第四章回歸模型中的

隨機誤差項問題第一節(jié)概述第二節(jié)異方差第三節(jié)自相關2/2/20231山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室一、古典假定假定1：隨機項ui具有零均值：

E(ui|xi)=0i=1,2,…,n假定2：隨機項ui具有同方差：

Var(ui|xi)=u2

i=1,2,…,n假定3：隨機項ui無序列相關性：

Cov(ui,uj)=0i≠j

i,j=1,2,…,n假定5：u服從正態(tài)分布

ui~N(0,u2)i=1,2,…,n第一節(jié)概述2/2/20232山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室有了以上這些假定，根據(jù)高斯－馬爾可夫（Gauss-Markov）定理，我們知道古典回歸模型的最小二乘估計量（OLSE）是線性最優(yōu)無偏估計量(BLUE)，而且服從正態(tài)分布。因此，就可以進行參數(shù)的區(qū)間估計，而且也可以檢驗真實總體回歸系數(shù)的顯著性。2/2/20233山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室二、古典假定的違背及造成的后果在實際經濟問題中，上述的古典假定不一定都能得到滿足。如果這些假定不完全滿足，則OLSE的BLUE特性將不復存在。當然，每一個假定不滿足所造成的后果是不同的。在本章中，我們將嚴格考察上述假定，找出如果有一個或多個假定得不到滿足時，估計量的性質將會發(fā)生什么變化,并研究當出現(xiàn)這些情況時，應該如何處理，即古典模型假定違背的經濟計量問題。2/2/20234山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室關于假定1，一般地我們認為假定E(ui|xi)=0

是合理的。因為隨機項u是多種因素的綜合，而每種因素的影響都“均勻”地微小，它對因變量的影響不是系統(tǒng)的，且正負影響相互抵消，故所有可能取值平均起來為零。即使有輕度的違反，從實踐的觀點來看可能不會產生嚴重的后果，因為它可能只影響回歸方程的截距項。關于隨機項正態(tài)性分布的假定，如果我們的目的僅僅是估計，這種假定并不是絕對必要的。事實上，無論是否是正態(tài)分布，OLSE估計式都是BLUE。剩下的四個假定將在下面的四節(jié)中分別加以討論。2/2/20235山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室三、廣義最小二乘法（GLS）給定線性回歸模型Y=Xβ

+u(4.7)若古典假定完全滿足，根據(jù)Gauss-Markov定理，其系數(shù)的最小二乘估計量

B＝(X′X)–1

X′Y(4.8)具有BLUE性質。若古典假定得不到完全滿足，特別是假定2（同方差性）和假定3（無序列相關性）得不到滿足時，對OLSE的影響更大。2/2/20236山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室使得其中的重新滿足假定2(同方差性)和假定3(無序列相關性)。這樣就可以對上式使用OLS估計參數(shù)，從而使得上式的OLSE仍然為BLUE。其中Ω≠I，Ω是一個n×n的正定對稱方陣。若因假定2和假定3不滿足時，有廣義最小二乘法（GeneralLeastSquares－GLS）就是為了解決上述問題提出的。其基本思路是：若假定2同方差性）和假定3（無序列相關性）得不到滿足時，我們可以采取適當?shù)淖儞Q，使原模型變?yōu)橐韵碌男问剑?/2/20237山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室此時可以覓得一個n×n的非奇異矩陣P，使得：PΩP′=I即P′P

=Ω-1

然后用覓得的P乘以(4.7)的兩邊，有：

PY=PXβ+Pu記

(4.7)就轉換為：由于：(4.14)2/2/20238山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室所以，(4.14)滿足同方差性和無序列相關性，即可以采用OLS估計參數(shù)了。其參數(shù)的OLSE為：GLSE的協(xié)方差矩陣為：上式中的稱為廣義最小二乘估計量（GLSE），可以證明，它具有線性、無偏性和最小方差性，即它是最優(yōu)線性無偏估計量（BLUE）(4.16)2/2/20239山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室第二節(jié)異方差一、異方差及其產生的原因則稱隨機誤差項u具有異方差性(Heteroscedasticity)。如果被解釋變量觀測值的分散程度是隨解釋變量的變化而變化的，如圖4.1所示，可以把異方差看成是由于某個解釋變量的變化而引起的，則當不能滿足同方差的假設，即u的條件方差在不同次的觀測中不再是一個常數(shù)，而是取得不同的數(shù)值，即2/2/202310山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室圖4.1異方差示意圖

