導熱的計算與分析第一頁，共九十頁，2022年，8月28日１、重點內容：

①非穩(wěn)態(tài)導熱的基本概念及特點；②集總參數法的基本原理及應用。2、掌握內容：

①確定瞬時溫度場的方法；②一維非穩(wěn)態(tài)導熱問題。

3、了解內容：

二維和三維非穩(wěn)態(tài)導熱第二頁，共九十頁，2022年，8月28日§3.3.1概述一、非穩(wěn)態(tài)導熱過程及其特點導熱系統(tǒng)內溫度場隨時間變化的導熱過程為非穩(wěn)態(tài)導熱。溫度隨時間變化，熱流也隨時間變化。自然界和工程上許多導熱過程為非穩(wěn)態(tài)，t=f()如：冶金、熱處理與熱加工中工件被加熱或冷卻；鍋爐、內燃機等裝置起動、停機、變工況；自然環(huán)境溫度；供暖或停暖過程中墻內與室內空氣溫度第三頁，共九十頁，2022年，8月28日1、非穩(wěn)態(tài)導熱的分類周期性非穩(wěn)態(tài)導熱：物體的溫度隨時間而作周期性的變化

非周期性非穩(wěn)態(tài)導熱（瞬態(tài)導熱）：物體的溫度隨時間不斷地升高（加熱過程）或降低（冷卻過程），在經歷相當長時間后，物體溫度逐漸趨近于周圍介質溫度，最終達到熱平衡，物體的溫度隨時間的推移逐漸趨近于恒定的值。第四頁，共九十頁，2022年，8月28日300℃的鐵塊在冷水中的冷卻第五頁，共九十頁，2022年，8月28日2、溫度分布（瞬態(tài)非穩(wěn)態(tài)導熱）：

一初始溫度場均勻并為t0的無限大平壁，突然投入到溫度為t∞的流體中加熱。分析溫度、熱流量隨時間變化

平壁剛投入到流體中時，表面溫度tw立即發(fā)生變化，而溫度隨時間的變化率逐漸減小，并趨近于t∞；表面溫度tw變化后，溫度變化逐漸深入物體內部，但要到τ2時刻，其中心溫度tm才開始變化，tm隨時間的變化率開始較小，以后增大又減小，最后，tm→t∞第六頁，共九十頁，2022年，8月28日3、熱量變化

物體投入到流體中后，由于開始時表面的傳熱溫差最大，表面熱流量立即達到最大值，以后隨著tw的增大而減小，最后趨于0，陰影部分面積表示總的吸熱量Q。第七頁，共九十頁，2022年，8月28日4、學習非穩(wěn)態(tài)導熱的目的：物體某一部分加熱（冷卻）到某一確定溫度所需的時間τ——(已知溫度求時間)物體在非穩(wěn)態(tài)導熱過程中的溫度分布t，熱應力、熱變形分析、溫度變化率——(已知時間求溫度)某一時刻物體表面的熱流量及經過一段時間總的吸熱量Q——(已知時間求熱量)第八頁，共九十頁，2022年，8月28日5、求解方法：分析解法：分離變量法、積分變換、拉普拉斯變換近似分析法：

集總參數法、積分法數值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、分子動力學模擬第九頁，共九十頁，2022年，8月28日3.3.2對流邊界條件下的非穩(wěn)態(tài)導熱一、無限大平板加熱（冷卻）過程分析（略講）厚度2

的無限大平壁，、a為已知常數；=0時溫度為t0;突然把兩側介質溫度降低為t并保持不變；壁表面與介質之間的表面?zhèn)鳠嵯禂禐閔。兩側冷卻情況相同、溫度分布對稱，中心為原點。第十頁，共九十頁，2022年，8月28日導熱微分方程：初始條件：邊界條件：(第三類)由于是軸對稱問題，可以取平板一般分析：一維、非穩(wěn)態(tài)、無內熱源、常物性導熱問題第十一頁，共九十頁，2022年，8月28日引入過余溫度第十二頁，共九十頁，2022年，8月28日對上述模型采用分離變量法求解，得：傅里葉準則令μn稱為特征值，是以下超越方程的根：第十三頁，共九十頁，2022年，8月28日—

