第二章邏輯代數(shù)基礎(chǔ)

2.1概述

2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算

2.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式

2.4邏輯代數(shù)的基本定理

2.5邏輯函數(shù)及其表示方法

2.6邏輯函數(shù)的化簡方法2.7具有無關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)及其化簡*2.8（略）2.1概述邏輯代數(shù)是英國數(shù)學(xué)家喬治.布爾（Geroge.Boole）于1847年首先進(jìn)行系統(tǒng)論述的，也稱布爾代數(shù)；它是描述事物條件和結(jié)果之間邏輯關(guān)系的數(shù)學(xué)方法，是設(shè)計(jì)、分析數(shù)字電路的數(shù)學(xué)工具。邏輯：指事物間的因果關(guān)系邏輯代數(shù)中的變量稱為邏輯變量，用大寫字母表示。邏輯變量的取值只有兩種，即邏輯0和邏輯1。0和1并不表示數(shù)值的大小，而是表示兩種不同的邏輯狀態(tài)。通常1表示條件的具備或結(jié)果的發(fā)生，而0表示條件的不具備或結(jié)果的不發(fā)生。這種只有兩種對(duì)立邏輯狀態(tài)的邏輯關(guān)系稱為二值邏輯。

邏輯運(yùn)算：兩個(gè)表示不同邏輯狀態(tài)的二進(jìn)制數(shù)碼之間按照某種因果關(guān)系進(jìn)行推理運(yùn)算。

基本概念邏輯：指事物間的因果關(guān)系邏輯運(yùn)算的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)：邏輯代數(shù)在二值邏輯中的變量取值：0/12.1概述三種電路的因果關(guān)系不同：2.2邏輯代數(shù)中的三種基本運(yùn)算與（AND）或（OR）非（NOT）1表示開關(guān)閉合，燈亮；0表示開關(guān)斷開，燈不亮；一、基本邏輯運(yùn)算1.與運(yùn)算（邏輯乘）（AND）只有決定事件結(jié)果的全部條件同時(shí)具備時(shí)，結(jié)果才發(fā)生。ABY

ABY

000010100111與運(yùn)算真值表與邏輯功能口訣：有“0”則“0”；全“1”則“1”。

與運(yùn)算表達(dá)式

Y=A·B=AB

ABY

000010100111與運(yùn)算真值表與運(yùn)算表達(dá)式

Y=A·B=AB與門圖形符號(hào)&AYBYABAYB2.或運(yùn)算（邏輯加）（OR）決定事件結(jié)果的諸條件中只要有任何一個(gè)條件滿足，結(jié)果就會(huì)發(fā)生。BYA

ABY

000011101111或運(yùn)算真值表或邏輯功能口訣：有“1”則“1”；全“0”則“0”。

或運(yùn)算表達(dá)式Y(jié)=A+B

ABY

000011101111或運(yùn)算真值表或運(yùn)算表達(dá)式Y(jié)=A+B或門圖形符號(hào)≥1

ABYYAB+

ABY3.非運(yùn)算（邏輯反）（NOT）只要條件具備了，結(jié)果就不會(huì)發(fā)生；而條件不具備時(shí)，結(jié)果一定發(fā)生。

AY

0110

非運(yùn)算真值表非運(yùn)算表達(dá)式非門圖形符號(hào)1AYYAAYabcdAB～樓道燈開關(guān)示意圖二、幾種常用的復(fù)合邏輯運(yùn)算1.與非運(yùn)算（NAND）

