第三章靜電場的邊值問題

主要內(nèi)容電位微分方程，鏡像法，分離變量法。1.電位微分方程已知，電位

與電場強(qiáng)度E

的關(guān)系為

對上式兩邊取散度，得對于線性各向同性的均勻介質(zhì)，電場強(qiáng)度E的散度為

那么，線性各向同性的均勻介質(zhì)中，電位滿足的微分方程式為該方程稱為泊松方程。

對于無源區(qū)，上式變?yōu)樯鲜椒Q為拉普拉斯方程。

泊松方程的求解。已知分布在V

中的電荷在無限大的自由空間產(chǎn)生的電位為因此，上式就是電位微分方程在自由空間的解。

應(yīng)用格林函數(shù)，即可求出泊松方程的通解為式中格林函數(shù)為

對于無限大的自由空間，表面S

趨向無限遠(yuǎn)處，由于格林函數(shù) 及電位

均與距離成反比，而dS與距離平方成正比，所以，對無限遠(yuǎn)處的S

表面，上式中的面積分為零。若V為無源區(qū)，那么上式中的體積分為零。因此，第二項(xiàng)面積分可以認(rèn)為是泊松方程在無源區(qū)中的解，或者認(rèn)為是拉普拉斯方程以格林函數(shù)表示的積分解。數(shù)學(xué)物理方程是描述物理量隨空間和時間的變化規(guī)律。對于某一特定的區(qū)域和時刻，方程的解取決于物理量的初始值與邊界值，這些初始值和邊界值分別稱為初始條件和邊界條件，兩者又統(tǒng)稱為該方程的定解條件。靜電場的場量與時間無關(guān)，因此電位所滿足的泊松方程及拉普拉斯方程的解僅決定于邊界條件。根據(jù)給定的邊界條件求解空間任一點(diǎn)的電位就是靜電場的邊值問題。通常給定的邊界條件有三種類型：第二類邊界條件是給定邊界上物理量的法向?qū)?shù)值，這種邊值問題又稱為諾依曼問題。第三類邊界條件是給定一部分邊界上的物理量及另一部分邊界上物理量的法向?qū)?shù)值，這種邊界條件又稱為混合邊界條件。第一類邊界條件給定的是邊界上的物理量，這種邊值問題又稱為狄利克雷問題。對于任何數(shù)學(xué)物理方程需要研究解的存在、穩(wěn)定及惟一性問題。泊松方程及拉普拉斯方程解的穩(wěn)定性在數(shù)學(xué)中已經(jīng)得到證明。可以證明電位微分方程解也是惟一的。由于實(shí)際中定解條件是由實(shí)驗(yàn)得到的，不可能取得精確的真值，因此，解的穩(wěn)定性具有重要的實(shí)際意義。解的惟一性是指在給定的定解條件下所求得的解是否惟一。解的穩(wěn)定性是指當(dāng)定解條件發(fā)生微小變化時，所求得的解是否會發(fā)生很大的變化。解的存在是指在給定的定解條件下，方程是否有解。靜電場是客觀存在的，因此電位微分方程解的存在確信無疑。靜電場的邊界通常是由導(dǎo)體形成的。此時，若給定導(dǎo)體上的電位值就是第一類邊界。已知導(dǎo)體表面上的電荷密度與電位導(dǎo)數(shù)的關(guān)系為，可見，表面電荷給定等于給定了電位的法向?qū)?shù)值。因此，給定導(dǎo)體上的電荷就是第二類邊界。

因此，對于導(dǎo)體邊界的靜電場問題，當(dāng)邊界上的電位，或電位的法向?qū)?shù)給定時，或?qū)w表面電荷給定時，空間的靜電場即被惟一地確定。這個結(jié)論稱為靜電場惟一性定理。2.鏡像法