無量綱距離可見，大平壁中離中心平面任一距離x處的無量綱過余溫度是Bi，F(xiàn)o和無量綱距離x/的函數。第十四頁，共九十頁，2022年，8月28日由于式中含有無窮級數，計算工作量很大計算表明，式中的指數項衰減很快當Fo>0.2時，取無窮級數的首項而舍棄其他項，所得結果的誤差小于1％第十五頁，共九十頁，2022年，8月28日當Fo>0.2時，取無窮級數的首項而舍棄其他項，相當于將無窮級數中的Cn（n≥2）取為零于是在Fo>0.2后，有工程上常采用兩種簡化的計算方法，由海斯勒(Heisler)提出的諾模圖(nomogram)方法和由Campo提出的近似擬合公式關于海斯勒圖的使用方法以及擬合公式的具體表達式可參閱文獻第十六頁，共九十頁，2022年，8月28日根據溫度分布，可以計算出一段時間內平壁在非穩(wěn)態(tài)過程中所傳遞的熱量對雙面對稱加熱的平壁而言，平壁從流體中吸收的熱量完全被平壁用來升高其自身溫度顯然，從平壁放入流體的時刻起到平壁與流體處于熱平衡狀態(tài)，平壁所吸收熱量為吸熱量

第十七頁，共九十頁，2022年，8月28日這是該非穩(wěn)態(tài)導熱過程所吸收的總熱量

從初始時刻起到某一時刻τ的這段時間內，平壁所吸收的熱量為：第十八頁，共九十頁，2022年，8月28日平壁內溫度分布表達式中含有Fo數和Bi數，這說明非穩(wěn)態(tài)導熱的物理過程和特征要受到這兩個量綱一的量的影響傳熱學中，通常將表示某一物理現(xiàn)象或物理過程特征的量綱一的量，稱為特征數或準則數Fo數和Bi數的意義及對非穩(wěn)態(tài)過程的影響

第十九頁，共九十頁，2022年，8月28日出現(xiàn)在特征數中的幾何尺度稱為特征長度，用符號l表示，characteristiclength對兩邊對稱加熱的厚為2δ的平壁非穩(wěn)態(tài)導熱問題，用平壁的半厚度δ作為其特征長度掌握特征數的定義及其物理意義是傳熱學學習的重要內容Fo數和Bi數的意義及對非穩(wěn)態(tài)過程的影響

第二十頁，共九十頁，2022年，8月28日Fo數和Bi數的意義及對非穩(wěn)態(tài)過程的影響

將Fo數的定義式改寫為：式中，τ和δ2/a都具有時間的量綱——分子τ表示：邊界上發(fā)生熱擾動時刻算起到計算時刻為止的時間——分母δ2/a表示：熱擾動經過一定厚度的固體層傳播到面積δ2上所需要的時間第二十一頁，共九十頁，2022年，8月28日Fo數可以看成是反映非穩(wěn)態(tài)進程的無量綱時間。Fo數越大，邊界上的熱擾動就能更深入地傳播到物體內部，非穩(wěn)態(tài)過程進行得越充分無量綱時間第二十二頁，共九十頁，2022年，8月28日1）畢渥數的定義：畢渥數屬特征數（準則數）。

2）Bi物理意義：

Bi特征數反映了內部導熱熱阻與外部(表面)對流傳熱熱阻的相對大小。3）特征長度：是指特征數定義式中的幾何尺度。第二十三頁，共九十頁，2022年，8月28日對解的討論1.Fo準則對溫度分布的影響Fo0.2時，進入正規(guī)狀況階段，平壁內所有各點過余溫度的對數都隨時間按線性規(guī)律變化，變化曲線的斜率都相等。θm/θ0隨Fo增大而減小Fo<0.2時是瞬態(tài)溫度變化的初始階段，各點溫度變化速率不同初始階段第二十四頁，共九十頁，2022年，8月28日2.Bi準則對溫度分布的影響B(tài)i表征了給定導熱系統(tǒng)內的導熱熱阻與其和環(huán)境之間的換熱熱阻的對比關系。當Bi時，意味著表面?zhèn)鳠嵯禂礹，對流換熱熱阻趨于0。平壁的表面溫度幾乎從冷卻過程一開始，就立刻降到流體溫度t。第二十五頁，共九十頁，2022年，8月28日二、討論在第三類邊界條件下，確定非穩(wěn)態(tài)導熱物體中的溫度變化特征與邊界條件參數的關系。

已知：平板厚2δ、初溫t0、表面?zhèn)鳠嵯禂礹、平板導熱系數λ，將其突然置于溫度為t∞的流體中冷卻。由于單位面積導熱熱阻與外部對流熱阻的相對大小不同，平板中溫度場的變化會出現(xiàn)以下三種情形：

