科學和工程計算第一章緒論福州大學數(shù)學與計算機科學學院教材及參考資料清華大學出版社《科學和工程計算基礎》

施妙根顧麗珍編著清華大學出版社《數(shù)值分析》

李慶揚王能超易大義編數(shù)值分析的學科別名1.1數(shù)值分析研究對象與特點計算方法科學與工程計算1.1數(shù)值分析研究對象與特點

應用實例湖水在夏天會出現(xiàn)分層現(xiàn)象，接近湖面溫度較高，越往下溫度變低，這種上熱下冷的現(xiàn)象影響了水的對流和混合過程，是的下層水域缺氧，導致水生魚類的死亡。如果把水溫看成深度的函數(shù)T(x)，有某個湖的觀測數(shù)據(jù)如下：環(huán)境工程師希望：根據(jù)給定的數(shù)據(jù)能求出T(x)。1.1數(shù)值分析研究對象與特點什么是數(shù)值分析“數(shù)值分析”就是研究在計算機上解決數(shù)學問題的理論和數(shù)值方法。數(shù)值算法的構造算法的理論分析計算機解決實際問題的步驟建立數(shù)學模型選擇數(shù)值方法編寫程序上機計算數(shù)值分析輸入復雜問題或運算計算機近似解1.1數(shù)值分析研究對象與特點計算機只能進行加減乘除四則運算和簡單的函數(shù)計算1.數(shù)值代數(shù):求解線性和非線性方程的解法,分直接方法和間接方法。2.插值和數(shù)值逼近。3.數(shù)值微分和數(shù)值積分。4.常微分方程和偏微分方程數(shù)值解法。1.2數(shù)值計算的誤差誤差的基本理論1用計算機進行實際問題的數(shù)值計算時,往往求得的是問題的近似解,都存在誤差誤差來源與分類在建立數(shù)學模型過程中,要將復雜的現(xiàn)象抽象歸結為數(shù)學模型,往往要忽略一些次要因素的影響,而對問題作一些簡化,因此和實際問題有一定的區(qū)別.—模型誤差在建模和具體運算過程中所用的數(shù)據(jù)往往是通過觀察和測量得到的,由于精度的限制,這些數(shù)據(jù)一般是近似的,即有觀測誤差誤差來源與分類如:若將前若干項的部分和作為函數(shù)值的近似公式,由于以后各項都舍棄了,自然產(chǎn)生了誤差。Taylor展開誤差來源與分類機器字長有限—舍入誤差由于計算機的字長有限,只能對有限位數(shù)進行運算,超過的位數(shù)按一定規(guī)則舍入,產(chǎn)生“舍入誤差”.誤差來源與分類小結:模型誤差.觀測誤差不是數(shù)值分析討論的內容,計算方法主要研究截斷誤差和舍入誤差在計算過程中的傳播和對計算結果的影響,以提高計算的精度.2誤差是不可避免的,既要允許誤差,又要控制誤差.要重視誤差分析,分析誤差的來源,誤差的傳播及對誤差作出估計1.2數(shù)值計算的誤差誤差的基本理論據(jù)說，美軍1910年的一次部隊的命令傳遞是這樣的:營長對值班軍官:明晚大約8點鐘左右，哈雷彗星將可能在這個地區(qū)看到，這種彗星每隔76年才能看見一次。命令所有士兵著野戰(zhàn)服在操場上集合，我將向他們解釋這一罕見的現(xiàn)象。如果下雨的話，就在禮堂集合，我為他們放一部有關彗星的影片。值班軍官對連長:根據(jù)營長的命令，明晚8點哈雷彗星將在操場上空出現(xiàn)。如果下雨的話，就讓士兵穿著野戰(zhàn)服列隊前往禮堂，這一罕見的現(xiàn)象將在那里出現(xiàn)。連長對排長:根據(jù)營長的命令，明晚8點，非凡的哈雷彗星將身穿野戰(zhàn)服在禮堂中出現(xiàn)。如果操場上下雨，營長將下達另一個命令，這種命令每隔76年才會出現(xiàn)一次。排長對班長:明晚8點，營長將帶著哈雷彗星在禮堂中出現(xiàn)，這是每隔76年才有的事。如果下雨的話，營長將命令彗星穿上野戰(zhàn)服到操場上去。班長對士兵:在明晚8點下雨的時候，著名的76歲哈雷將軍將在營長的陪同下身著野戰(zhàn)服，開著他那“彗星”牌汽車，經(jīng)過操場前往禮堂。2.傳播與積累/*Spread&Accumulation*/例：蝴蝶效應

——紐約的一只蝴蝶翅膀一拍，風和日麗的北京就刮起臺風來了？！NYBJ以上是一個病態(tài)問題

/*ill-posedproblem*/關于本身是病態(tài)的問題，我們還是留給數(shù)學家去頭痛吧！蝴蝶效應是氣象學家洛倫茲1963年提出來的。其大意為：一只南美洲亞馬孫河流域熱帶雨林中的蝴蝶，偶爾扇動幾下翅膀，可能在兩周后引起美國德克薩斯引起一場龍卷風。其原因在于：蝴蝶翅膀的運動，導致其身邊的空氣系統(tǒng)發(fā)生變化，并引起微弱氣流的產(chǎn)生，而微弱氣流的產(chǎn)生又會引起它四周空氣或其他系統(tǒng)產(chǎn)生相應的變化，由此引起連鎖反映，最終導致其他系統(tǒng)的極大變化。此效應說明，事物發(fā)展的結果，對初始條件具有極為敏感的依賴性，初始條件的極小偏差，將會引起結果的極大差異。

例：計算公式一：注意此公式精確成立記為則初始誤差????!!!Whathappened?!考察第n步的誤差我們有責任改變。造成這種情況的是不穩(wěn)定的算法/*unstablealgorithm*/迅速積累，誤差呈遞增走勢?？梢姵跏嫉男_動公式二：注意此公式與公式一在理論上等價。方法：先估計一個IN

,再反推要求的In(n<<N)?？扇∪?/p>

Wejustgotlucky?考察反推一步的誤差：以此類推，對n<N

有：誤差逐步遞減,這樣的算法稱為穩(wěn)定的算法/*stablealgorithm*/

在我們今后的討論中，誤差將不可回避，算法的穩(wěn)定性會是一個非常重要的話題。誤差與有效數(shù)字絕對誤差/*Absoluteerror*/定義1.