實(shí)質(zhì):是以一個或幾個等效電荷代替邊界的影響，將原來具有邊界的非均勻空間變成無限大的均勻自由空間，從而使計(jì)算過程大為簡化。依據(jù)：惟一性定理。因此，等效電荷的引入必須維持原來的邊界條件不變，從而保證原來區(qū)域中靜電場沒有改變，這是確定等效電荷的大小及其位置的依據(jù)。這些等效電荷通常處于鏡像位置，因此稱為鏡像電荷，而這種方法稱為鏡像法。關(guān)鍵：確定鏡像電荷的大小及其位置。局限性：僅僅對于某些特殊的邊界以及特殊分布的電荷才有可能確定其鏡像電荷。

（1）點(diǎn)電荷與無限大的導(dǎo)體平面。

介質(zhì)導(dǎo)體qrP介質(zhì)qrPhh介質(zhì)以一個處于鏡像位置的點(diǎn)電荷代替邊界的影響，使整個空間變成均勻的介電常數(shù)為的空間，則空間任一點(diǎn)P的電位由q

及q'共同產(chǎn)生，即考慮到無限大導(dǎo)體平面的電位為零，求得電場線與等位面的分布特性與第二章所述的電偶極子的上半部分完全相同。由此可見，電場線處處垂直于導(dǎo)體平面，而零電位面與導(dǎo)體表面吻合。電場線等位線z電荷守恒：當(dāng)點(diǎn)電荷q

位于無限大的導(dǎo)體平面附近時，導(dǎo)體表面將產(chǎn)生異性的感應(yīng)電荷，因此，上半空間的電場取決于原先的點(diǎn)電荷及導(dǎo)體表面上的感應(yīng)電荷?？梢姡鲜鲧R像法的實(shí)質(zhì)是以一個異性的鏡像點(diǎn)電荷代替導(dǎo)體表面上異性的感應(yīng)電荷的作用。根據(jù)電荷守恒原理，鏡像點(diǎn)電荷的電量應(yīng)該等于這些感應(yīng)電荷的總電量，讀者可以根據(jù)導(dǎo)體表面電荷密度與電場強(qiáng)度或電位的關(guān)系證明這個結(jié)論。半空間等效：上述等效性僅對于導(dǎo)體平面的上半空間成立，因?yàn)樵谏习肟臻g中，源及邊界條件未變。q對于半無限大導(dǎo)體平面形成的劈形邊界也可應(yīng)用鏡像法。但是僅當(dāng)這種導(dǎo)體劈的夾角等于

的整數(shù)分之一時，才可求出其鏡像電荷。為了保證這種劈形邊界的電位為零，必須引入幾個鏡像電荷。例如，夾角為的導(dǎo)電劈需引入5

個鏡像電荷。

/3/3q連續(xù)分布的線電荷位于無限大的導(dǎo)體平面附近時，根據(jù)疊加原理得知，同樣可以應(yīng)用鏡像法求解。fqo（2）點(diǎn)電荷與導(dǎo)體球。

Padrq若導(dǎo)體球接地，導(dǎo)體球的電位為零。為了等效導(dǎo)體球邊界的影響，令鏡像點(diǎn)電荷q'位于球心與點(diǎn)電荷q的連線上。那么，球面上任一點(diǎn)電位為可見，為了保證球面上任一點(diǎn)電位為零，必須選擇鏡像電荷為為了使鏡像電荷具有一個確定的值，必須要求比值對于球面上任一點(diǎn)均具有同一數(shù)值。由上圖可見，若要求三角形△OPq與△

OqP相似，則常數(shù)。由此獲知鏡像電荷應(yīng)為鏡像電荷離球心的距離d應(yīng)為這樣，根據(jù)q及q'

即可計(jì)算球外空間任一點(diǎn)的電場強(qiáng)度。fqOPadrq若導(dǎo)體球不接地，則位于點(diǎn)電荷一側(cè)的導(dǎo)體球表面上的感應(yīng)電荷為負(fù)值，而另一側(cè)表面上的感應(yīng)電荷為正值。導(dǎo)體球表面上總的感應(yīng)電荷應(yīng)為零值。因此，對于不接地的導(dǎo)體球，若引入上述的鏡像電荷q'