第二十六頁，共九十頁，2022年，8月28日由于表面對流換熱熱阻1/h幾乎可以忽略，因而過程一開始平板的表面溫度就被冷卻到t∞。并隨著時間的推移，整體地下降，逐漸趨近于t∞。（1）第二十七頁，共九十頁，2022年，8月28日

這時，平板中不同時刻的溫度分布介于上述兩種極端情況之間。（3）與的數值比較接近

這時，平板內部導熱熱阻δ/λ幾乎可以忽略，因而任一時刻平板中各點的溫度接近均勻，并隨著時間的推移，整體地下降，逐漸趨近于t∞。（2）第二十八頁，共九十頁，2022年，8月28日§3.4集總參數法的簡化分析

忽略物體內部導熱熱阻、認為物體溫度均勻一致的分析方法。此時，Bi→0，溫度分布只與時間有關，即t=f(τ)，與空間位置無關，因此，也稱為零維問題。定義：由于物體內溫度相差不大，而近似認為這種非穩(wěn)態(tài)導熱過程中物體內的溫度分布與坐標無關，僅隨時間變化，因此物體溫度可用任一點的溫度表示，而將物體的質量和熱容量等視為集中這一點，這種方法——集總參數法。第二十九頁，共九十頁，2022年，8月28日一、集總參數法分析

h,t∞AQcΔΕρ,c,V,t0一個集總參數系統(tǒng)，其體積為V、表面積為A、密度為、比熱為c以及初始溫度為t0，突然放入溫度為t、換熱系數為h的環(huán)境中。

熱平衡關系為：內熱能隨時間的變化率ΔΕ＝通過表面與外界交換的熱流量Qc

第三十頁，共九十頁，2022年，8月28日當物體被冷卻時（t>t）,由能量守恒可知方程式改寫為：，則有初始條件控制方程第三十一頁，共九十頁，2022年，8月28日

積分過余溫度比其中的指數：第三十二頁，共九十頁，2022年，8月28日

是傅立葉數物體中的溫度呈指數分布方程中指數的量綱：第三十三頁，共九十頁，2022年，8月28日即與的量綱相同，當時，則此時，上式表明：當傳熱時間等于時，物體的過余溫度已經達到了初始過余溫度的36.8％。稱為時間常數，用表示。第三十四頁，共九十頁，2022年，8月28日時間常數

稱為系統(tǒng)的時間常數，記為r，也稱弛豫時間。

如果導熱體的熱容量（Vc）小、換熱條件好（hA大），那么單位時間所傳遞的熱量大、導熱體的溫度變化快，時間常數(Vc/hA)小熱電偶測溫時，r越小越能反映被測流體溫度的變化第三十五頁，共九十頁，2022年，8月28日反映了系統(tǒng)處于一定的環(huán)境中所表現(xiàn)出來的傳熱動態(tài)特征，與其幾何形狀、密度及比熱有關，還與環(huán)境的換熱情況相關?？梢姡晃镔|不同的形狀其時間常數不同，同一物體在不同的環(huán)境下時間常數也是不相同。θ/θ0τ/τr0.386101當物體冷卻或加熱過程所經歷的時間等于其時間常數時，即τ=τr，τ=4τr，工程上認為=4τr時導熱體已達到熱平衡狀態(tài)第三十六頁，共九十頁，2022年，8月28日瞬態(tài)熱流量：導熱體在時間0~

內傳給流體的總熱量：當物體被加熱時(t<t)，計算式相同（為什么？）總熱量：第三十七頁，共九十頁，2022年，8月28日集總參數法的判定依據

如何去判定一個任意的系統(tǒng)是集總參數系統(tǒng)？V/A具有長度的因次，稱為集總參數系統(tǒng)的特征尺寸。為判定系統(tǒng)是否為集總參數系統(tǒng)，M為形狀修正系數。第三十八頁，共九十頁，2022年，8月28日

采用此判據時，物體中各點過余溫度的差別小于5%對厚為2δ的無限大平板對半徑為R的無限長圓柱對半徑為R的球是與物體幾何形狀有關的無量綱常數第三十九頁，共九十頁，2022年，8月28日例題3-2將一個初始溫度為20℃、直徑為100mm的鋼球投入1000℃的加熱爐中加熱，表面?zhèn)鳠嵯禂禐閔=50W/(m2·K)。已知鋼球的密度為7790kg/m3，比熱容為470J/(kg·K)，導熱系數為43.3W/(m·K)。試求鋼球中心溫度達到800℃所需要的時間。解：首先判斷能否用集總參數法求解：畢渥數為第四十頁，共九十頁，2022年，8月28日可以用集總參數法求解。