Heyisn’titsimple?Ohyeah?ThentellmetheabsoluteerrorofOops!絕對誤差限或誤差限,或且誤差限的大小還不能完全表示近似值的好壞.注：e*理論上講是唯一確定的，可能取正，也可能取負。

e*>0不唯一，當然e*越小越具有參考價值。顯然Icantellthatthispart’sdiameteris20cm1cm.Icantellthatdistancebetweentwoplanetsis1millionlightyear±1lightyear.Ofcoursemineismoreaccurate!Theaccuracyrelatestonotonlytheabsoluteerror,butalsotothesizeoftheexactvalue.哪個更精確呢?定義2.

relativeerrorNowIwouldn’tcallitsimple.Say…whatistherelativeerrorof20cm±1cm?Don’ttellmeit’s5%because…Butwhatkindofinformationdoesthat5%giveusanyway?絕對誤差限相對誤差限往往未知代替相對誤差代替相對誤差限條件是較小,這是因為Amathematician,aphysicist,andanengineerweretravelingthroughScotlandwhentheysawablacksheepthroughthewindowofthetrain."Aha,"saystheengineer,"IseethatScottishsheepareblack.""Hmm,"saysthephysicist,"YoumeanthatsomeScottishsheepareblack.""No,"saysthemathematician,"AllweknowisthatthereisatleastonesheepinScotland,andthatatleastonesideofthatonesheepisblack!"注：從的定義可見，實際上被偷換成了，而后才考察其上限。那么這樣的偷換是否合法？嚴格的說法是，與是否反映了同一數(shù)量級的誤差？因此是的平方項集,所以可以忽略不計!例.解:可見,經(jīng)四舍五入取近似值,其絕對誤差限將不超過其末位數(shù)字的半個單位有效數(shù)字有4位有效數(shù)字有6位有效數(shù)字有8位有效數(shù)字只有4位有效數(shù)字定義2.有效數(shù)字是0到9中的一個數(shù)字。那么注：0.2300有4位有效數(shù)字，而00023只有2位有效。12300如果寫成0.123105，則表示只有3位有效數(shù)字。

數(shù)字末尾的0不可隨意省去！定理1.證明:定理說明，有效位數(shù)越多，相對誤差限越小§2ErrorandSignificantDigits

例：為使的相對誤差小于0.001%,至少應取幾位有效數(shù)字？解：假設*取到n

位有效數(shù)字，則其相對誤差上限為要保證其相對誤差小于0.001%，只要保證其上限滿足已知a1=3，則從以上不等式可解得n>6log6，即n6，應取*=3.14159。例3.解:則有定理3,相對誤差滿足即應取4位有效數(shù)字,近似值的誤差不超過0.1%.問題：對于y=f(x)，若用x*

取代x，將對y

產(chǎn)生什么影響？分析：e*(y)=f(x*)f(x)e*(x)=x*xMeanValueTheorem=f’()(x*x)x*與x非常接近時，可認為f’()

f’(x*)，則有：|e*(y)||f’(x*)|·|e*(x)|即：x*產(chǎn)生的誤差經(jīng)過f作用后被放大/縮小了|f’(x*)|倍。故稱|f’(x*)|為放大因子

/*amplificationfactor*/

或

絕對條件數(shù)

/*absoluteconditionnumber*/.數(shù)值運算的誤差估計相對誤差條件數(shù)

/*relativeconditionnumber*/

f的條件數(shù)在某一點是小\大，則稱f在該點是好條件的

/*well-conditioned*/\壞條件的

/*ill-conditioned*/。在數(shù)值運算中，參加運算的數(shù)若有誤差，那么一定會影響到計算結果的準確性.數(shù)值運算的誤差估計數(shù)值運算的誤差估計例4已測得某場地長l的值為寬d的值為已知試求面積的絕對誤差限與相對誤差限？解：1.3.2避免誤差危害的若干原則1.四則運算中的穩(wěn)定性問題(1)防止大數(shù)吃小數(shù)這一類問題主要由計算機的位數(shù)引起假如作一個有效數(shù)字為4位的連加運算而如果將小數(shù)放在前面計算在作連加時,為防止大數(shù)吃小數(shù),應從小到大進行相加,如此,精度將得到適當改善.當然也可采取別的方法.解方程解:由中學知識韋達定理可知,方程的精確解為而如果在字長為8,基底為10的計算機上利用求根公式機器吃了因此在計算機上上式是解二次方程的數(shù)值公式求

的小正根.

方程的兩根為

只有一位有效數(shù)字小正根為避免兩相近數(shù)相減可改用

(2)作減法時應避免相近數(shù)相減兩個相近的數(shù)相減,會使有效數(shù)字的位數(shù)嚴重損失在算法設計中,若可能出現(xiàn)兩個相近數(shù)相減,則改變計算公式,如使用三角變換、有理化等等例：a