后，為了滿足電荷守恒原理，必須再引入一個鏡像電荷q"，且必須令顯然，為了保證球面邊界是一個等位面，鏡像電荷q“必須位于球心。事實(shí)上，由于導(dǎo)體球不接地，因此，其電位不等零。由q及q‘在球面邊界上形成的電位為零，因此必須引入第二個鏡像電荷q“以提供一定的電位。l（3）線電荷與帶電的導(dǎo)體圓柱。Pafdr-lO在圓柱軸線與線電荷之間，離軸線的距離d

處，平行放置一根鏡像電荷。已知無限長線電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度為因此，離線電荷r處，以為參考點(diǎn)的電位為若令鏡像線電荷產(chǎn)生的電位也取相同的作為參考點(diǎn)，則及在圓柱面上P點(diǎn)共同產(chǎn)生的電位為已知導(dǎo)體圓柱是一個等位體，因此，為了滿足這個邊界條件，必須要求比值為常數(shù)。與前同理，可令，由此得

（4）點(diǎn)電荷與無限大的介質(zhì)平面。E

1

1qr0E'EtEnq'

2

2q"E"

1

2qeten=+為了求解上半空間的場可用鏡像電荷q'等效邊界上束縛電荷的作用，將整個空間變?yōu)榻殡姵?shù)為1的均勻空間。對于下半空間，可用位于原點(diǎn)電荷處的q"等效原來的點(diǎn)電荷q

與邊界上束縛電荷的共同作用，將整個空間變?yōu)榻殡姵?shù)為2的均勻空間。但是，必須迫使所求得的場符合原先的邊界條件，即電場切向分量保持連續(xù)，電位移的法向分量應(yīng)該相等，即

已知各個點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場強(qiáng)度分別為代入上述邊界條件，求得鏡像電荷如下：

例已知同軸線的內(nèi)導(dǎo)體半徑為a，電位為V，外導(dǎo)體接地，其內(nèi)半徑為b。試求內(nèi)外導(dǎo)體之間的電位分布函數(shù)以及電場強(qiáng)度。

解對于這種邊值問題，鏡像法不適用，只好求解電位方程。為此，選用圓柱坐標(biāo)系。由于場量僅與坐標(biāo)r

有關(guān)，因此，電位所滿足的拉普拉斯方程在圓柱坐標(biāo)系中的展開式只剩下包含變量r的一項(xiàng)，即電位微分方程為求得VbaO利用邊界條件：求得最后求得由上例可見，為了利用給定的邊界條件以便確定求解過程中出現(xiàn)的積分常數(shù)，選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系是非常重要的。對于平面邊界，圓柱邊界及圓球邊界必須分別選用直角坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系及球坐標(biāo)系。此外，由于同軸線中的電位函數(shù)僅與一個坐標(biāo)變量r有關(guān)，因此原先的三維拉普拉斯方程簡化為一維微分方程，因而可采用直接積分方法求解這類邊值問題。但一般說來，靜電場的邊值問題與空間三個坐標(biāo)變量有關(guān)。為了求解三維拉普拉斯方程，一種有效的方法就是分離變量法。分離變量法是將原先的三維偏微分方程通過變量分離簡化為三個獨(dú)立的常微分方程，從而使求解過程比較簡便。分離變量法對于11種坐標(biāo)系都是行之有效的。3.直角坐標(biāo)系中的分離變量法

無源區(qū)中電位滿足的拉普拉斯方程在直角坐標(biāo)系中的展開式為令代入上式，兩邊再除以X(x)Y(y)Z(z)，得

顯然，式中各項(xiàng)僅與一個變量有關(guān)。因此，將上式對變量x求導(dǎo)，第二項(xiàng)及第三項(xiàng)均為零，求得第一項(xiàng)對x