xyf(y)2/2/202311山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室異方差舉例例：截面資料下研究居民家庭的儲蓄行為

yi=0+1xi+uiyi：第i個家庭的儲蓄額xi：第i個家庭的收入高收入家庭：儲蓄的差異較大低收入家庭：儲蓄則更有規(guī)律性，差異較小ui的方差呈現(xiàn)單調遞增型變化2/2/202312山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室yx圖4.2收入-儲蓄模型中的異方差2/2/202313山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室例:以某一行業(yè)的企業(yè)為樣本建立企業(yè)生產函數(shù)模型

Q=AKαLeu其中，Q為產出量，K為資本，L為勞動力，u為隨機項。u在該問題中表示了包括不同企業(yè)在設計上、生產工藝上的區(qū)別，技術熟練程度和管理上的差別以及其它因素。這些因素在小企業(yè)之間差別不大，而在大企業(yè)之間，這些因素都相差甚遠，即隨機項的方差隨著解釋變量的增大而增大。2/2/202314山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室異方差產生的原因1、模型中省略的解釋變量如果將某些未在模型中出現(xiàn)的重要影響因素歸入隨機誤差項，而且這些影響因素的變化具有差異性，則會對被解釋變量產生不同的影響，從而導致誤差項的方差隨之變化，即產生異方差性。

2、測量誤差一方面，解釋變量取值越大測量誤差會趨于增大；另一方面，測量誤差可能隨時間而變化。3、截面數(shù)據(jù)中總體各單位的差異如前面家庭儲蓄行為中高低收入家庭的差異。

4.模型函數(shù)形式設定錯誤如把變量間本來為非線性的關系設定為線性，也可能導致異方差。2/2/202315山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室注意：☆異方差問題多在于截面數(shù)據(jù)中而非時間序列數(shù)據(jù)中。☆本教材只討論橫截面數(shù)據(jù)的異方差問題。2/2/202316山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室二、異方差產生的后果最小二乘估計量仍然是線性無偏的，但不再具有最小方差性。參數(shù)的顯著性檢驗和置信區(qū)間的建立發(fā)生困難。雖然最小二乘法參數(shù)的估計量是無偏的，但這些參數(shù)方差的估計量、是有偏的。預測的精確度降低。2/2/202317山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室三、異方差的檢驗由于異方差性就是相對于不同的解釋變量觀測值，隨機誤差項具有不同的方差。那么：

