導數在經濟學中的應用第一頁，共五十九頁，2022年，8月28日

某一商品的需求量是指關于一定的價格水平，在一定的時間內，消費者愿意而且有支付能力購買的商品量。一、經濟學中的常見函數1.需求函數消費者對某種商品的需求量是由多種因素決定的，例如，人口、收入、季節(jié)、該商品的價格、其他商品的價格等。機動目錄上頁下頁返回結束第二頁，共五十九頁，2022年，8月28日如果除價格外，收入等其他因素在一定時期內變化很少，即可認為其他因素對需求量無影響，則需求量Q便是價格P的函數，記稱f為需求函數，同時f（P）的反函數也稱為需求函數。一般說來，商品價格的上漲會使需求量減少。因此，需求函數是單調減少的。第三頁，共五十九頁，2022年，8月28日人們根據統(tǒng)計數據，常使用下面簡單的需求函數線性函數：，其中冪函數：，其中指數函數：，其中第四頁，共五十九頁，2022年，8月28日例1設某商品需求函數為討論P=0

時的需求量和Q=0

時的價格。解：當P=0

時，Q=b，它表示當價格為零時，消費者對商品的需求量為b，b也就是市場對該商品的飽和需求量，也稱為最大需求量。當Q=0

時，P=b/a，它表示當價格上漲到b/a時，沒有人愿意購買該產品。第五頁，共五十九頁，2022年，8月28日2.供給函數

某一商品的供給量是指在一定的價格條件下，在一定的時期內，生產者愿意生產并可供出出售的商品量。

供給量也是由多個因素決定的，如果認為在一段時間內除價格以外的其他因素變化很小，則供給量Q便是價格P的函數，設稱為供給函數。第六頁，共五十九頁，2022年，8月28日一般說來，商品的市場價格越高，生產者愿意而且能夠向市場提供的商品量也就越多。因此一般的供給函數都是單調增加的。人們根據統(tǒng)計數據，常使用下面簡單的供給函數線性函數：，其中冪函數：，其中指數函數：，其中第七頁，共五十九頁，2022年，8月28日使一種商品的市場需求量與供給量相等的價格（記為P0），稱為均衡價格。例2.已知某商品的需求函數和供給函數分別為求該商品均衡價格。解：由供需均衡條件，有由此，得均衡價格第八頁，共五十九頁，2022年，8月28日3.生產函數生產函數表示了一定的時期內各生產要素的投入量與產品的最大可能產量之間的關系。生產要素包括資金和勞動力等多種要素。為方便起見，暫時先考慮只有一個投入變量，而其余投入皆為常量的情況。例3.

在電力輸送過程中，如果用x表示能量輸入，則能量輸出為y=f(x)，其中這里c>0

為容量參數。第九頁，共五十九頁，2022年，8月28日規(guī)模報酬問題：當投入增加一倍時，產出是否也增加一倍？例：設投入x與產出g(x)的關系為由于，可見，當時，規(guī)模報酬不變；當時，如果投入增加一倍，產量增加不到一倍，即規(guī)模報酬遞減；當時，如果投入增加一倍，產量增加超過一倍，即規(guī)模報酬遞增。第十頁，共五十九頁，2022年，8月28日4.成本函數成本是生產一定數量產品所需要的各種生產要素投入的價格或費用總額。成本由固定成本和可變成本組成。固定成本是指支付固定生產要素的費用。包括廠房、設備折舊以及管理人員工資等；可變成本是指支付可變生產要素的費用，包括原材料、燃料的支付以及生產工人的的工資，它隨著產量的變動而變動。第十一頁，共五十九頁，2022年，8月28日例4.設某廠的生產函數，其中L表示勞動力數量，求勞動力價格為1152時的可變成本函數解：由，得，這樣即可變成本函數第十二頁，共五十九頁，2022年，8月28日5.收益函數總收益是生產者出售一定數量產品所得到的全部收入，用Q表示出售的產品數量，R

表示總收益，表示平均收益，則如果產品的價格P

保持不變，則第十三頁，共五十九頁，2022年，8月28日6.利潤函數利潤是生產中獲得的總收益與投入的總成本之差，即例6.已知某產品價格為P，需求函數為成本函數為，求產量Q

為多少時利潤L最大？最大利潤是多少？解：由需求函數，可得于是，收益函數為第十四頁，共五十九頁，2022年，8月28日因此，時，最大利潤為30。這樣，利潤函數為第十五頁，共五十九頁，2022年，8月28日7.庫存函數設某企業(yè)在計劃期T內，對某種物品的總需求量為Q，由于庫存費用及資金占用等因素。顯然一次進貨是不合算的，考慮均勻地分n

