..7.4解:根據(jù)式〔,處在能量為的量子態(tài)s上的平均粒子數(shù)為〔1以N表示系統(tǒng)的粒子數(shù),粒子處在量子態(tài)s上的概率為〔2顯然,滿足歸一化條件〔3式中是對粒子的所有可能的量子態(tài)求和.粒子的平均能量可以表示為〔4根據(jù)式〔,定域系統(tǒng)的熵為〔5最后一步用了式〔2,即〔6式〔5的熵表達式是頗具啟發(fā)性的.熵是廣延量,具有相加性.式〔5意味著一個粒子的熵等于它取決于粒子處在各個可能狀態(tài)的概率.如果粒子肯定處在某個狀態(tài),即,粒子的熵等于零.反之,當粒子可能處在多個微觀狀態(tài)時,粒子的熵大于零.這與熵是無序度的量度的理解自然是一致的.如果換一個角度考慮,粒子的狀態(tài)完全確定意味著我們對它有完全的信息,粒子以一定的概率處在各個可能的微觀狀態(tài)意味著我們對它缺乏完全的信息.所以,也可以將熵理解為信息缺乏的量度.第九章補充題5還將證明,在正則系綜理論中熵也有類似的表達式.沙農(nóng)〔Shannon在更普遍的意義上引進了信息熵的概念,成為通信理論的出發(fā)點.甄尼斯〔Jaynes提出將熵當作統(tǒng)計力學的基本假設(shè),請參看第九章補充題5.對于滿足經(jīng)典極限條件的非定域系統(tǒng),式〔′給出上式可表為〔7其中因為將式〔7用表出,并注意可得〔8這是滿足玻耳茲曼分布的非定域系統(tǒng)的熵的一個表達式.請與習題8.2的結(jié)果比較.習題7.8氣體以恒定的速度沿方向作整體運動。試證明,在平衡狀態(tài)下分子動量的最概然分布為證：設(shè)能級這樣構(gòu)成：同一中,相同,而與在變化,于是有：<>參照教材玻耳茲曼分布證明；有-,其中由<1>知:將代入并配方得:=其中對比page238式〔得：整個體積內(nèi),分布在內(nèi)分子數(shù)為：由條件〔3知計算得==代入得出分布：其中,習題7.13試證明,單位時間內(nèi)碰到單位面積上,速率介于與之間的分子數(shù)為：證：在斜圓柱體內(nèi),分速度為的方向的分子數(shù)為:對于時間碰撞到面積上的分子數(shù)〔=得到：若只計算介于分子數(shù)則為：〔只對積分習題7.15已知粒子遵從經(jīng)典玻耳茲曼分布,其能量表達式為：其中是常數(shù),求粒子的平均能量。解：習題8.1試證明:對于玻色系統(tǒng)或費米系統(tǒng),玻耳茲曼關(guān)系成立,即。解：對于理想費米系統(tǒng),與分布相應(yīng)的系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)為取對數(shù),并應(yīng)用斯特令近似公式,得另一方面,根據(jù)理想費米系統(tǒng)的熵為其中費米巨配分函數(shù)的對數(shù)為由費米分布得和所以兩式比較可知：。習題8-2試證明,理想玻色和費米系統(tǒng)的熵可表示為：,其中為量子態(tài)上的平均粒子數(shù),對粒子的所有量子態(tài)求和。解：我們先討論理想費米系統(tǒng)的情形。根據(jù)上題有,理想費米系統(tǒng)的熵可表示為式中表示對粒子各能級求和。以表示在能量為的量子態(tài)上的平均粒子數(shù),并將對能級求和改為對量子態(tài)求和,注意到,上式可改寫為由于,計及前面的負號,上式的兩項都是非負的。對于理想玻色系統(tǒng),通過類似的步驟可以證明,由于玻色系統(tǒng),計及前面的負號,式中的第一項可以取負值,第二項是非負的,由于在絕對值上第二項大于第一項,熵不會取負值。