檢驗異方差性，也就是檢驗隨機誤差項的方差與解釋變量觀測值之間的相關性及其相關的“形式”。(一)圖示法隨機項u的異方差與解釋變量的變化有關。因此，可利用因變量y與解釋變量x的散點圖或殘差e2i與x的散點圖，對隨機項u的異方差作近似的直觀判斷。2/2/202318山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室yxyxyxyxA同方差B遞增異方差C遞減異方差D復雜異方差2/2/202319山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室2/2/202320山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室（二）Goldfeld-Quandt檢驗該方法該檢驗方法是Goldfeld和Quandt于1965年提出的，用于檢驗是否存在遞增或遞減異方差，要求觀測值為大樣本?；舅枷胧菍颖痉譃閮刹糠?，然后分別對兩個樣本進行回歸，并計算比較兩個回歸的剩余平方和是否有明顯差異，以此判斷是否存在異方差。原假設為：H0：u同方差，即σ21=…=σ2n備擇假設為：H1：u是遞增異(或遞減)方差，即σ2i隨xi遞增(或遞減)(i=1,2,…,n)2/2/202321山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室G-Q檢驗的步驟：1.將n對樣本觀察值(xi,yi)按觀察值xi的大小排隊。2.將序列中間的c個觀察值除去，并將剩下的觀察值劃分為較小與較大的相同的兩個子樣本，每個子樣樣本容量均為(n-c)/2。注意：對于n≥30時，c=n/4最合適。3.對每個子樣分別進行OLS回歸，并計算各自的殘差平方和。分別用RSS1與RSS2表示較小與較大的殘差平方和，它們的自由度均為(n-c)/2–k–1，k為模型中自變量個數(shù)。 4.選擇統(tǒng)計量2/2/202322山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室如果檢驗遞增方差：如果檢驗遞增方差：5.進行檢驗可以證明，在原假設下，如果具有等方差性，兩個方差估計量應該相差不大，F(xiàn)值就應接近于1。如果存在異方差，那么F值就應該比1大出許多。在給定的顯著性水平下，利用F分布的臨界值Fα進行顯著性檢驗。當F＞Fα時，應拒絕H0，認為存在異方差性，當F不大于Fα時，應接受H0，認為存在同方差性。2/2/202323山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室例4.1根據(jù)隨機抽取的21個農村家庭年底儲蓄余額與年內家庭純貨幣收入的資料，按收入排序后的數(shù)據(jù)見下表。其中，x為年內家庭純貨幣收入（元），y為年底家庭儲蓄余額（元）。家庭編號xy家庭編號xy1590.2107122827.7315892664.94123133084.1722093809.5159143462.7128784875.54189153932.5237225991.25233165150.79535061109.95312177153.35808071357.87401189076.851175881682.85221910448.211583991890.586642011575.4818196102098.258712112500.8420954112499.581033

表4.1家庭儲蓄余額與純貨幣收入數(shù)據(jù)表2/2/202324山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室（三）White檢驗White檢驗的基本思想：如果存在異方差，其方差與解釋變量有關，可以分析方差是否與解釋變量有某些形式的聯(lián)系以判斷異方差性。但是方差一般是未知的，可用OLS法估計的殘差平方作為其估計量。在大樣本的情況下，做對常數(shù)項，解釋變量，解釋變量的平方及其交叉乘積等所構成的輔助回歸，利用輔助回歸相應的檢驗統(tǒng)計量，即可判斷是否存在異方差性。

2/2/202325山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室例如，二元線性回歸模型為

(4.21)異方差與解釋變量x1、x2的一般線性關系為

（4.22）其中vi為隨機誤差。White檢驗的基本步驟如下：1.運用OLS估計（4.21）。

2.計算殘差序列ei，并求e2i。3.做e2i對x1i,x2i

,x21i,x22i

,x1ix2i

,的輔助回歸，即2/2/202326山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室4.計算統(tǒng)計量nR2,n為樣本容量，R2為輔助回歸的樣本決定系數(shù)。5.在原假設“誤差項同方差”下，nR2服從自由度為5的χ2分布。給定顯著性水平α，查分布表得臨界值χ2α(5)，如果nR2＞χ2α(5)，則拒絕原假設，表明模型中隨機誤差存在異方差（EViews軟件中給出nR2對應的概率(Probability)。若

