第四章隨機變量的數(shù)字特征4.1數(shù)學期望4.2方差4.1.1一維離散型隨機變量的數(shù)學期望4.1.2一維連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望4.1.3二維隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望引例1分賭本問題(產(chǎn)生背景)

A,B兩人賭技相同,各出賭金100元,并約定先勝三局者為勝,取得全部200元.由于出現(xiàn)意外情況,在A勝2局B勝1局時,不得不終止賭博,如果要分賭金,該如何分配才算公平?4.1.1一維離散型數(shù)學期望的概念

4.1數(shù)學期望A勝2局B勝1局前三局:后二局:把已賭過的三局(A勝2局B勝1局)與上述結果相結合,即A、B賭完五局,AAAB

BABBA勝B勝分析假設繼續(xù)賭兩局,則結果有以下四種情況:AAA

B

BABBA勝B負A勝B負B勝A負B勝A負因此,A能“期望”得到的數(shù)目應為而B能“期望”得到的數(shù)目,則為故有,在賭技相同的情況下,A,B最終獲勝的可能性大小之比為即A應獲得賭金的而B只能獲得賭金的因而A期望所得的賭金即為X的“期望”值,X

的可能值與其概率之積的累加.即為若設隨機變量X為:在A勝2局B勝1局的前提下,繼續(xù)賭下去A最終所得的賭金.則X所取可能值為:其概率分別為:設甲、乙兩工人在相同條件下生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，

甲一天內(nèi)生產(chǎn)的廢品數(shù)為X，乙一天內(nèi)生產(chǎn)的廢品數(shù)為Y，經(jīng)過長期觀察，得X，Y的分布如下：引例2技術高低問題?誰的水平更高一些？在同一個標準下(比如假設讓甲、乙兩人在相同條件下各工作100天)，以乙生產(chǎn)的廢品數(shù)(或平均每天生產(chǎn)的廢品數(shù))來衡量技術高低。由概率統(tǒng)計定義，甲生產(chǎn)0個，1個，2個，3個次品的天數(shù)為30，30，2020.故甲平均每天生產(chǎn)的次品數(shù)：同樣可以得到乙平均每天生產(chǎn)的次品數(shù)因此乙的技術要好一些。關于定義的幾點說明(1)E(X)是一個實數(shù),而非變量,它是一種加權平均,與一般的平均值不同,它從本質(zhì)上體現(xiàn)了隨機變量X取可能值的真正的平均值,也稱均值.(2)級數(shù)的絕對收斂性保證了級數(shù)的和不隨級數(shù)各項次序的改變而改變,之所以這樣要求是因為數(shù)學期望是反映隨機變量X取可能值的平均值,它不應隨可能值的排列次序而改變.例1

設X服從參數(shù)為的泊松分布，求X的數(shù)學期望。解：例2

如何確定投資決策方向?

某人有10萬元現(xiàn)金，想投資于某項目，預估成功的機會為30%，可得利潤8萬元，失敗的機會為70%，將損失2萬元．若存入銀行，同期間的利率為5%，問是否作此項投資?解設X為投資利潤，則存入銀行的利息:故應選擇投資.例3商店的銷售策略解例4

隨機變量的函數(shù)的數(shù)學期望設X的分布密度為:求4X+5的數(shù)學期望。解：先求出4X+5分布一般地，若X的分布為：4.1.2一維連續(xù)型數(shù)學期望的概念

解例5

設X服從[a,b]上的均勻分布，求E(X).例6解：E(X)與離散型隨機變量類似，則Y的數(shù)學期望為：例7解：4.1.3二維隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望

例8解：由(X,Y)的分布密度可得Z的分布密度例91.設C是常數(shù),則有證明3.設X是一個隨機變量,C是常數(shù),則有例如可以證明，數(shù)學期望的有如下性質(zhì)：2.設X是一個隨機變量,C是常數(shù),則有4.設X是一個隨機變量,k,b是常數(shù),則有5.設X,Y是兩個隨機變量,則有推廣：6.設X,Y是相互獨立的隨機變量,則有通常想法：引例1：有甲、乙兩射手，他們每次命中的環(huán)數(shù)分別用X、Y表示，已知X、Y分布列如下：試問：甲、乙兩人誰的技術更穩(wěn)定些？89100.20.60.289100.10.80.1在技術水平相同的條件下，比較一下誰的技術更穩(wěn)定些。一、方差的概念4.2方差衡量辦法：看誰命中的環(huán)數(shù)比較集中于平均值附近，或偏離平均值程度較小。89100.20.60.289100.10.80.1所以乙射手要比甲射手的技術穩(wěn)定些。定義

X的標準差：設X為一隨機變量，若存在，則稱其為X的方差，記作即定義：[注1]：方差刻劃了X取值的分散（或集中）程度.[注2]：方差是一個常用來體現(xiàn)隨機變量X取值分散程度的量.如果D(X)值大,表示X取值分散程度大,E(X)的代表性差;而如果D(X)值小,則表示X的取值比較集中,以E(X)作為隨機變量的代表性好.二、方差的性質(zhì)(1)設C是常數(shù),則有(2)設X是一個隨機變量,C是常數(shù),則有證明(3)設X是一個隨機變量,c是常數(shù),則證明(4)設X,Y相互獨立,D(X),D(Y)存在,則證明推廣離散型隨機變量的方差連續(xù)型隨機變量的方差三、隨機變量方差的計算

(1)利用定義計算

證明(2)利用公式計算例1計算參數(shù)為p的0-1分布的方差

解