第四十一頁，共九十頁，2022年，8月28日§3-4半無限大的物體半無限大系統(tǒng)指的是一個半無限大的空間，也就是一個從其表面可以向其深度方向無限延展的物體系統(tǒng)。很多實際的物體在加熱或冷卻過程的初期都可以視為是一個半無限大固體的非穩(wěn)態(tài)導熱過程。第四十二頁，共九十頁，2022年，8月28日

有一半無限大物體，初始溫度均勻為t0。在τ=0時刻，x=0的側面突然受到熱擾動，表面溫度突然變化到tw，并一直保持恒定。第四十三頁，共九十頁，2022年，8月28日誤差函數：令

無量綱坐標引入過余溫度問題的解為

誤差函數無量綱變量第四十四頁，共九十頁，2022年，8月28日說明：(1)無量綱溫度僅與無量綱坐標

有關。(2)一旦物體表面發(fā)生了一個熱擾動，無論經歷多么短的時間，無論x有多么大，該處總能感受到溫度的化。第四十五頁，共九十頁，2022年，8月28日令若即可認為該處溫度沒有變化第四十六頁，共九十頁，2022年，8月28日幾何位置若，則在τ時刻x處的溫度可以認為尚未變化。對一原為2δ的平板，若即可作為半無限大物體來處理兩個重要參數:第四十七頁，共九十頁，2022年，8月28日②時間條件若，則此時x處的溫度可以認為完全不變，因而可以把視為惰性時間。既當時x處的溫度可認為等于t0?；蛘哒f，當它的局部Fo數時，物體中的非穩(wěn)態(tài)導熱可以作半無限大物體來處理。對于有限大的實際物體，半無限大物體的概念只適用于物體的非穩(wěn)態(tài)導熱的初始階段，那在惰性時間以內。第四十八頁，共九十頁，2022年，8月28日[0,]內累計傳熱量吸熱系數令x=0，即得邊界面上的熱流通量即任一點的熱流通量：③傳熱量計算第四十九頁，共九十頁，2022年，8月28日井筒是打開油氣藏、采出油氣資源的必由通道，無論是在鉆井、注入或采出過程中，井筒內流體的溫度變化規(guī)律始終是石油工程所關注的問題井筒內流體的溫度變化源自地層加熱或冷卻作用

鉆井工程中：地層加熱作用使鉆井液、水泥漿的溫度在鉆進過程中逐漸升高，特別是對深井、超深井，進而影響到它們的性能，對鉆井過程、固井質量產生影響3.5井筒周圍地層內的非穩(wěn)態(tài)導熱／工程背景第五十頁，共九十頁，2022年，8月28日注蒸汽開發(fā)稠油油藏時，高溫高壓的濕蒸汽與地層間存在的熱損失使蒸汽沿井筒流動時干度逐漸降低而影響到注汽加熱的效果采油過程中高溫產液在舉升因散熱使產液溫度降低，粘度增加，使稠油機采井的生產狀況惡化，能耗增加第五十一頁，共九十頁，2022年，8月28日采用加熱措施（如電加熱、電伴熱、井筒熱流體循環(huán)等）開發(fā)稠油、高凝油時，都存在因地層與流體間的熱量傳遞使流體溫度發(fā)生變化而影響生產過程的問題地熱開發(fā)利用過程中，為計算井口處熱流體溫度，也需要計算流體在從井底沿井筒向上流動時與地層之間的傳熱量第五十二頁，共九十頁，2022年，8月28日上述各問題中：——計算目的：確定井筒內流體溫度沿井深的變化——計算關鍵：井筒內流體與地層之間的傳熱量——計算困難：具體的工藝不同，井筒結構不同，井筒內流體與地層之間的熱量傳遞過程中涉及到的熱量傳遞方式和環(huán)節(jié)也不盡相同直接研究井筒內流體與地層間的熱量傳遞過程有困難