Probability＜α，則表明模型中隨機誤差存在異方差，α一般取0.05）。

White檢驗的特點是，不僅能夠檢驗異方差的存在性，同時在多變量的情況下，還能判斷出是由哪一個變量引起的異方差，通常應用于截面數(shù)據(jù)的情形。此方法不需要異方差的先驗信息，但要求觀測值為大樣本。2/2/202327山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室（四）Park檢驗Park將σ2i看成是解釋變量xi的某個函數(shù)。他所建議的函數(shù)形式是：或由于σ2i通常是未知的，Park建議用e2i作為替代變量并作如下回歸：如果γ在統(tǒng)計上是顯著的，就表明存在異方差。如果它不顯著，則可接受同方差假設。Park檢驗不但可以用于檢驗異方差，還可以找出異方差的數(shù)學形式。2/2/202328山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室（五）戈里瑟(Gleiser)檢驗Glejeser檢驗的基本思路是：在殘差|ei|關于解釋變量的各種冪次影響關系中，確定出一個最顯著的函數(shù)形式，它不僅可以說明異方差的存在，還確定了異方差的表現(xiàn)形式。具體步驟如下：1.利用最小二乘法對模型進行回歸，計算殘差ei。2.對|ei|關于xi的各種冪次關系進行回歸，再利用最小二乘法進行估計。例如可以取以下形式2/2/202329山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室對各個回歸方程進行統(tǒng)計檢驗，如果某種回歸形式的擬合優(yōu)度高，系數(shù)的t檢驗顯著，就說明|ei|與xi存在該種影響關系，從而異方差存在。注意:Glejeser檢驗的計算工作量較大，一般是先通過其它檢驗方法確定了存在異方差之后，再用此方法確定異方差的形式。2/2/202330山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室（六）Spearman等級（秩）相關檢驗這是一種非參數(shù)檢驗。方法為：1.利用最小二乘法對模型進行回歸，計算殘差ei及其絕對值|ei|；2.給出xj的每個xji的位次和|ei|的位次；3.計算每個樣本點xji的位次和|ei|的位次之差di

4.計算Spearman等級（秩）相關系數(shù)：2/2/202331山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室5.對Spearman等級（秩）相關系數(shù)進行顯著性檢驗。檢驗統(tǒng)計量為：在原假設“總體的Spearman等級（秩）相關系數(shù)為0”下，上述統(tǒng)計量服從自由度為（n－2）的t分布。上述統(tǒng)計量服從自由度為（n－2）的t分布。對應給定顯著性水平的臨界值tα/2(n-2)，若t≤tα/2(n-2)，則認為不存在異方差，若t＞tα/2(n-2)，則認為存在異方差。2/2/202332山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室四、解決異方差問題的途徑基本思路：變換原模型，使經過變換后的模型具有同方差性，然后再用OLS法進行估計。常用方法是加權最小二乘法（WeightedLeastSquare，WLS），它是廣義最小二乘法（GLS）的一個應用。2/2/202333山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室在同方差假定下，OLS把每個殘差平方都同等的看待，都賦予相同的權數(shù)1。但是,當存在異方差時，方差越小，其樣本值偏離均值的程度越小，其觀測值越應受到重視，即方差越小，在確定回歸線時的作用越大；反之方差越大，其樣本值偏離均值的程度越大，其觀測值所起的作用應當越小。也就是說，在擬合存在異方差的模型的回歸線時，對具有不同方差的殘差應該區(qū)別對待。從樣本的角度，對較小方差的殘差給予較大的權數(shù)，對較大方差的殘差給予較小的權數(shù)，從而使加權的殘差平方和比其簡單平方和能更好地反映不同樣本點數(shù)據(jù)對殘差平方和的影響。

（一）加權最小二乘法2/2/202334山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室通常將權數(shù)取為：