在的情形,上面兩式中的所以在的情形下,有注意到,上式也可表示為習題8.3求弱簡并理想費米〔玻色氣體的壓強和熵。解：弱簡并費米〔玻色氣體的內(nèi)能為,式中上面的符號適用于費米氣體,下面的符號適用于玻色氣體。利用理想氣體壓強與內(nèi)能的關(guān)系,可直接求出弱簡并氣體的壓強為式中是粒子數(shù)密度。定容熱容量為參照熱力學中熵的積分表達式可將熵表示為于是可得式中的函數(shù)可通過下述條件確定：在的極限下,弱簡并氣體趨于理想氣體。習題8.4試證明,在熱力學極限下均勻的二維理想玻色氣體不會發(fā)生玻色-愛因斯坦凝聚。證明：令玻色氣體降溫到某有限溫度,氣體的化學勢將趨于。在時,將有宏觀量級的粒子凝聚在的基態(tài),稱為玻色-愛因斯坦凝聚。臨界溫度由條件確定。將二維自由粒子的狀態(tài)密度代入得：二維理想玻色氣體的凝聚溫度由上式確定。令,上式可改寫為將被積函數(shù)展開有：則是發(fā)散的,這意味著在有限溫度下二維理想玻色氣體的化學勢不可能趨于零。換句話說,在有限溫度下二維理想玻色氣體不會發(fā)生玻色-愛因斯坦凝聚。習題8.7計算溫度為時,在體積內(nèi)光子氣體的平均總光子數(shù),并據(jù)此估算：〔1溫度為時的平衡輻射和；〔2溫度為的宇宙背景輻射中光子的數(shù)密度。解：在體積內(nèi),在到的圓頻率范圍內(nèi)光子數(shù)為溫度為時平均光子數(shù)為因此溫度為時,在體積內(nèi)光子氣體的平均光子數(shù)為引入變量,上式可表示為或在下,有。在下,有。習題8.8試據(jù)普朗克公式求平衡輻射內(nèi)能密度按波長的分布：,并據(jù)此證明,使輻射內(nèi)能密度取極大的波長滿足方程：這個方程的數(shù)值解為。因此溫度增加向短波方向移動。證：平衡輻射內(nèi)能按圓頻率的分布為根據(jù)圓頻率與波長的關(guān)系,有于是內(nèi)能按波長的分布可得：令使取極大的波長由下式確定：于是有：利用圖解法可以解出,精確的數(shù)值解給出。所以使為極大的滿足右方是常量,說明隨溫度的增加向短波方向移動,稱為維恩位移定律。習題8.10試根據(jù)熱力學公式及光子氣體的熱容量求光子氣體的熵。解：光子氣體的內(nèi)能為由此易得其定容熱容量為根據(jù)熱力學關(guān)于均勻系統(tǒng)熵的積分表達式有：積分沿任意一條積分路徑進行,如果取積分路線為由到的直線,即有：習題9.1證明在正則分布中熵可表為其中是系統(tǒng)處在態(tài)的概率。證：多粒子配分函數(shù)由<1>知代至<2>得;于是習題9.2試用正則分布求單原子分子理想氣體的物態(tài)方程,內(nèi)能和熵證：符號符號利用式〔類似求。習題9.6被吸附在液體表面的分子形成一種二維氣體,考慮分子間的相互作用,試用正則分布證明,二維氣體的物態(tài)方程為,其中：為液體的面積,為兩分子的互作用勢。解：二維氣體其中定義變量代換據(jù)式〔習題9.9利用德拜頻譜求固體在高溫和低溫下配分函數(shù)對數(shù),從而求內(nèi)能和熵。解：式〔德拜頻譜對于振動計算略高溫近似,,〔計算略習題9.7仿照三維固體的地拜理論,計算長度為的線形原子鏈在高溫和低溫下的內(nèi)能和熱容量。解：一維線形原子鏈共有個振動,存在最大頻率令高溫近似低溫近似其中習題9.8仿照三維固體的德拜理論,計算長度為L的線形原子鏈〔一維晶體在高溫和低溫下的內(nèi)能和熱容量。解：二維：面積S內(nèi),波矢范圍內(nèi)輻射場振動自由度為橫波按頻率分布為縱波按頻率分布為令低溫近似高溫近似計算略。7.10氣體以恒定速度沿方向作整體運動,求分子的平均平動能