第4章有限長單位脈沖響應

數字濾波器的設計方法本章內容線性相位特性FIR-DF時域設計法——窗口法FIR-DF頻域設計法——頻域采樣設計法FIR濾波器的優(yōu)點1、可以具有嚴格線性相位，同時可以具有任意幅度。2、FIR-DF的h(n)是有限長的，因而濾波器總是穩(wěn)定。3、經過一定的延時，任何非因果有限長序列都能變成因果有限長序列，因而能用因果系統(tǒng)來實現。4、FIR濾波器由于單位響應是有限長的，式因而可用快速傅里葉變換（FFT）算法來實現過濾信號，可大大提高運算效率。4.1線性相位FIR濾波器的特點

如果FIR-DF的h(n)是實序列，且滿足偶對稱或奇對稱的條件，則濾波器就具有嚴格的線性相位特點。偶對稱h(n)=h(N-1-n)

奇對稱h(n)=-h(N-1-n)4.1.1線性相位條件h(n)為實序列有一個附加相位兩類線性相位兩者的群延遲都是線性相位條件（1）要求實部和虛部都相等h(n)以n=(N-1)/2為偶對稱中心條件線性相位條件（2）h(n)以n=(N-1)/2為奇對稱中心，且有±π/2的固定相移。同理條件兩類線性相位4.1.2幅度響應特性第一種類型：

h(n)為偶對稱，N為奇數n=1,2,3,…,(N-1)/2cos(ωn)項對ω=0,π,2π皆為偶對稱，幅度函數H(ω)對于ω=0,π，2π也呈偶對稱。第二種類型：h(n)為偶對稱，N為偶數n=1,2,3,…,N/2當ω=π時，cos(ω(n-1/2

))=0，余弦項對ω=π呈奇對稱，H(π)=0，H(z)在z=ejπ=-1有一零點，H(ω)對ω=π呈奇對稱。當ω=0或2π時，cos(ω(n-1/2

))=1或-1，余弦項對ω=0,2π為偶對稱，幅度函數H(ω)對于ω=0,2π也呈偶對稱。

高通、帶阻，不能用這類數字濾波器來設計。h(n)為偶對稱第三種類型：h(n)為奇對稱，N為奇數n=1,2,3,…,(N-1)/2sin(ωn)在ω=0,π,2π處都為零，并對這些點呈奇對稱，因此幅度函數H(ω)在ω=0,π,2π處為零，即H(z)在z=±1上都有零點，且H(ω)對于ω=0,π,2π也呈奇對稱。低通、高通、帶阻，則不能用這類數字濾波器來設計。注意：第三種類型兩種表達式形式第四種類型：h(n)為奇對稱，N為偶數當ω=0,2π時，sin(ω(n-1/2

))=0，且對ω=0,2π呈奇對稱，因此H(ω)在ω=0,2π處為零，即H(z)在z=1處有一個零點，且H(ω)對ω=0,2π也呈奇對稱。當ω=π時，sin(ω(n-1/2

))=-1或1，則sin(ω(n-1/2

))對ω=π呈偶對稱，幅度函數H(ω)對于ω=π也呈偶對稱。低通、帶阻，不能用這類數字濾波器來設計。

注意：第四種類型兩種表達式形式h(n)為奇對稱h(n)為奇對稱4.1.3線性相位FIR濾波器的零點位置H(z)=±z-(N-1)H(z-1)例如果系統(tǒng)的單位脈沖響應為0≤n≤4其他n這是第一種類型的線性相位FIR數字濾波器系統(tǒng)的頻率響應(a)振幅特性

(b)相位

(c)群延遲τ(ω)=(N-1)/2=2例如果系統(tǒng)的單位脈沖響應為0≤n≤5其他n

這是第二種類型的線性相位FIR數字濾波器系統(tǒng)的頻率響應(a)振幅特性

(b)相位

(c)群延遲例如果系統(tǒng)的單位脈沖響應為h(n)=δ(n)-δ(n-2)這是第三種類型的線性相位FIR數字濾波器系統(tǒng)的頻率響應(a)振幅特性

