shí)，則得到此時(shí)，直線的方程為，即，綜上直線的方程為或.法五：當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，到距離，此時(shí)不滿足條件.當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r(shí)，設(shè)，令，，消可得，，且，即，，到直線距離，或，均滿足題意，或，即或.法六：當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r(shí)，到距離，此時(shí)不滿足條件.當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，令，則，聯(lián)立，則有，，其中，且，則，則，解得或，經(jīng)代入判別式驗(yàn)證均滿足題意.則直線為或，即或.典例2（2024·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知雙曲線，點(diǎn)在上，為常數(shù)，．按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)：過(guò)作斜率為的直線與的左支交于點(diǎn)，令為關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，記的坐標(biāo)為.(1)若，求；(2)證明：數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；(3)設(shè)為的面積，證明：對(duì)任意正整數(shù)，.【答案】(1)，；(2)證明見(jiàn)解析；(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）直接根據(jù)題目中的構(gòu)造方式計(jì)算出的坐標(biāo)即可；（2）思路一：根據(jù)等比數(shù)列的定義即可驗(yàn)證結(jié)論；思路二：利用點(diǎn)差法和合比性質(zhì)即可證明；（3）思路一：使用平面向量數(shù)量積和等比數(shù)列工具，證明的取值為與無(wú)關(guān)的定值即可.思路二：使用等差數(shù)列工具，證明的取值為與無(wú)關(guān)的定值即可.思路三：利用點(diǎn)差法得到，，再結(jié)合（2）中的結(jié)論得，最后證明出即可.【詳解】（1）由已知有，故的方程為.當(dāng)時(shí)，過(guò)且斜率為的直線為，與聯(lián)立得到.解得或，所以該直線與的不同于的交點(diǎn)為，該點(diǎn)顯然在的左支上.故，從而，.（2）方法一：由于過(guò)且斜率為的直線為，與聯(lián)立，得到方程.展開(kāi)即得，由于已經(jīng)是直線和的公共點(diǎn)，故方程必有一根.從而根據(jù)韋達(dá)定理，另一根，相應(yīng)的.所以該直線與的不同于的交點(diǎn)為，而注意到的橫坐標(biāo)亦可通過(guò)韋達(dá)定理表示為，故一定在的左支上.所以.這就得到，.所以.再由，就知道，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.方法二：因?yàn)?，，，則，由于，作差得，，利用合比性質(zhì)知，因此是公比為的等比數(shù)列.（3）方法一：先證明一個(gè)結(jié)論：對(duì)平面上三個(gè)點(diǎn)，若，，則.（若在同一條直線上，約定）證明：.證畢，回到原題.由于上一小問(wèn)已經(jīng)得到，，故.再由，就知道，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.所以對(duì)任意的正整數(shù)，都有.而又有，，故利用前面已經(jīng)證明的結(jié)論即得.這就表明的取值是與無(wú)關(guān)的定值，所以.方法二：由于上一小問(wèn)已經(jīng)得到，，故.再由，就知道，所以數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.所以對(duì)任意的正整數(shù)，都有.這就得到，以及.兩式相減，即得.移項(xiàng)得到.故.而，.所以和平行，這就得到，即.方法三：由于，作差得，變形得①，同理可得，由（2）知是公比為的等比數(shù)列，令則②，同時(shí)是公比為的等比數(shù)列，則③，將②③代入①，即，從而，即.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于將解析幾何和數(shù)列知識(shí)的結(jié)合，需要綜合運(yùn)用多方面知識(shí)方可得解.典例3（2023·新課標(biāo)Ⅰ卷·高考真題）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到軸的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為．(1)求的方程；(2)已知矩形有三個(gè)頂點(diǎn)在上，證明：矩形的周長(zhǎng)大于．