次進貨，每次進貨批量為，進貨周期為假定每件物品的貯存單位時間費用為C1，每次進貨費用為C2，每次進貨量相同，進貨間隔時間不變，以勻速消耗貯存物品，則平均庫存為。第十六頁，共五十九頁，2022年，8月28日在時間T內的總費用E為其中是貯存費，是進貨費用。第十七頁，共五十九頁，2022年，8月28日8.戈珀茲（Gompertz）曲線戈珀茲曲線是指數函數在經濟預測中，經常使用該曲線.當初始期發(fā)展期飽和期時，其圖形如圖所示第十八頁，共五十九頁，2022年，8月28日初始期發(fā)展期飽和期由圖可見戈珀茲曲線當t>0且無限增大時，其無限與直線y=k

接近，且始終位于該直線下方。在產品銷售預測中，當預測銷售量充分接近到k的值時，表示該產品在商業(yè)流通中將達到市場飽和。第十九頁，共五十九頁，2022年，8月28日二、邊際與彈性1.邊際概念如果函數在處可導，則在內的平均變化率為；在處的瞬時變化率經濟學中稱它為在處的邊際函數值。第二十頁，共五十九頁，2022年，8月28日設在點處，從改變一個單位時，的增量的準確值為，當改變量很小時，則由微分的應用知道，的近似值為當時，標志著x

由x0

減少一個單位。第二十一頁，共五十九頁，2022年，8月28日定義1設函數在處可導，則稱導數的邊際函數。為在x0處的值為邊際函數值。即：當x=x0時，x改變一個單位，y改變個單位。第二十二頁，共五十九頁，2022年，8月28日例1解：第二十三頁，共五十九頁，2022年，8月28日（1）邊際成本2.經濟學中常見的邊際函數（2）邊際平均成本總成本函數的導數，稱為邊際成本。平均成本的導數，稱為平均邊際成本。第二十四頁，共五十九頁，2022年，8月28日一般說來，總成本等于固定成本與可變成本之和，即于是，邊際成本為顯然，邊際成本與固定成本無關。第二十五頁，共五十九頁，2022年，8月28日例2.設某產品生產Q單位的總成本為求：（1）生產900個單位時的總成本和平均成本；（2）生產900個單位到1000個單位時的總成本的平均變化率；（3）生產900個的邊際成本，并解釋其經濟意義。第二十六頁，共五十九頁，2022年，8月28日總成本函數：解：（1）生產900個單位時的總成本為平均成本為第二十七頁，共五十九頁，2022年，8月28日