(b)相位

(c)群延遲例如果系統(tǒng)的單位脈沖響應為h(n)=δ(n)-δ(n-1)這是第四種類型的線性相位FIR數字濾波器系統(tǒng)的頻率響應(a)振幅特性

(b)相位

(c)群延遲例一個FIR線性相位濾波器的單位脈沖響應是實數的，且n<0和n>6時h(n)=0。如果h(0)=1且系統(tǒng)函數在z=0.5ejπ/3和z=3各有一個零點，H(z)的表達式是什么？解因為n<0和n>6時h(n)=0，且h(n)是實值，所以當H(z)在z=0.5ejπ/3

有一個復零點時，則在它的共軛位置z=0.5e-jπ/3

處一定有另一個零點。這個零點共軛對產生如下的二階因子：H1(z)=(1-0.5ejπ/3

z-1)(1-0.5e-jπ/3z-1)=1-0.5z-1+0.25z-2

線性相位的約束條件需要在這兩個零點的倒數位置上有零點，所以H(z)同樣必須包括如下的有關因子：

系統(tǒng)函數還包含一個z=3的零點，同樣線性相位的約束條件需要在z=1/3也有一個零點。于是，H(z)還具有如下因子：最后，多項式中零階項的系數為A，為使h(0)=1，必定有：A=1。4.2用窗函數法設計FIR濾波器設計方法0≤n≤N-1其他h(n)=hd(n)w(n)窗函數法設計FIR數字濾波器是在時域進行0≤n≤N-1其他窗函數為矩形窗---------窗口設計法例如，要求設計一個FIR低通數字濾波器，

假設理想低通濾波器的頻率響應為

|ω|≤ωc

ωc<|ω|≤π理想低通的單位脈沖響應及矩形窗

矩形窗對理想低通幅頻特性的影響

h(n)=hd(n)wR(n)矩形窗理想濾波器的頻率響應實際設計的FIR濾波器頻率響應矩形窗影響加窗函數處理后，對理想頻率響應產生以下幾點影響（1）H(ω)將Hd(ω)在截止頻率處的間斷點變成了連續(xù)曲線，使理想頻率特性不連續(xù)點處邊沿加寬，形成一個過渡帶，過渡帶的寬度等于窗的頻率響應WR(ω)的主瓣寬度Δω=4π/N，即正肩峰與負肩峰的間隔為4π/N。窗函數的主瓣越寬，過渡帶也越寬。（2）在截止頻率ωc的兩邊即ω=ωc±(2π/N)的地方，H(ω)出現最大的肩峰值，肩峰的兩側形成起伏振蕩，其振蕩幅度取決于旁瓣的相對幅度，而振蕩的多少，則取決于旁瓣的多少。（3）改變N，只能改變窗譜函數的主瓣寬度，改變ω的坐標比例以及改變WR(ω)的絕對值大小。例如，在矩形窗情況下，

當截取長度N增加時，只會減小過渡帶寬度（4π/N），但不能改變主瓣與旁瓣幅值的相對比例;同樣，也不會改變肩峰的相對值。這個相對比例是由窗函數形狀決定的，與N無關。換句話說，增加截取窗函數的長度N只能相應的減少過渡帶，而不能改變肩峰值。五種常用的窗函數各種窗函數的傅里葉變換（N=51），A=20lg|W(ω)/W(θ)|(a)矩形窗(b)巴特利特窗（三角形窗）(c)漢寧窗(d)海明窗(e)布拉克曼窗理想低通濾波器加窗后的幅度響應（N=51）,A=20lg|H(ω)/H(0)|(a)矩形窗(b)巴特利特窗（三角形窗）(c)漢寧窗(d)海明窗(e)布拉克曼窗凱塞（Kaiser）窗窗函數法的設計步驟歸納（1）給定希望逼近的頻率響應函數Hd(ejω)。（2）根據下式求單位脈沖響應hd(n)。

