學(xué)業(yè)分層測評(六)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(建議用時：45分鐘)學(xué)業(yè)達標(biāo)]一、填空題1.圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上一點M到一個焦點的距離為4，則M到另一個焦點的距離為________.【解析】設(shè)橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的左、右焦點分別為F1、F2，不妨令MF1＝4，由MF1＋MF2＝2a＝10，得MF2＝10－MF1＝10－4＝6.【答案】62.若a＝6，b＝eq\r(35)，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是________.【解析】橢圓的焦點在x軸上時，方程為eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,35)＝1，在y軸上時，方程為eq\f(y2,36)＋eq\f(x2,35)＝1.【答案】eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,35)＝1或eq\f(y2,36)＋eq\f(x2,35)＝13.(2023·漢中高二檢測)已知橢圓的兩焦點為F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，P為橢圓上的一點，且F1F2是PF1與PF2【解析】∵PF1＋PF2＝2F1F2＝2×4＝8，∴2a＝8，∴a＝4，∴b2＝a2－c2＝16－4＝12，∴橢圓方程是eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.【答案】eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝14.過(－3,2)點且與eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同焦點的橢圓方程為________.【解析】與eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1有相同焦點的橢圓可設(shè)為eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,4－k)＝1且k＜4，將(－3,2)代入得：k＝－6.【答案】eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝15.把橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的每個點的橫坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,4)，縱坐標(biāo)縮短到原來的eq\f(1,3)，則所得曲線方程為________.【導(dǎo)學(xué)號：24830028】【解析】原方程化為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,4)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,3)))2＝1，所得曲線為x2＋y2＝1.【答案】x2＋y2＝16.橢圓4x2＋9y2＝1的焦點坐標(biāo)是________.【解析】橢圓化為標(biāo)準(zhǔn)形式為eq\f(x2,\f(1,4))＋eq\f(y2,\f(1,9))＝1，∴a2＝eq\f(1,4)，b2＝eq\f(1,9)，∴c2＝a2－b2＝eq\f(1,4)－eq\f(1,9)＝eq\f(5,36)，且焦點在x軸上，故為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(\r(5),6)，0)).【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(\r(5),6)，0))7.方程eq\f(x2,2m)－eq\f(y2,m－1)＝1表示焦點在x軸上的橢圓，則m的取值范圍是________.【解析】將方程化為eq\f(x2,2m)＋eq\f(y2,1－m)＝1，由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m>0，,1－m>0，,2m>1－m，))解之得eq\f(1,3)<m<1.【答案】eq\f(1,3)<m<18.橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的焦點為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上的一點，已知eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，則△F1PF2的面積為________.【解析】∵eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，∴PF1⊥PF2.∴PFeq\o\al(2,1)＋PFeq\o\al(2,2)＝F1Feq\o\al(2,2)且PF1＋PF2＝2a.又a＝5，b＝3，∴c＝4，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PF\o\al(2,1)＋PF\o\al(2,2)＝64①,PF1＋PF2＝10②))②2－①，得2PF1·PF2＝102－64，∴PF1·PF2＝18，∴△F1PF2的面積為9.【答案】9二、解答題9.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點在x軸上，且經(jīng)過點(2,0)和點(0,1)；(2)焦點在y軸上，與y軸的一個交點為P(0，－10)，P到它較近的一個焦點的距離等于2.【解】(1)因為橢圓的焦點在x軸上，所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，∵橢圓經(jīng)過點(2,0)和(0,1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(22,a2)＋\f(0,b2)＝1，,\f(0,a2)＋\f(1,b2)＝1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4，,b2＝1，))故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)∵橢圓的焦點在y軸上，所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)，∵P(0，－10)在橢圓上，∴a＝10.又∵P到它較近的一個焦點的距離等于2，∴－c－(－10)＝2，故c＝8，∴b2＝a2－c2＝36.∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是eq\f(y2,100)＋eq\f(x2,36)＝1.10.已知橢圓eq\f(8x2,81)＋eq\f(y2,36)＝1上一點M的縱坐標(biāo)為2.(1)求M的橫坐標(biāo)；(2)求過M且與eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1共焦點的橢圓的方程.【解】(1)把M的縱坐標(biāo)代入eq\f(8x2,81)＋eq\f(y2,36)＝1，得eq\f(8x2,81)＋eq\f(4,36)＝1，即x2＝9.∴x＝±3.即M的橫坐標(biāo)為3或－3.(2)對于橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1，焦點在x軸上且c2＝9－4＝5，故設(shè)所求橢圓的方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,a2－5)＝1，把M點坐標(biāo)代入得eq\f(9,a2)＋eq\f(4,a2－5)＝1，解得a2＝15.故所求橢圓的方程為eq\f(x2,15)＋eq\f(y2,10)＝1.能力提升]1.(2023·綿陽高二檢測)設(shè)P是橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1上的點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，則PF1·PF2的最大值是________.【解析】由題意知：PF1＋PF2＝2a＝8，所以PF1·PF2≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(PF1＋PF2,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,2)))2＝16，當(dāng)且僅當(dāng)PF1＝PF2時取“＝”號，故PF1·PF2的最大值是16.【答案】162.已知橢圓的兩個焦點是F1，F(xiàn)2，P是橢圓上的一個動點，如果延長F1P到Q，使得PQ＝PF2，那么動點Q的軌跡是________.【解析】如圖所示，因為P是橢圓上的一個動點，所以由橢圓的定義可知：PF1＋PF2＝2a為常數(shù).又因為PQ＝PF2，所以PF1＋PQ＝2a，即QF1＝2a為常數(shù).即動點Q到定點F1的距離為定值，所以動點Q的軌跡是以F1為圓心，以2a為半徑的圓.故Q的軌跡為圓.【答案】圓3.(2023·長沙高二檢測)若F1，F(xiàn)2是橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,7)＝1的兩個焦點，A為橢圓上一點，且∠F1AF2＝45°，則△AF1F2的面積為________.【解析】如圖所示，F(xiàn)1F2＝2eq\r(2)，AF1＋AF2＝6，由AF1＋AF2＝6，得AFeq\o\al(2,1)＋AFeq\o\al(2,2)＋2AF1·AF2＝36.又在△AF1F2中，AFeq\o\al(2,1)＋AFeq\o\al(2,2)－F1Feq\o\al(2,2)＝2AF1·AF2cos45°，所以36－2AF1·AF2－8＝eq\r(2)AF1·AF2，所以AF1·AF2＝eq\f(28,2＋\r(2))＝14(2－eq\r(2))，所以S△AF1F2＝eq\f(1,2)AF1·AF2sin45°＝eq\f(1,2)×14(2－eq\r(2))×eq\f(\r(2),2)＝7(eq\r(2)－1).【答案】7(eq\r(2)－1)4.已知點P(6,8)是橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的兩焦點，若eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0.試求(1)橢圓的方程.(2)求sin∠PF1F2【解】(1)因為eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，所以－(c＋6)(c－6)＋64＝0，所以c＝10，所以F1(－10,0)，F(xiàn)2(10,0)，所以2a＝PF1＋PF2＝eq\r(6＋102＋82)＋eq\r(6－102＋82)＝12eq\r(5)，所以a＝6eq\r(5)，b2＝80.所以橢