的導(dǎo)數(shù)為零，說明了第一項(xiàng)等于常數(shù)。同理，再分別對變量y

及z求導(dǎo)，得知第二項(xiàng)及第三項(xiàng)也分別等于常數(shù)。令各項(xiàng)的常數(shù)分別為，分別求得式中kx，ky，kz

稱為分離常數(shù)，它們可以是實(shí)數(shù)或虛數(shù)。顯然，三個分離常數(shù)并不是獨(dú)立的，它們必須滿足下列方程由上可見，經(jīng)過變量分離后，三維偏微分方程式被簡化為三個一維常微分方程。常微分方程的求解較為簡便，而且三個常微分方程又具有同一結(jié)構(gòu)，因此它們解的形式也一定相同。例如，含變量x的常微分方程的通解為或者式中A,B,C,D為待定常數(shù)。分離常數(shù)也可為虛數(shù)。當(dāng)kx為虛數(shù)時，令，則上述通解變?yōu)榛蛘吆兞縳或y的常微分方程的解具有完全相同的形式。這些解的線性組合仍然是方程的解。解的形式的選擇是非常重要的，它完全決定于給定的邊界條件。解中各個待定常數(shù)也取決于給定的邊界條件。

例兩個相互平行的半無限大接地導(dǎo)體平面，間距為d

，其有限端被電位為0

的導(dǎo)電平面封閉，且與無限大接地導(dǎo)體平面絕緣，如圖所示。試求三個導(dǎo)體平面形成的槽中電位分布。Odxy=0=0=0解選取直角坐標(biāo)系。由于導(dǎo)電平面沿z

軸無限延伸，槽中電位分布函數(shù)一定與z無關(guān)，因此，這是一個二維場的問題。電位所滿足的拉普拉斯方程變?yōu)閼?yīng)用分離變量法，令根據(jù)題意，槽中電位應(yīng)滿足的邊界條件為為了滿足及邊界條件，應(yīng)選Y(y)的解為因?yàn)閥=0時，電位=0，因此上式中常數(shù)B=0。為了滿足邊界條件，分離常數(shù)ky應(yīng)為

求得已知，求得可見，分離常數(shù)kx為虛數(shù)，故X(x)的解應(yīng)為因?yàn)閤=0時，電位，因此，式中常數(shù)C=0，即那么，式中常數(shù)C=AD。由邊界條件獲知，當(dāng)x=0時，電位=0，代入上式，得上式右端為變量，但左端為常量，因此不能成立。這就表明此式不能滿足給定的邊界條件。因此，必須取上式的和式作為電位方程的解，即為了滿足x=0，=0

邊界條件，由上式得上式右端為傅里葉級數(shù)。利用傅里葉級數(shù)的正交性，可以求出系數(shù)Cn為最后求得槽中電位分布函數(shù)為式中。0dxy=0=0=0電場線等位面電場線及等位面分布如右圖示：4.圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法電位微分方程在圓柱坐標(biāo)系中的展開式為令其解為代入上式求得上式中第二項(xiàng)僅為變量

的函數(shù)，而第一項(xiàng)及第三項(xiàng)與無關(guān)，因此將上式對

求導(dǎo)，得知第二項(xiàng)對的導(dǎo)數(shù)為零，可見第二項(xiàng)應(yīng)為常數(shù)，令

即式中k為分離常數(shù)，它可以是實(shí)數(shù)或虛數(shù)。通常變量

的變化范圍為，那么此時場量隨

的變化一定是以2

為周期的周期函數(shù)。因此，上式的解一定是三角函數(shù)，且常數(shù)k一定是整數(shù)，以保證函數(shù)的周期為2。令，m為整數(shù)，則上式的解為式中A,B為待定常數(shù)。