則加權的殘差平方和為：

根據(jù)最小二乘原理，使加權的殘差平方和最小，即：解得：其中：這種求解參數(shù)估計式的方法為加權最小二乘法，這樣估計出的參數(shù)稱為加權最小二乘估計量（WLSE）。2/2/202335山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室實際應用中，由于隨機項的方差未知，WLS是無法使用的，因此，一般采用以下等價的方法：在一元模型中，由異方差的含義，條件方差可表示為解釋變量的函數(shù)，若這種函數(shù)可以估計出來，比如：這時用乘以的兩邊，得：記：則：這說明轉換后的模型具有了同方差性，可以使用OLS進行估計了。2/2/202336山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室在多元模型中，若方差與m個解釋變量有關，則可設：用去乘以原模型兩端得：類似一元模型的情況，可以說明轉換后的模型具有了同方差性，可以使用OLS進行估計了。可見，這種方法的思路實際上就是當確定了異方差的具體的形式時，將原模型加以適當?shù)摹白儞Q”，使得“變換”后的模型消除或減輕異方差的影響。2/2/202337山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室再以一元模型為例進行分析:假定1:此時用xi的倒數(shù)去乘以原模型的兩邊得：此時:這樣轉換后的模型具有同方差性。(其中,)對轉換后的模型應用OLS，即可求得：于是，得到原模型的樣本回歸方程為：2/2/202338山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室假定2此時用的倒數(shù)去乘以原模型的兩邊,可得對轉換后的模型應用OLS得：其中：進一步還原可得到原模型的樣本回歸方程。2/2/202339山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室（二）模型的對數(shù)變換在經濟意義成立的情況下，如果對線性模型作對數(shù)變換，其變量均用對數(shù)代替，通常可以降低異方差性的影響。原因：運用對數(shù)變換能使測定變量值的尺度縮小。如取自然對數(shù)，它可以將兩個數(shù)值之間原來10倍的差異縮小到只有2倍多的差異。經過自然對數(shù)變換后的模型，其殘差表示相對誤差，而相對誤差往往比絕對誤差有較小的差異。2/2/202340山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室注意：對變量取對數(shù)雖然能夠減少異方差對模型的影響，但應注意取對數(shù)后變量的經濟意義。如果變量之間在經濟意義上并非呈對數(shù)線性關系，則不能簡單地對變量取對數(shù)，這時只能用其他的方法對異方差進行修正。如果異方差是由省略的解釋變量而造成的，進行模型轉換雖然可以消除異方差，但參數(shù)估計值仍然可能不準確，此時最好的解決方法是找出被省略的解釋變量，并加入到模型中去。2/2/202341山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室（三）在OLS下，使用異方差性一致估計量存在異方差時，參數(shù)的OLSE仍是無偏和一致估計量，應該說還是具有良好性質的估計量。但異方差性造成系數(shù)的置信區(qū)間和假設檢驗結果不可信賴，造成方差的OLSE有偏。White設計了異方差性一致估計量指標，解決了異方差條件下回歸系數(shù)方差的估計問題。這種估計量的性質不是“最好”，但它們對于同方差性的違背不敏感，被稱為方差的穩(wěn)健估計量（RobustEstimators）。下面我們用一元線性回歸模型對White方法作一說明。2/2/202342山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室OLS估計的斜率系數(shù)的方差公式是：如果滿足同方差假定，則存在一個常數(shù)方差，將其代入(4.34)，有：

(4.34)但在異方差條件下，不存在這樣的常數(shù)方差，White的方法是在(4.34)式中用取代(這里是第i個OLS殘差），得到異方差性一致標準誤差：2/2/202343山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室注意：不能用得到的一致估計量，White得到的是的一致估計量，它是的加權平均。

同樣的分析適用于多元回歸OLSE的情況，用White方法得到的第j個OLS回歸系數(shù)方差的異方差性一致估計值由下式給出：其中是從xj對方程中所有其它解釋變量OLS回歸得到的殘差，ei為原多元回歸模型的第i個OLS殘差。2/2/202344山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室通過使用諸方差的White異方差性一致估計值代替其OLS估計值，我們解決了異方差性造成系數(shù)的置信區(qū)間和假設檢驗結果不可信賴的問題。與本節(jié)前面介紹的WLS法相比，這種的解決異方差性的方法的優(yōu)越之處在于，不需要知道異方差性的具體形式。因此，在異方差性的基本結構未知的情況下，建議仍采用OLS法估計系數(shù)，而采用方差的穩(wěn)健估計量，White的異方差性一致估計量就是一種很好的選擇。2/2/202345山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室例4.3