【答案】(1)；(2)見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)，根據(jù)題意列出方程，化簡(jiǎn)即可；（2）法一：設(shè)矩形的三個(gè)頂點(diǎn)，且，分別令，，且，利用放縮法得，設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其最小值，則得的最小值，再排除邊界值即可.法二：設(shè)直線的方程為，將其與拋物線方程聯(lián)立，再利用弦長(zhǎng)公式和放縮法得，利用換元法和求導(dǎo)即可求出周長(zhǎng)最值，再排除邊界值即可.法三：利用平移坐標(biāo)系法，再設(shè)點(diǎn)，利用三角換元再對(duì)角度分類(lèi)討論，結(jié)合基本不等式即可證明.【詳解】（1）設(shè),則，兩邊同平方化簡(jiǎn)得，故.（2）法一：設(shè)矩形的三個(gè)頂點(diǎn)在上,且，易知矩形四條邊所在直線的斜率均存在，且不為0，

則,令，同理令，且，則，設(shè)矩形周長(zhǎng)為,由對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)，，則，易知?jiǎng)t令,令，解得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)，，此時(shí)單調(diào)遞增，則，故,即.當(dāng)時(shí),,且，即時(shí)等號(hào)成立，矛盾，故,得證.法二：不妨設(shè)在上，且，

依題意可設(shè)，易知直線，的斜率均存在且不為0，則設(shè),的斜率分別為和，由對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)，直線的方程為，則聯(lián)立得，，則則，同理，令，則，設(shè)，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減，當(dāng)，，此時(shí)單調(diào)遞增，則，，但，此處取等條件為，與最終取等時(shí)不一致，故.法三：為了計(jì)算方便,我們將拋物線向下移動(dòng)個(gè)單位得拋物線,矩形變換為矩形,則問(wèn)題等價(jià)于矩形的周長(zhǎng)大于.設(shè),根據(jù)對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè).則,由于,則.由于,且介于之間,則.令,,則,從而故①當(dāng)時(shí),②當(dāng)時(shí),由于,從而,從而又,故,由此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，故矩形周長(zhǎng)大于.

.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的第二個(gè)的關(guān)鍵是通過(guò)放縮得，同時(shí)為了簡(jiǎn)便運(yùn)算，對(duì)右邊的式子平方后再設(shè)新函數(shù)求導(dǎo)，最后再排除邊界值即可.典例4（2023·新課標(biāo)Ⅱ卷·高考真題）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，離心率為．(1)求C的方程；(2)記C的左、右頂點(diǎn)分別為，，過(guò)點(diǎn)的直線與C的左支交于M，N兩點(diǎn)，M在第二象限，直線與交于點(diǎn)P．證明:點(diǎn)在定直線上.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由題意求得的值即可確定雙曲線方程；（2）設(shè)出直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，然后由點(diǎn)的坐標(biāo)分別寫(xiě)出直線與的方程，聯(lián)立直線方程，消去，結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算可得，即交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值，據(jù)此可證得點(diǎn)在定直線上.【詳解】（1）設(shè)雙曲線方程為，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，則由可得，，雙曲線方程為.（2）由(1)可得，設(shè)，顯然直線的斜率不為0，所以設(shè)直線的方程為，且，與聯(lián)立可得，且，則，