第五十三頁，共九十頁，2022年，8月28日工程上為了便于分析，通常將整個熱量傳遞過程分為：——地層內的熱量傳遞過程（簡稱“地層內”），熱量傳遞為導熱——井筒內的熱量傳遞過程（簡稱“井筒內”），熱量傳遞方式和環(huán)節(jié)取決于具體工藝過程第五十四頁，共九十頁，2022年，8月28日工藝不同，二者的分界面不同——鉆井、固井等工藝中，分界面是裸露的井壁——采油、注氣、壓裂等工藝中，分界面是水泥環(huán)外緣不同工藝中熱量傳遞過程的差別體現(xiàn)在井筒內，而地層內的熱量傳遞過程是相同的第五十五頁，共九十頁，2022年，8月28日本節(jié)主要分析地層內的熱量傳遞過程－導熱過程分析井筒周圍地層內非穩(wěn)態(tài)導熱問題的方法很多，如理論分析法、數值分析方法等，應用最多的是半解析法，這里主要介紹這種方法第五十六頁，共九十頁，2022年，8月28日自地表至油層的井筒（這里只考慮直井）是聯(lián)系地面與油層的通道當與地層溫度不同的流體突然通過井筒時，地層內將會產生熱量傳遞過程地層通常是由致密的巖石組成，因此熱量在地層內傳遞方式為導熱

物理模型第五十七頁，共九十頁，2022年，8月28日井筒周圍地層內的導熱過程是復雜的，體現(xiàn)在：1）自井筒向外的地層無限大，過程永遠也達不到穩(wěn)定狀態(tài)2）受地質成因與構造的影響，自地面到油層，地層的非均質性較強，相關物性是變化的3）受地核的加熱作用，地層溫度向地心方向不斷增加4）井筒結構不同，地層和井筒的交界面不同，交界面處的邊界條件難以給出

物理模型第五十八頁，共九十頁，2022年，8月28日在數千米深的地層內全面考慮上述因素直接求解其導熱問題是復雜和困難的，結果也不利于工程計算實際計算時通常將井筒和地層分成若干小段，在每小段內可做如下假設：1）地層是均質的，各物性均為常數2）地層的初始溫度均勻，以該段中間位置處的原始地層溫度作為其初始溫度物理模型第五十九頁，共九十頁，2022年，8月28日3）為了便于和井筒內的計算相耦合，設地層和井筒的交界面處于第二類邊界條件下4）忽略周向的導熱5）小段內忽略軸向導熱6）地層內不存在內熱源

物理模型第六十頁，共九十頁，2022年，8月28日由于井筒是圓柱形的，因此在柱坐標系下建立數學模型更為方便——以地表為坐標原點——井筒中心線為z軸，沿井筒向下為正方向——從井筒向外為徑向正方向數學模型與求解第六十一頁，共九十頁，2022年，8月28日數學模型與求解由物理模型，柱坐標系下的導熱微分方程為可以簡化：式中，a為地層熱熱擴散系數，m2/s第六十二頁，共九十頁，2022年，8月28日數學模型與求解初始條件：t0z為該段中間位置處的原始地層溫度，按下式計算：式中，ts為地表處不受環(huán)境影響的溫度，℃；m為地溫梯度，℃/m；z為該段中間位置處的坐標。第六十三頁，共九十頁，2022年，8月28日數學模型與求解邊界條件：在地層和井筒的交界面r=R處：在徑向無限遠處：式中，λ為地層的導熱系數，W/(m·K)；R為交界面處的半徑；qlz為該段內由單位長度井筒通過交界面?zhèn)鹘o地層的熱量，W/m；t0z為該段中間位置處的原始地層溫度第六十四頁，共九十頁，2022年，8月28日數學模型與求解井筒周圍地層內非穩(wěn)態(tài)導熱的完整數學模型：初始條件：邊界條件：采用Laplace變換可以解得模型的分析解第六十五頁，共九十頁，2022年，8月28日數學模型與求解地層內的溫度分布為：其中I為式中，J0、J1為零階、一階第一類貝塞爾函數，Y0、Y1為零階、一階第二類貝塞爾函數，都是數學上常用的特殊函數第六十六頁，共九十頁，2022年，8月28日數學模型與求解令r=R，可以得到地層和井筒交界面處的溫度：

式中，

無論是計算地層內的溫度還是交界面處的溫度，關鍵是如何計算其中的積分I第六十七頁，共九十頁，2022年，8月28日數學模型與求解

采用解析方法難于求出積分I，用數值積分的工作量又很大

為了便于工程計算，人們利用解析解數據對其進行了擬合，得到了簡單的關系式第六十八頁，共九十頁，2022年，8月28日數學模型與求解為了便于擬合，首先對交界面溫度表達式進行無量綱化處理

第六十九頁，共九十頁，2022年，8月28日數學模型與求解為此定義了如下的無量綱溫度tD和無量綱時間τD：第七十頁，共九十頁，2022年，8月28日數學模型與求解

將無量綱溫度tD和無量綱時間τD代入到