ABY

001011101110與非邏輯真值表與非邏輯表達(dá)式與非邏輯功能口訣：有“0”則“1”；全“1”則“0”。

&AYBYAB與非門圖形符號(hào)AYB二、幾種常用的復(fù)合邏輯運(yùn)算或非邏輯功能口訣：有“1”則“0”；全“0”則“1”。

ABY

001010100110或非邏輯真值表2.或非運(yùn)算（NOR）或非邏輯表達(dá)式或非門邏輯符號(hào)≥1

ABYYAB+

ABY3.與或非運(yùn)算（AND-OR-NOT）與或非邏輯表達(dá)式ABCDY

001010100110與或非邏輯真值表或非邏輯功能口訣：與項(xiàng)有“1”則出為“0”；全部與項(xiàng)為“0”則出“1”。

與或非門圖形符號(hào)YDCAB≥1&ABCDYYDCAB+異或邏輯功能口訣：相同為“0”；不同為“1”。

4.異或運(yùn)算（XOR）

ABY

000011101110異或邏輯真值表異或邏輯表達(dá)式異或門圖形符號(hào)YAB=1AYBAYB⊕同或邏輯功能口訣：相同為“1”；不同為0”。

5.同或運(yùn)算（XNOR）

ABY

001010100111同或邏輯真值表同或邏輯表達(dá)式⊙異或與同或互為反運(yùn)算：⊙⊙同或門圖形符號(hào)=AYBYABA⊙YB2.3.1基本公式P24T表2.3.12.3邏輯代數(shù)的基本公式和常用公式例：用真值表證明反演律000101101111000110010101000證明:如果等式成立，那么將任和一組變量的取值代入公式兩邊所得的結(jié)果應(yīng)該相等。因此，等式兩邊所對(duì)應(yīng)的真值表也必然相同。求證:A+BC=(A+B)(A+C)證明:右邊=AA+AB+AC+BC;分配律=A+A(B+C)+BC;分配律,重疊律=A(1+B+C)+BC;分配律=A?1+BC;0-1律=A+BC;自等律=左邊0000010100111001011101110000111100011111證明:例:用真值表證明A+BC=(A+B)(A+C)000100010011111101011111000111112.3.2若干常用公式P25T表2.3.3一、吸收律1、A+A·B=A——化簡中的吸收法(21)兩個(gè)乘積項(xiàng)相加時(shí)，若其中一項(xiàng)以另一項(xiàng)為因子，則該項(xiàng)多余，可刪去。2、A+A·B=A+B——化簡中的消因子法(22)兩個(gè)乘積項(xiàng)相加時(shí)，如一項(xiàng)取反后是另一項(xiàng)的因子，則此因子是多余的，可以消去。3、A·B+A·B=A——化簡中的并項(xiàng)法(23)兩個(gè)乘積項(xiàng)相加時(shí)，若它們分別包含B和B兩個(gè)因子而其它因子相同，則兩項(xiàng)可以合并，其結(jié)果為相同的部分。二、冗余律（冗余定理）*4、——化簡中的消項(xiàng)法

在兩個(gè)乘積項(xiàng)中，若有一個(gè)變量是互反的，那么由這兩個(gè)乘積項(xiàng)中的其它變量組成的乘積項(xiàng)就是多余的，可以消去。公式可推廣：2.3.2若干常用公式三、異或運(yùn)算公式（58頁題2.1）1、交換率：2、結(jié)合率：3、分配率：4*、常量、變量異或：5、因果互換率：2.3.2若干常用公式2.4邏輯代數(shù)的基本定理2.4.1代入定理：任何一個(gè)含有某變量的等式，如果等式中所有出現(xiàn)此變量的位置均代之以一個(gè)邏輯函數(shù)式，則此等式依然成立。例：AB=A+BBC替代B得由此反演律能推廣到n個(gè)變量：利用反演律2.4.2反演定理：對(duì)于任意一個(gè)邏輯函數(shù)式F，做如下處理：①運(yùn)算符號(hào)變：“●”變“+”,“+”變“●”；②常量變：“0”變成“1”，“1”變成“0”；③變量變：原變量變成反變量，反變量變成原變量。

那么得到的新函數(shù)式稱為原函數(shù)式F的反函數(shù)式。注意：

Δ遵守“括號(hào)、乘、加”（即括號(hào)→與→或）的運(yùn)算優(yōu)先次序。必要時(shí)適當(dāng)?shù)丶尤肜ㄌ?hào)。

Δ不屬于單個(gè)變量上的非號(hào)應(yīng)保留不變。2.4邏輯代數(shù)的基本定理，求。例：2.4邏輯代數(shù)的基本定理例：求：解：例：求：解：2.4.3對(duì)偶定理：對(duì)于任意一個(gè)邏輯函數(shù)式F，做如下處理：①運(yùn)算符號(hào)變：“●”變“+”,“+”變“●”；②常量變：“0”變成“1”，“1”變成“0”；那么得到的新函數(shù)式稱為原函數(shù)式F的對(duì)偶式FD。對(duì)偶定理:若兩邏輯式相等，則它們對(duì)應(yīng)的對(duì)偶式也相等。即若F1=F2,則F1D=F2D。注意：同反演定理相比較

Δ運(yùn)算的優(yōu)先次序相同；Δ只變換運(yùn)算符號(hào)和常量，其變量是不變的。2.4邏輯代數(shù)的