直線的方程為，直線的方程為，聯(lián)立直線與直線的方程可得：，由可得，即，據(jù)此可得點(diǎn)在定直線上運(yùn)動(dòng).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:求雙曲線方程的定直線問(wèn)題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中根據(jù)設(shè)而不求的思想，利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，是解題的關(guān)鍵.典例5（2022·新高考全國(guó)Ⅰ卷·高考真題）已知點(diǎn)在雙曲線上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線的斜率之和為0．(1)求l的斜率；(2)若，求的面積．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由點(diǎn)在雙曲線上可求出，易知直線l的斜率存在，設(shè)，，再根據(jù)，即可解出l的斜率；（2）根據(jù)直線的斜率之和為0可知直線的傾斜角互補(bǔ)，根據(jù)即可求出直線的斜率，再分別聯(lián)立直線與雙曲線方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)，即可得到直線的方程以及的長(zhǎng)，由點(diǎn)到直線的距離公式求出點(diǎn)A到直線的距離，即可得出的面積．【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，解得，即雙曲線．易知直線l的斜率存在，設(shè)，，聯(lián)立可得，，所以，，且．所以由可得，，即，即，所以，化簡(jiǎn)得，，即，所以或，當(dāng)時(shí)，直線過(guò)點(diǎn)，與題意不符，舍去，故．（2）［方法一］：【最優(yōu)解】常規(guī)轉(zhuǎn)化不妨設(shè)直線的傾斜角為，因?yàn)椋?，由?）知，，當(dāng)均在雙曲線左支時(shí)，，所以，即，解得（負(fù)值舍去）此時(shí)PA與雙曲線的漸近線平行，與雙曲線左支無(wú)交點(diǎn)，舍去；當(dāng)均在雙曲線右支時(shí)，因?yàn)?，所以，即，即，解得（?fù)值舍去），于是，直線，直線，聯(lián)立可得，，因?yàn)榉匠逃幸粋€(gè)根為，所以，，同理可得，，．所以，，點(diǎn)到直線的距離，故的面積為．［方法二］：設(shè)直線AP的傾斜角為，，由，得，由，得，即，聯(lián)立，及得，，同理，，，故，而，，由，得，故【整體點(diǎn)評(píng)】（2）法一：由第一問(wèn)結(jié)論利用傾斜角的關(guān)系可求出直線的斜率，從而聯(lián)立求出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求出三角形面積，思路清晰直接，是該題的通性通法，也是最優(yōu)解；法二：前面解答與法一求解點(diǎn)坐標(biāo)過(guò)程形式有所區(qū)別，最終目的一樣，主要區(qū)別在于三角形面積公式的選擇不一樣．典例6（2022·新高考全國(guó)Ⅱ卷·高考真題）已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，漸近線方程為．(1)求C的方程；(2)過(guò)F的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在C上，且．過(guò)P且斜率為的直線與過(guò)Q且斜率為的直線交于點(diǎn)M.從下面①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立：①M(fèi)在上；②；③．注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【分析】（1）利用焦點(diǎn)坐標(biāo)求得的值，利用漸近線方程求得的關(guān)系，進(jìn)而利用的平方關(guān)系求得的值，得到雙曲線的方程；（2）先分析得到直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線AB的斜率為k,M(x0,y0),由③|AM|=|BM|等價(jià)分析得到；由直線和的斜率得到直線方程，結(jié)合雙曲線的方程，兩點(diǎn)間距離公式得到直線PQ的斜率，由②等價(jià)轉(zhuǎn)化為，由①在直線上等價(jià)于，然后選擇兩個(gè)作為已知條件一個(gè)作為結(jié)論，進(jìn)行證明即可.【詳解】（1）右焦點(diǎn)為，∴,∵漸近線方程為，∴，∴，∴，∴，∴．∴C的方程為：；（2）由已知得直線的斜率存在且不為零，直線的斜率不為零，若選由①②推③或選由②③推①：由②成立可知直線的斜率存在且不為零；若選①③推②，則為線段的中點(diǎn)，假若直線的斜率不存在，則由雙曲線的對(duì)稱(chēng)性可知在軸上，即為焦點(diǎn),此時(shí)由對(duì)稱(chēng)性可知、關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，與從而，已知不符；總之，直線的斜率存在且不為零.