表4.5列出了2003年我國各地區(qū)的FDI和GDP的數(shù)據(jù)，試建立我國各地區(qū)FDI對GDP的回歸模型，并檢驗、矯正異方差。省份y(FDI，萬美元)x(GDP，億元)省份y(FDI，萬美元)x(GDP，億元)北京2191263663.1河南539037048.59天津1534732447.66湖北1568865401.71河北964057098.56湖南1018354638.73山西213612456.59廣東78229413625.87內蒙88542150.41廣西418562735.13遼寧2824106002.54海南42125670.93吉林190592522.62重慶260832250.56黑龍江321804430四川412315456.32上海5468496250.81貴州45211356.11江蘇105636512460.83云南83842465.29浙江4980559395陜西331902398.58安徽367203972.38甘肅23421304.6福建2599035232.17青海2522390.21江西1612022830.46寧夏1743385.34山東60161712435.93新疆15341877.61表4.5我國各地區(qū)2003年FDI和GDP的數(shù)據(jù)2/2/202346山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室第三節(jié)自相關一、自相關及其產生的原因若違背這個假定，Cov(ui

,uj)≠0，即u在不同的樣本點下的取值相關連，則稱隨機誤差項u存在序列相關（SeriesCorrelation）或自相關（Autocorrelation）。對于線性回歸模型，隨機項互不相關的基本假設表現(xiàn)為：Cov(ui

,ul)=0

il,i,l=1,2,…,n注意：自相關問題主要存在于時間序列數(shù)據(jù)中，所以本節(jié)研究的都是時間序列數(shù)據(jù)的自相關問題；為了討論和理解方便，下面的內容中用t,t-1,…表示時間序列數(shù)據(jù)的不同的觀測點，稱之為“期”，并將其作為隨機項或其它變量的下標，如ut表示u在第t期所取的值

。

2/2/202347山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室自相關產生的原因

1、被解釋變量的自相關

2、解釋變量的省略3、隨機項本身存在自相關4、回歸模型函數(shù)形式設定錯誤5、經濟變量的慣性作用2/2/202348山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室二、自相關產生的后果1、最小二乘估計量仍然是線性無偏的但不具有最優(yōu)性，一般情況下，參數(shù)估計值的真實方差會被低估。2、因為最小二乘估計量的方差估計是有偏的，所以通?；貧w系數(shù)顯著性的t檢驗將失去意義。類似地，F(xiàn)檢驗和R2檢驗不可靠。3、因變量的預測精度降低。2/2/202349山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室三、自相關的檢驗然后，通過分析這些“近似估計量”之間的相關性，以判斷隨機誤差項是否具有序列相關性。序列相關性檢驗方法有多種，但基本思路相同：基本思路:首先，采用OLS法估計模型，以求得隨機誤差項的“近似估計量”，用ei表示：2/2/202350山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室（一）圖示法1、繪制et和et-1的散點圖如果大部分散點落在Ⅰ、Ⅲ象限，如圖A所示。那么et和et-1就是正相關，這表明隨機項u存在一階正自相關；如果大部分點落在Ⅱ、Ⅳ象限，如圖B所示，那么et和et-1就是負相關，這表明隨機項u存在負自相關。etet-1etet-1A誤差項一階正自相關B誤差項一階負自相關2/2/202351山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室2、繪制殘差et的時間序列圖如果隨t的變化et并不存在明顯的規(guī)律性，則ut是非自相關的;如果隨著t的變化et是幾個正的后面跟著幾個負的，呈現(xiàn)較長周期的循環(huán)，則et(ut)之間存在正的自相關(圖A)；如果隨著t的變化et不斷地改變符號，呈現(xiàn)鋸齒型，則判定et之間存在負自相關，表明ut存在負自相關（圖B）。tetettA誤差項一階正自相關B誤差項一階負自相關2/2/202352山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室（二）Durbin—Watson檢驗如果總體回歸模型的隨機誤差項之間存在一階自相關形式，可寫成誤差項一階自回歸方程，記為AR(1)：ut=ut-1+vt

