第三節(jié)相似和量綱分析牛頓內摩擦定律雷諾實驗提出雷諾數(shù)袁97頁通過實驗導出公式公式是隨便的推導出來嗎？如果不是，依據(jù)什么呢？為了研究流動規(guī)律，而實際的流動情況相當復雜，此時怎么辦呢？量綱分析和相似原理都屬于實驗研究的范疇。實驗科學研究的目的：重復實現(xiàn)和觀察其流動現(xiàn)象，可以獲得充分的感性認識；測量有關物理量，從中找出這些物理量間帶規(guī)律性的關系；驗證并完善理論分析或數(shù)值分析的結果。量綱分析可以幫助人們對復雜的流動問題進行定性的分析。通過揭示物理量量綱間存在的聯(lián)系，提出反映流動的方程式結構形式。相似理論是進行流體力學模型實驗時應遵循的理論基礎。一、因次分析dimensionalanalysis因次（量綱）和單位、因次式1m(米)2s(秒)5kg(千克)100K(開爾文)50m/s(米每秒)cm(厘米)s(秒)g(克)℃(攝氏度)cm/s(厘米每秒)長度時間質量溫度速度國際單位物理單位因次基本單位導出單位基本因次導出因次常用物理量的符號、單位和因次，參見袁98頁長度時間質量溫度速度因次[L][T][M][θ][LT-1]因次表達式試求動力粘性系數(shù)的因次表達式有物理意義的代數(shù)表達式或完整的物理方程是因次和諧的，或稱為齊次的。2.因次的齊次性（和諧性）一個方程如果因次上齊次，則方程的表達式不隨基本度量單位的改變而變化。利用因次的齊次性，檢查經驗公式中經驗公式中經驗系數(shù)的因次并進行單位變換。利用因次的齊次性，可檢驗物理方程是否正確。某一物理現(xiàn)象，涉及n個變量，變量間的函數(shù)關系，可以用n-m個無因次積πi表示的關系來描述，即：其中m表示基本量(量綱獨立，不能相互導出)。π定理是化有因次的函數(shù)關系為無因次的函數(shù)關系式的方法，結果不唯一。3.因次分析方法——π定理(buckingham

theroy)步驟找出影響某一物理現(xiàn)象的n個物理量；從n個物理量中選出m個基本量xi(對于不可壓縮流體運動，通常選取速度，密度及物體的特征長度為基本量，即m=3);將其余的物理量作為導出量，將他們分別與基本量的冪次組成一個無量綱數(shù)πi，共可以寫出n-m個π項;依各個πi無量綱的條件，求出未知數(shù)α，β，…γ等；寫出用π表示的函數(shù)關系。（袁）通過判斷線性方程的相關性來確定獨立變量，也即基本量的個數(shù)。方程組系數(shù)矩陣的矩，即為m。有因次無因次π5