設(shè)直線的斜率為,直線方程為,則條件①在上，等價(jià)于；兩漸近線的方程合并為,聯(lián)立消去y并化簡(jiǎn)整理得：設(shè),線段中點(diǎn)為,則,設(shè),則條件③等價(jià)于,移項(xiàng)并利用平方差公式整理得：，,即,即；由題意知直線的斜率為,直線的斜率為,∴由,∴,所以直線的斜率,直線,即,代入雙曲線的方程,即中，得：,解得的橫坐標(biāo)：,同理：，∴∴,∴條件②等價(jià)于，綜上所述：條件①在上，等價(jià)于；條件②等價(jià)于；條件③等價(jià)于；選①②推③:由①②解得：,∴③成立；選①③推②：由①③解得：，，∴，∴②成立；選②③推①：由②③解得：，，∴，∴，∴①成立.【名校預(yù)測(cè)·第一題】（2025·湖南雅禮中學(xué)模擬）已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求的值和拋物線的準(zhǔn)線方程；(2)已知直線與拋物線交于兩點(diǎn)，求.【答案】(1).(2).【來(lái)源】2025屆湖南省長(zhǎng)沙市雅禮中學(xué)高三4月綜合自主測(cè)試（提升卷）數(shù)學(xué)試題【分析】（1）代入，求解即可；（2）聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求解即可.【詳解】（1）解：代入，得解得，所以準(zhǔn)線方程是；（2）解：由，可得，設(shè)方程的兩根為，則，，所以.【名校預(yù)測(cè)·第二題】（山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025屆高三第五次診斷考試數(shù)學(xué)試題）已知雙曲線的離心率為，點(diǎn)在雙曲線上，過(guò)的左焦點(diǎn)的直線與的左支相交于兩點(diǎn)，且分別交的兩條漸近線于兩點(diǎn)．(1)求雙曲線的方程；(2)若是坐標(biāo)原點(diǎn)，，求的面積．【答案】(1)(2)32【來(lái)源】山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2025屆高三第五次診斷考試數(shù)學(xué)試題【分析】（1）由題意可得，進(jìn)而可得；（2）當(dāng)時(shí)，易知，不合題意，當(dāng)時(shí)，聯(lián)立直線方程和漸近線方程可得，進(jìn)而可得，進(jìn)而由可得，進(jìn)而可得.【詳解】（1）由雙曲線的離心率為，且點(diǎn)在雙曲線上，可得，解得，所以雙曲線的方程為（2）設(shè)，由（1）可知雙曲線C的左焦點(diǎn)為，漸近線方程為，所以可設(shè)直線的方程為，當(dāng)時(shí)，易知，不合題意，故．由，得，其中，所以，，解得（舍去）或，所以，故．【名校預(yù)測(cè)·第三題】（遼寧省東北育才中學(xué)2024-2025學(xué)年高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試卷）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且時(shí)，．(1)求C的方程；(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)B在第四象限，且，求面積的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)列式求得，得解；（2）設(shè)直線與拋物線方程聯(lián)立得根與系數(shù)關(guān)系，由，結(jié)合，可得，求得，得恒過(guò)定點(diǎn)，由代入運(yùn)算得解.【詳解】（1）由題，易知直線的斜率存在，設(shè)，，，聯(lián)立，消去整理得，，則，由拋物線定義得，，，又，，解得，所以拋物線的方程為.（2）設(shè)直線，，，，由，又，，解得，聯(lián)立，整理得，則，，所以，即，且，故直線恒過(guò)定點(diǎn)，又，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以面積的最小值為.【名校預(yù)測(cè)·第四題】（2025·湖南長(zhǎng)郡中學(xué)模擬）已知橢圓的離心率為，以原點(diǎn)為圓心?橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的與直線相切.(1)求橢圓的方程，(2)過(guò)定點(diǎn)斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若.求實(shí)數(shù)的值及的面積.【答案】(1)(2)，的面積為【分析】（1）由離心率得到，利用點(diǎn)到直線的距離求出，即可求出、，從而得解；（2）設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理和，求出實(shí)數(shù)的值，再利用弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離得到的底和高，求出面積.【詳解】（1）由題意知離心率，所以，即.以原點(diǎn)為圓心?橢圓的短半軸長(zhǎng)為半徑的與直線相切，有，所以，則，故橢圓的方程為.