，其中，ρ為自回歸系數(shù)，vt是滿足以下標準的誤差項：E(v|ut-1)=0,Var(v|ut-1)=σ2,Cov(vt

,vt+s)=0s≠0檢驗隨機誤差項是否具有AR(1)形式的思路:首先，通過構造樣本回歸方程，計算出殘差et；然后，計算自回歸系數(shù)ρ的OLS估計值：1.DW統(tǒng)計量的提出2/2/202353山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室在大樣本情況下，由于,所以有:，(由于)其中，是自相關系數(shù)的樣本估計值。在在大樣本情況下，樣本一階自回歸系數(shù)大致等于樣本的一階自相關系數(shù)，其取值范圍為[-1，1]。最后，檢驗的顯著性。如果統(tǒng)計顯著，可以認為總體隨機誤差項存在一階自相關，反之亦然。2/2/202354山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室由于不服從任何的常見分布，導致檢驗統(tǒng)計量無法構造，無法對其進行統(tǒng)計顯著性檢驗。為此，德賓(J.Durbin)和瓦特森(G.S.Watson)于1951年提出了一種適用于小樣本的檢驗序列自相關的方法，使用與有密切聯(lián)系而且分布已知的DW統(tǒng)計量來替代。這種方法被稱為Durbin—Watson檢驗(DW檢驗)。該方法的假定條件是：（1）解釋變量x非隨機變量；（2）隨機誤差項ut為一階自回歸形式：ut=ut-1+vt

,其中，-1≤ρ≤1,ρ為自回歸系數(shù),vt滿足古典假設；（3）原回歸模型截距項不為零，即只適用于有常數(shù)項的回歸模型；（4）數(shù)據(jù)數(shù)列無缺失項。2/2/202355山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室2.DW統(tǒng)計量的構造針對原假設：H0:=0，即不存在一階自回歸，構如下造統(tǒng)計量：

D.W.統(tǒng)計量的分布與出現(xiàn)在給定樣本中的x值有復雜的關系，下面證明其值介于0到4之間。2/2/202356山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室因為，所以，0≤DW≤4。證明：

展開D.W.統(tǒng)計量：

(*)這里，只相差一期值，當n較大時，可以認為三者相等。所以上式可以寫為：

2/2/202357山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室DW-1(-1,0)0(0,1)14(2,4)2(0,2)0也就是說，DW值越接近于2，u的自相關性越??；DW值越接近于零，u正自相關程度越高；DW值越接近于4，u負自相關程度越高。2/2/202358山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室3.DW統(tǒng)計量的使用⑴當DW<dL時,拒絕原假設H0:ρ=0；接受備擇假設H1:ρ≠0，u存在一階正自相關。⑵當DW>(4－dL)時,拒絕原假設H0:ρ=0；接受備擇假設H1:ρ≠0，u存在一階負自相關。⑶當dU<DW<(4－dU)時,接受原假設H0:ρ=0,不存在自相關。⑷當dL<DW<dU

或(4－dU)<DW<(4－dL)時，則這種檢驗沒有結果，即u是否存在自相關，不能確定。DW4-dU42dUdL4-dL正自相關不能確定無自相關不能確定負自相關02/2/202359山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室4．DW檢驗的局限性DW檢驗僅適用于一階自回歸。DW檢驗有著兩個不能確定的區(qū)域。一但DW值落在這兩個區(qū)域，就無法確定是否存在自相關。在這種情況下，只有通過增加樣本觀測值或選取其它的樣本，重新檢驗或采用別的檢驗方法。如果模型自變量中存在滯后的因變量，如：即使ut存在自相關，DW值也經常接近于2。2/2/202360山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室可以證明在無自相關的假設下，h近似服從標準正態(tài)分布，所以可以用標準正態(tài)分布對其顯著性進行檢驗。針對第三種情況，德賓（J.Durbin）設計了一個新的檢驗統(tǒng)計量：其中，是yt-1系數(shù)估計量的標準差。

