§3

初等函數(shù)的連續(xù)性在學(xué)習(xí)了連續(xù)函數(shù)的定義及其一系一、指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性上總是連續(xù)的.要結(jié)論：初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間列基本性質(zhì)后，現(xiàn)在可以證明一個(gè)重返回一、指數(shù)函數(shù)的連續(xù)性在第一章中,我們已經(jīng)定義了指數(shù)函數(shù)并指出它在R內(nèi)是嚴(yán)格單調(diào)的.所以,若能證明指首先證明指數(shù)函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì).定義域內(nèi)也是連續(xù)函數(shù).數(shù)函數(shù)是連續(xù)函數(shù),那么它的反函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)在其證當(dāng)是有理數(shù)時(shí),這是我們熟知的一個(gè)結(jié)果.對(duì)于任意存在有理數(shù)定理4.10

設(shè)為任意實(shí)數(shù),則有先設(shè)由定義，使因?yàn)槭侨我獾?所以反之,存在有理數(shù)再取有理數(shù)于是有仍因是任意的,又得這就證明了只要令就有定理4.11

指數(shù)函數(shù)在R上是連證我們?nèi)耘f先假設(shè)首先證明指數(shù)函數(shù)在處連續(xù),即這是因?yàn)閷?duì)于任意的正數(shù)取所以在x=0處連續(xù).續(xù)的.對(duì)于一般的點(diǎn)由定理4.10得到

所以在R上連續(xù).對(duì)于只要設(shè)由就可得到相應(yīng)的結(jié)論.注也是連續(xù)的.例1

設(shè)證明推論1對(duì)數(shù)函數(shù)在定義域上是連續(xù)的.續(xù),從而在點(diǎn)x0也連續(xù),于是證得證設(shè)在點(diǎn)x0連推論2

冪函數(shù)在定義域注例1的結(jié)論可改寫為解因?yàn)榱罾?

求由此求得當(dāng)故二、初等函數(shù)的連續(xù)性我們已經(jīng)知道以下函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的(i)常值函數(shù);

(vi)對(duì)數(shù)函數(shù).(v)指數(shù)函數(shù);(iv)冪函數(shù);(iii)反三角函數(shù);(ii)三角函數(shù);以上六種函數(shù)稱為基本初等函數(shù).因?yàn)檫B續(xù)函數(shù)由上面的分析,我們得到如下結(jié)論：定義3

由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算與復(fù)上是連續(xù)的.合之后產(chǎn)生的新函數(shù)在其定義區(qū)間（如果存在）的基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和有限次復(fù)的四則運(yùn)算與復(fù)合運(yùn)算是保連續(xù)的，所以由上面合運(yùn)算所產(chǎn)生的函數(shù)稱為初等函數(shù).例3

求極限定理4.12

初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間上是連續(xù)的.注上述結(jié)論中所指的“定義區(qū)間”,今后(第十六解因?yàn)槭浅醯群瘮?shù),所以在

處連續(xù),從而章)在一般意義下可以改為“定義域”.例4

據(jù)理說(shuō)明不是初等函數(shù).解因?yàn)槭堑亩x區(qū)間上的