（2）設(shè)直線的方程為由，消去得，顯然，∴，則，所以，，解得，則直線為.∴，所以，點(diǎn)到直線的距離，所以的面積

【名校預(yù)測(cè)·第五題】（安徽省合肥市第一中學(xué)2025屆高三下學(xué)期數(shù)學(xué)素質(zhì)拓展試卷）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在上．(1)求的方程；(2)設(shè)橢圓．若過(guò)的直線交于另一點(diǎn)交于兩點(diǎn)，且在軸上方．（?。┳C明：；（ⅱ）為坐標(biāo)原點(diǎn)．為右頂點(diǎn)．設(shè)在第一象限內(nèi)，，是否存在實(shí)數(shù)使得的面積與的面積相等？若存在，求的值；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)（ⅰ）證明見(jiàn)解析（ⅱ）存在，【來(lái)源】安徽省合肥市第一中學(xué)2025屆高三下學(xué)期數(shù)學(xué)素質(zhì)拓展試卷（四）【分析】（1）根據(jù)條件，列出方程求出，即可得出橢圓方程；（2）（?。﹩?wèn)題可轉(zhuǎn)化為兩弦中點(diǎn)重合，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得證；（ⅱ）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及可得的關(guān)系式，再由三角形面積相等及點(diǎn)到直線的距離可得另外的關(guān)系式，據(jù)此聯(lián)立即可求解.【詳解】（1）由已知，可得，因?yàn)?，，解得，所以橢圓方程為（2）如圖，（?。┳C明：要證，只需證明弦的中點(diǎn)與弦的中點(diǎn)重合.當(dāng)垂直于軸時(shí)，弦的中點(diǎn)都是坐標(biāo)原點(diǎn)，故它們的中點(diǎn)重合，此時(shí)當(dāng)不垂直于軸時(shí)，設(shè)直線的方程為，由，得，則，所以弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，同理可得，所以弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為所以弦的中點(diǎn)與弦的中點(diǎn)重合，此時(shí).綜上所述，(ii)因?yàn)?，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)在第一象限內(nèi)，，由(i)知，，所以,又，所以，化簡(jiǎn)得

①設(shè)到的距離為，C到的距離為，假設(shè)的面積與的面積相等，則，因?yàn)?，所以，所?又，因?yàn)?，所以，所?/p>

②由①②解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在求參數(shù)的過(guò)程中，根據(jù)，的面積與的面積相等，分別列出方程，再聯(lián)立方程即可求出參數(shù)的取值.【名校預(yù)測(cè)·第六題】（重慶市南開(kāi)中學(xué)校2025屆高三下學(xué)期高考模擬數(shù)學(xué)試題）已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，短軸長(zhǎng)為，離心率為.(1)求的方程；(2)記的左頂點(diǎn)為，直線與交于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ的斜率之積為.（i）證明：直線過(guò)定點(diǎn)；（ii）若在軸上方，直線與圓交于點(diǎn)，點(diǎn)在軸上方.是否存在點(diǎn)，使得與的面積之比為3：5？若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.【答案】(1)；(2)（i）證明過(guò)程見(jiàn)解析；（ii）存在，點(diǎn)，【來(lái)源】重慶市南開(kāi)中學(xué)校2025屆高三下學(xué)期高考模擬數(shù)學(xué)試題【分析】（1）根據(jù)短軸長(zhǎng)和離心率得到方程組，求出，得到橢圓方程；（2）（i）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，計(jì)算出直線方程為，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，設(shè)，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)斜率之積得到方程，求出或，當(dāng)時(shí)不合題意，當(dāng)時(shí)，求出所過(guò)定點(diǎn)，驗(yàn)證后得到結(jié)論；（ii）由橢圓定義和圓的半徑得到，所以，令，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，此時(shí)，求出，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，由余弦定理求出，，代入，解得或，均不合要求，舍去，綜上，求出答案.