如果Hd(ejω)很復雜或不能直接計算積分，則必須用求和代替積分，也就是要計算離散傅里葉反變換，一般都采用FFT來計算。將積分限分成M段，也就是令采樣頻率為ωk=2πk/M，k=0,1,2,…,M-1，則有

由于hd(n)有可能是無限長的序列，因此嚴格說，必須當M→∞時，hＭ(n)才能等于hd(n)而不產生混疊現象，即 。實際上，由于hd(n)隨n的增加衰減很快，一般只要M足夠大，即M>>N，近似就足夠了。

（3）按照過渡帶及阻帶衰減情況，選擇窗函數形式。原則是在保證阻帶衰減滿足要求的情況下，盡量選擇主瓣窄的窗函數。（4）最后，計算所設計的FIR濾波器的單位脈沖響應。h(n)=hd(n)w(n)0≤n≤N-1（5）由h(n)求FIR濾波器的系統(tǒng)函數H(z)例用矩形窗設計一個線性相位帶通濾波器-ωc≤ω-ω0≤ωc

0≤ω<ω0-ωc,ω0+ωc<ω≤π（1）設計N為奇數時的h(n)。（2）設計N為偶數時的h(n)。（3）若改用海明窗設計，求以上兩種形式的h(n)表達式。解根據該線性相位帶通濾波器的相位可知該濾波器只能是h(n)=h(N-1-n)即h(n)偶對稱的情況，h(n)偶對稱時，可為第一類和第二類濾波器，其頻響

（1）當N為奇數時，h(n)=h(N-1-n)ω0-ωc≤ω≤ω0+ωc,-ω0-ωc≤ω≤-ω0+ωc-ω0+ωc<ω<ω0-ωc,-π≤ω<-ω0-ωc,ω0+ωc<ω≤π

h(n)=hd(n)RＮ(n)(2)N

為偶數時，H(ejω)為第二類線性相位濾波器，H(ω)關于ω=0呈偶對稱。所以,Hd(ejω)在［-π,π］之間的擴展同上，則hd(n)也同上，即:(3)若改用海明窗N為奇數時N為偶數時4.3用頻率采樣法設計FIR濾波器頻率采樣法：在頻域對理想頻率響應Hd(ejω)以等間隔采樣H(k)=Hd(k)=Hd(ejω)|ω=2πk/Nk=0,1,2,…,N-1線性相位的約束

（1）第一類線性相位濾波器，即h(n)偶對稱，N為奇數

H(ω)關于ω=0,π,2π為偶對稱Hk滿足偶對稱（2）第二類線性相位FIR濾波器，即h(n)偶對稱，N為偶數H(ω)關于ω=π是奇對稱的，關于ω=0,2π為偶對稱，Hk

滿足奇對稱（3）第三類線性相位FIR濾波器，即h(n)奇對稱，N為奇數H(ω)關于ω=0,π,2π為奇對稱Hk滿足奇對稱（4）第四類線性相位FIR濾波器，即h(n)奇對稱，N為偶數H(ω)關于ω=π是偶對稱的，關于ω=0,2π為奇對稱Hk

滿足偶對稱逼近誤差及其改進措施頻率采樣的響應加過渡帶（a）一點過渡帶

(b)二點過渡帶

(c)三點過渡帶低通設計中，過渡采樣在低通設計中，不加過渡采樣點時，阻帶最小衰減為-20dB，一點過渡采樣的最優(yōu)化設計阻帶最小衰減可提高到-44dB到-54dB左右，二點過渡采樣的最優(yōu)化設計可達-65dB到-75dB左右三點過渡采樣的最優(yōu)化設計則可達-85dB到-95dB左右。例用頻率采樣法設計一線性相位濾波器試設計采樣值的相位θk，并求h(n)及H(ejω)的表達式。解

N=15，Ｈk=HN-k偶對稱，H0=1，第一類線性相位