考慮到，以及變量的方程式，則前述方程可表示為上式左邊第一項(xiàng)僅為變量r的函數(shù)，第二項(xiàng)僅為變量z

的函數(shù)，因此按照前述理由，它們應(yīng)分別等于常數(shù)，令

即式中分離常數(shù)kz可為實(shí)數(shù)或虛數(shù)，其解可為三角函數(shù)，雙曲函數(shù)或指數(shù)函數(shù)。當(dāng)kz為實(shí)數(shù)時，可令式中C,D

為待定常數(shù)。將變量z方程代入前式，得若令，則上式變?yōu)樯鲜綖闃?biāo)準(zhǔn)的柱貝塞爾方程，其解為柱貝塞爾函數(shù)，即

至此，我們分別求出了R(r)

,(),Z(z)的解，而電位微分方程的通解應(yīng)為三者乘積，或取其線性組合。式中E,F為待定常數(shù),為m階第一類柱貝塞爾函數(shù)，為m階第二類柱貝塞爾函數(shù)。根據(jù)第二類柱貝塞爾函數(shù)的特性知，當(dāng)r=0時，。因此，當(dāng)場存在的區(qū)域包括

r=0

時，此時只能取第一類柱貝塞爾函數(shù)作為方程的解。

若所討論的靜電場與變量z無關(guān)，則分離常數(shù)。那么電位微分方程變?yōu)榇朔匠痰慕鉃橹笖?shù)函數(shù)，即若所討論的靜電場又與變量無關(guān)，則m=0。那么，電位微分方程的解為

考慮到以上各種情況，電位微分方程的解可取下列一般形式

例設(shè)一根無限長、半徑為a的導(dǎo)體圓柱放入無限大的均勻靜電場中，電場強(qiáng)度方向垂直于導(dǎo)體圓柱，如圖所示。試求導(dǎo)體圓柱外的電場強(qiáng)度。

解選取圓柱坐標(biāo)系，令z

軸為圓柱軸線，電場強(qiáng)度的方向與x軸一致，即

當(dāng)導(dǎo)體圓柱處于靜電平衡時，圓柱內(nèi)的電場強(qiáng)度為零，圓柱為等位體，圓柱表面電場強(qiáng)度切向分量為零，且柱外的電位分布函數(shù)應(yīng)與z無關(guān)。解的形式可取前述一般形式，但應(yīng)滿足下列兩個邊界條件：xyaE0O①由于圓柱表面電場強(qiáng)度的切向分量為零，即因此②無限遠(yuǎn)處的電場未受到擾動，因此電位應(yīng)為此式表明，無限遠(yuǎn)處電位函數(shù)僅為cos的函數(shù)，可見系數(shù)，且m=0。因此電位函數(shù)為那么，根據(jù)應(yīng)滿足的邊界條件即可求得系數(shù)B1，D1

應(yīng)為代入前式，求得柱外電位分布函數(shù)為則柱外電場強(qiáng)度為xyaE0電場線等位面圓柱外電場線、等位面以及圓柱表面的電荷分布如下圖示：5.球坐標(biāo)系中的分離變量法電位微分方程在球坐標(biāo)系中的展開式為令代入上式，得與前同理，的解應(yīng)為可見，上式中第一項(xiàng)僅為r的函數(shù)，第二項(xiàng)與r無關(guān)。因此，與前同理第一項(xiàng)應(yīng)為常數(shù)。為了便于進(jìn)一步求解，令

式中n為整數(shù)。這是尤拉方程，其通解為將此結(jié)果代入上式，得令，則上式變?yōu)樯鲜綖檫B帶勒讓德方程，其通解為第一類連帶勒讓德函數(shù)與第二類連帶勒讓德函數(shù)之和，這里m<n

。

當(dāng)n是整數(shù)時，及為有限項(xiàng)多項(xiàng)式。因此，要求n為整數(shù)。

根據(jù)第二類連帶勒讓德函數(shù)的特性知，當(dāng)時，。因此，當(dāng)場存在的區(qū)域包括

或

時，，此時只能取第一類連帶勒讓德函數(shù)作為方程的解。所以，通常令那么，電位微分方程的通解通常取為下列線性