【詳解】（1）由題意得，，故，，又，解得，所以橢圓方程為；（2）（i），當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線與交于關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)，設(shè)，則，即，又，所以，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)與重合，直線AP或直線AQ的斜率不存在，不合要求，當(dāng)時(shí)，直線方程為，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，，解得，設(shè)，則，所以，由得，化簡(jiǎn)得，，解得或，當(dāng)時(shí)，，過(guò)定點(diǎn)，直線AP或直線AQ的斜率不存在，不合要求，當(dāng)時(shí)，，過(guò)定點(diǎn)，顯然此時(shí)滿足，其中也過(guò)點(diǎn)，綜上，直線過(guò)定點(diǎn)；（ii）存在點(diǎn)，使得與的面積之比為3：5，理由如下：在軸上方，故在軸下方，即，，由橢圓定義可知，，又的圓心為，半徑為4，故，所以，由于，，所以，令，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，，此時(shí)，解得，令中得，又在軸上方，故，滿足要求，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，在中，，，，由余弦定理得，即，解得，同理可得，由可得，解得或，均不合要求，舍去，綜上，存在點(diǎn)，使得與的面積之比為3：5【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：處理定點(diǎn)問(wèn)題的思路：（1）確定題目中的核心變量（此處設(shè)為），（2）利用條件找到與過(guò)定點(diǎn)的曲線的聯(lián)系，得到有關(guān)與的等式，（3）所謂定點(diǎn)，是指存在一個(gè)特殊的點(diǎn)，使得無(wú)論的值如何變化，等式恒成立，此時(shí)要將關(guān)于與的等式進(jìn)行變形，直至找到，①若等式的形式為整式，則考慮將含的式子歸為一組，變形為“”的形式，讓括號(hào)中式子等于0，求出定點(diǎn)；②若等式的形式是分式，一方面可考慮讓分子等于0，一方面考慮分子和分母為倍數(shù)關(guān)系，可消去變?yōu)槌?shù).【名師押題·第一題】已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為軸，軸，且過(guò)兩點(diǎn)．(1)求的方程；(2)過(guò)點(diǎn)，斜率不為0的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，直線與軸交于，與軸交于，直線與軸交于，與軸交于．若，求直線的斜率．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)橢圓所過(guò)的點(diǎn)求參數(shù)，即可得方程；（2）設(shè)直線，聯(lián)立橢圓并應(yīng)用韋達(dá)定理，再由直線，直線求交點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)面積關(guān)系得，進(jìn)而求得，即可得.【詳解】（1）設(shè)的方程為且，將兩點(diǎn)代入得，解得，故的方程為．（2）依題意，設(shè)直線，聯(lián)立，消去整理得，則，即，且．直線，直線，令，則，令，則，由，得，即，整理得，因?yàn)?，所以，解得，所以直線的斜率為．【名師押題·第二題】已知雙曲線E：（，）的虛軸長(zhǎng)為2，離心率為.(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程：(2)過(guò)點(diǎn)的直線l與E的左、右兩支分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)，直線BC與直線交于點(diǎn)N.（?。┳C明：直線AN的斜率為定值：（ⅱ）記，分別為，的面積，求的取值范圍.【答案】(1)(2)（?。┳C明見(jiàn)解析；（ⅱ）【分析】（1）根據(jù)雙曲線的虛軸長(zhǎng)和離心率公式求出、的值，進(jìn)而得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）（i）設(shè)出直線的方程，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，進(jìn)而證明直線AN的斜率為定值；（ii）根據(jù)三角形面積公式求出的表達(dá)式，再根據(jù)條件確定其取值范圍.【詳解】（1）已知雙曲線的虛軸長(zhǎng)為，則，解得.又因?yàn)殡x心率，且，把代入可得.由可得，將其代入中，得到.解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）（ⅰ）當(dāng)斜率為0時(shí)：已知，BC方程.令，則，解得，所以..當(dāng)斜率不為0時(shí)：