（2）生產900個單位到1000時總成本的平均變化率為總成本函數：解：第二十八頁，共五十九頁，2022年，8月28日總成本函數：解：

（3）邊際成本函數當Q=900時的邊際成本為它表示當產量為900

個單位時，再增加一個單位，需增加成本1.5個單位。（或減少）（或減少）第二十九頁，共五十九頁，2022年，8月28日（3）邊際收益定義：總收益函數的導數稱為邊際收益函數。設P為價格，，因此第三十頁，共五十九頁，2022年，8月28日解：總收益為銷售15個單位時，總收益平均收益第三十一頁，共五十九頁，2022年，8月28日邊際收益當銷售量從15個單位到20個單位時的平均變化率為例4.當某廠家打算生產一批商品投放市場，已知該商品的需求函數為，其中為需求量，為價格，且最大需求量為6，求該商品的收益函數和邊際函數。第三十二頁，共五十九頁，2022年，8月28日解：（4）邊際利潤定義：邊際利潤表示：若已經生產了Q單位產品，再生產一個單位產品所增加的總利潤．收益函數邊際收益函數總利潤函數的導數稱為邊際利潤。第三十三頁，共五十九頁，2022年，8月28日一般情況下，總利潤函數等于總收益函數與總成本函數之差。即則邊際利潤為顯然，邊際利潤可由邊際收入與邊際成本決定，時，第三十四頁，共五十九頁，2022年，8月28日例5.某工廠對其產品的情況進行了大量統(tǒng)計分析后得出總利潤（元）與每月產量（噸）的關系為，試確定每月生產20噸，25噸，35噸的邊際利潤，并作出經濟解釋。解：邊際利潤函數為第三十五頁，共五十九頁，2022年，8月28日上述結果表明當生產量為每月20噸時，再增加一噸，利潤將增加50元，當產量為每月25噸時，再增加一噸，利潤不變；當產量為35噸時，再增加一噸，利潤將減少100．此處說明，對廠家來說，并非生產的產品越多，利潤越高.邊際利潤第三十六頁，共五十九頁，2022年，8月28日（5）邊際需求定義若是需求函數，則需求量對價格的導數稱為邊際需求函數。的反函數是價格函數，價格對需求的導數稱為邊際價格函數。由反函數求導法則可知，邊際需求函數與邊際價格函數互為倒數，即第三十七頁，共五十九頁，2022年，8月28日解：它的經濟意義是價格為4時，價格上漲（或下降）1個單位，需求量將減少（或增加）8個單位.當時的邊際需求為第三十八頁，共五十九頁，2022年，8月28日定義3.彈性概念設函數在點處可導，函數的相對改變量與自變量的相對改變量之比，稱為函數從到兩點間的平均相對變化率，或稱兩點間的彈性。注意：兩點間的彈性是有方向性的。第三十九頁，共五十九頁，2022年，8月28日記作，或即第四十頁，共五十九頁，2022年，8月28日彈性函數的定義對一般的，若可導且，則有是的函數，稱為的彈性函數（簡稱彈性）函數在點處的彈性反映了的變化幅度對變化幅度的大小的影響，也就是對變化反應的強烈程度或靈敏度。第四十一頁，共五十九頁，2022年，8月28日表示在點處，當產生1%的改變時，近似地改變。由彈性的定義邊際函數平均函數彈性在經濟學上可理解為邊際函數與平均函數之比。第四十二頁，共五十九頁，2022年，8月28日常見函數的彈性（a,b,c,為常數）（1）常數函數的彈性（2）線性函數的彈性（3）冪函數的彈性第四十三頁，共五十九頁，2022年，8月28日常見函數的彈性（a,b,c,為常數）（4）指數函數的彈性（5）對數函數的彈性（6）三角函數的彈性，第四十四頁，共五十九頁，2022年，8月28日彈性的四則運算第四十五頁，共五十九頁，2022年，8月28日函數彈性的圖解方案對于給定的函數的幾何意義知（如圖所示），由邊際函數又平均函數為則注：常用符號表示需求的價格彈性的絕對值第四十六頁，共五十九頁，2022年，8月28日1.需求的價格彈性

需求的價格彈性是指當價格變化一定的百分比以后引起的需求量的反應程度.用公式表示為三、經濟學中常見的彈性函數解：例1某需求曲線為，求P=20時的彈性。，當P=20時，Q=1000，所以第四十七頁，共五十九頁，2022年，8月28日幾種特殊的價格彈性從理論上來說，有以下四種特殊的需求彈性：（1）需求的價格彈性等于0。也就是說，這種商品完全沒有彈性，不管價格如何變，其需求量都不會發(fā)生變化。這種商品的需求曲線的圖形是一條垂直的直線。第四十八頁，共五十九頁，2022年，8月28日（2）需求的價格彈性為無窮大。它表明商品在一定價格條件下，有多少就可以賣掉多少；然而想把價格稍微提高一點點，就可能一個也賣不掉。這種商品的需求曲線為一條水平的直線。在這市場里，不同企業(yè)的產品是同質的，價格由市場供需關系所決定；第四十九頁，共五十九頁，2022年，8月28日（3）單位彈性。即需求曲線上各點的彈性均為1，也就是說，在任何價格水平下，價格變動一個百分比時，需求量均按同樣的百分比變化。這種商品的需求曲線是一條雙曲線，其方程為P×Q=K。例如，當一個人從每月的工資中拿出一定數量的錢，如100元，購買書時，其個人對書的需求曲線就是一條雙曲線；第五十頁，共五十九頁，2022年，8月28日（4）需求曲線是一條傾斜的直線（如圖）。這里需求曲線的各點的彈性都是變化的。在其上端點（A），；在其上端點（B），需求曲線的中點（M），需求曲線的AM部分，，稱之為彈性需求；需求曲線的MB部分，，稱之為非彈性需求。第五十一頁，共五十九頁，2022年，8月28日例9.設某產品的需求函數為，，其中P為價格，Q

為需求量：（1）當P=10，且價格上漲1%時，需求量Q是增加還是減少，變化百分之幾？（2）討論商品價格變化時，需求量變化的情況。解：（1）需求彈性故第五十二頁，共五十九頁，2022年，8月28日由于P和Q是按相反方向變化的，在P=10，且價格上漲1%時需求量Q則減少（2）當，即時，因，故，即。因而當價格P在0與25之間變化，且上漲（下降）1%時，需求量減少（增加），小于價格上漲（下降）的百分比（因）；第五十三頁，共五十九頁，2022年，8月28日當，即，得這表明P=25時，需求量的變動與價格變動按相同的百分比進行；