2/2/202361山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室（三）Breusch-Godfrey檢驗對于模型設隨機誤差項存在p階自相關：(vt滿足古典假定)(不存在p階自相關)。BG檢驗步驟如下：對于原假設1.用OLS估計樣本回歸方程，求出殘差et。2.作輔助回歸，并計算回歸方程的R2。2/2/202362山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室3.大樣本和H0成立下，布魯奇和高德佛瑞證明了：(n為樣本容量)4.統(tǒng)計決策。在給定的顯著性水平α下，查表得臨界值，若，就拒絕H0，此時，至少有一個在統(tǒng)計上顯著異于零，表明存在高階自相關。否則，接受零假設，認為不存在高階自相關。注意：實際應用時，可以從1階，2階…逐次向高階檢驗。2/2/202363山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室四、自相關模型的經濟計量方法通過檢驗，如果確定模型的隨機項存在自相關，就應對產生自相關的原因進行分析。如果自相關是由于模型中省略某些解釋變量造成的,那么就應根據(jù)經濟理論找出被省略的解釋變量，將它包含在模型之中。如果自相關是由于錯誤地確定模型的數(shù)學形式造成的，比如說本來是非線性型而錯誤地確定為線性型，那么就應該修正模型的數(shù)學形式。若排除了上述造成自相關的原因之后，經過自相關檢驗，隨機項仍存在自相關，可采用以下的方法解決自相關問題。2/2/202364山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室（一）一階差分法以一元模型為例其中,ut為一階自回歸AR(1):若模型存在完全一階正自相關，即ρ=1，則上式變?yōu)椋河捎冢簝墒较鄿p得：由于vt為滿足古典假定的誤差項，無自相關問題。對上式使用OLS估計參數(shù)，可得到β1最佳線性無偏估計量。ut=ut-1+vtvt滿足古典假設ut=ut-1+vt2/2/202365山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室注意：1.完全一階正自相關并不多見。但是只要是正的且比較大，一階差分法往往是有效的。2.一階差分法得到的回歸方程中沒有常數(shù)項，需要通過進行推算，然后才能得到對應原模型的樣本回歸方程：2/2/202366山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室（二）廣義差分法以一元模型為例其中,ut為一階自回歸AR(1):ut=ut-1+vtvt滿足古典假設(4.47)減(4.48)得：假設已知,將(4.47)式滯后一期，并乘以得：(4.47)(4.48)令：則得到：(4.50)(4.51)對模型(4.51)使用OLS，可得參數(shù)的最佳線性無偏估計量。2/2/202367山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室因為(4.51)式中被解釋變量與解釋變量均為現(xiàn)期值減去前期值的一部分，所以稱為廣義差分變換。注意：在進行廣義差分變換時，樣本容量減少一個。如果樣本容量較大，減少一個觀測值對估計結果影響不大。但是，如果樣本容量較小，則會對估計精度產生較大影響。此時，可采用Prais-Winsten變換，將第一個觀測值分別變換為：補充到差分序列中，再使用普通最小二乘法估計參數(shù)。2/2/202368山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室1.非線性回歸方法對(4.49)進行整理得：(4.52)這是一個參數(shù)非線性的模型。可以通過Gauss-Newton迭代法，通過數(shù)值計算直接得到參數(shù)的估計值。借助軟件，這種方法方便易行。如在EViews中，可以通過在回歸方程中添加變量AR(1)來進實現(xiàn)。2/2/202369山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室第一步，在廣義差分變換后的模型基本思路：先估計出，得到的估計值，再進行廣義差分變換。具體步驟如下：令：

則(4.52)可寫作:(4.52)(4.55)對上式進行OLS估計，求得的估計值,它是的一個有偏、一致估計。2.Durbin二步法注意：求還可以用其它方法。如利用DW≈2(1-)，這樣可以把(1-DW/2)作為的估計值。

2/2/202370山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室第二步，用對原模型(4.47)進行差分變換，即：應用OLS，求得a0,1的估計值，進而得到：杜賓二步法存在兩個問題：一、所得參數(shù)估計值的精度依賴于的估計值的精確度；二、差分模型的隨機項仍有可能存在自相關。得：2/2/202371山東財經大學統(tǒng)計學院計量經濟教研室(1)采用OLS法估計原模型,計算殘差et.(2)利用DW值或下面的公式計算的估計值：該方法是對杜賓二步法中精度的一種改進，通過迭代過程來降低變換后的模型中隨機項序列自相關的程度