π6π1

π2π3

π4有因次轉化成無因次，結果不唯一。Π1Π2為互相獨立的無因次積。

舉例袁103，例4-2：研究完全淹沒在流體中的螺旋槳的推力問題。此問題涉及到的物理量共7個，軸向推力P,槳直徑D，推進速度v，轉數(shù)n，重力加速度g，流體密度ρ，流體運動粘度ν。1.找出影響某一物理現(xiàn)象的n個物理量；2.從n個物理量中選出m個基本量xi(對于不可壓縮流體運動，通常選取速度，密度及物體的特征長度為基本量，即m=3);n=73.將其余的物理量作為導出量，將他們分別與基本量的冪次組成一個無量綱數(shù)πi，共可以寫出n-m個π項;其余的物理量：軸向推力P，轉數(shù)n，重力加速度g，流體運動粘度ν。4.依各個πi無量綱的條件，求出未知數(shù)α，β，…γ等；重復3，4步，5.寫出用π表示的函數(shù)關系(包含n-m項，且不唯一)。在現(xiàn)實中的應用在工程實際中，如何進行簡化和處理，要視實際需要而定。通常盡可能使無因次積的數(shù)目減至最少，以減輕實驗的工作量，但又要能反映各量的物理本質。在選擇物理量時，是自己依據(jù)經驗選定的。如果選取的變量過多，關系較復雜；如果選取的變量過少，特別是缺少了非常關鍵的物理量時，導出的公式沒有意義。經驗公式是反復總結的產物。分析研究模型和實物間的相似關系的基本原理稱為相似理論。實物又稱為原型，原型參數(shù)加腳碼n表示。模型參數(shù)加腳碼m表示。二、相似原理similaritytheory動力學相似原理包括：幾何相似，運動相似，動力相似。1.幾何相似原型與模型中對應的幾何純屬尺寸成比例，對應的幾何角度相等。線性長度比尺為：面積比尺為：體積比尺為：2.運動相似原型與模型中對應的運動參數(shù)如速度、加速度方向一致，大小成比例。時間比尺為：速度比尺為：加速度比尺為：3.動力相似原型與模型中對應點處受力方向相同，大小成比例。力的比尺為：是一個無因次的量，稱為牛頓數(shù)。牛頓數(shù)中的力指流動所受外力的總和，其中可能包括重力、摩擦力、壓力、表面張力等。完全的動力相似很難實現(xiàn)。因此在進行模型實驗時，常只考慮某些起主要作用的力（多數(shù)情況只選一種力），做到近似的（或局部的）動力相似。常用的動力相似準數(shù)：雷諾數(shù)Re，富勞德數(shù)Fr，歐拉數(shù)Eu。(1).雷諾數(shù)物理意義為慣性力與粘性力的比。雷諾數(shù)特征長度；特征速度；運動粘性系數(shù)。應用于：完全封閉的流動（如管道中）或是在流動中物體完全淹沒（如潛水艇）。不計自由表面。粘性力和慣性力是要考慮的主要的力。在流體內或者小尺寸的流管中，若粘性力占主要地位，同時伴有一個相對小的流速和較大的運動粘度，那么這種情況下流體在做有秩序的平行層狀運動，層間流體沒有任何混合——層流；當尺寸較大、流速較快、慣性力占主導地位、同時運動粘度較小時，流動呈現(xiàn)無序、脈動狀態(tài)，表現(xiàn)為相鄰層間的不規(guī)則的劇烈的摻混——湍流。(2).富勞德數(shù)物理意義為慣性力與重力的比。富勞德數(shù)應用于：具有自由表面的液流中，如船舶或水上飛機外殼產生的表面波。重力和慣性力是主要考慮的力。(3).歐拉數(shù)物理意義為壓力力與慣性力的比。歐拉數(shù)應用于：淹沒在流體中的物體表面上的壓力或壓強分布時，壓力和慣性力是主要考慮的力。兩個相似準數(shù)在同一個物理現(xiàn)象中，常不能同時滿足相似關系。N-S方程單位質量力-單位壓力+單位切力（粘性力）=單位慣性力方程兩邊同除慣性力則有袁108，例4-4：利用內徑50mm的管子通過水流來模擬內徑500mm管子內的標準空氣流。若氣流速度為2m/s，空氣運動粘度為0.15cm2/s。為保持動力相似，則模型管中的水流速度應為多少？思路：1.判斷用哪個準數(shù)？2.代入準數(shù)公式內計算。解：用雷諾數(shù)N-S方程的表達形式；

本構方程(應力和應變間的關系)因次分析能寫出常用物理量的因次表達式；

用因次和諧性來驗證公式正確與否；

會用π定理將有因次的函數(shù)化成無因次的。

小結小結——π定理找出影響某一物理現(xiàn)象的n個物理量；從n個物理量中選出m個基本量xi(對于不可壓縮流體運動，通常選取速度，密度及物體的特征長度為基本量，即m=3);將其余的物理量作為導出量，將他們分別與基本量的冪次組成一個無量綱數(shù)πi，共可以寫出n-m個π項;依各個πi無量綱的條件，求出未知數(shù)α，β，…γ等；寫出用π表示的函數(shù)關系。小結相似原理，準數(shù)表達式及其應用對象(1).雷諾數(shù)物理意義為慣性力與粘性力的比。應用于：完全封閉的流動（如管道中）或是在流動中物體完全淹沒（