數列極限存在的條件_第1頁
數列極限存在的條件_第2頁
數列極限存在的條件_第3頁
數列極限存在的條件_第4頁
數列極限存在的條件_第5頁
已閱讀5頁，還剩29頁未讀， 繼續(xù)免費閱讀

下載本文檔

版權說明：本文檔由用戶提供并上傳，收益歸屬內容提供方，若內容存在侵權，請進行舉報或認領

文檔簡介

數學分析2-3數列極限存在的條件§2.3數列極限存在的條件一數列收斂的一個充分條件

——單調有界原理

二數列收斂的充要條件

——Cauchy收斂準則三關于極限

四數列單調有界證法欣賞

一單調有界原理定義稱為單調上升的，若稱為單調下降的，若

單調增加和單調減少數列統(tǒng)稱為單調數列

提問:

收斂的數列是否一定有界？

有界的數列是否一定收斂？M定理1(單調有界定理)

單調有界數列必有極限

定理1的幾何解釋x1

x5

x4

x3

x2

xn

A

以單調增加數列為例

數列的點只可能向右一個方向移動

或者無限向右移動

或者無限趨近于某一定點A

而對有界數列只可能后者情況發(fā)生

數列極限存在的條件數列極限存在的條件定理1(單調有界定理)

單調有界數列必有極限

證明

例1設證明數列{}收斂.例2

例3

(n重根號),···證明數列單調有界,并求極限.求

(計算的逐次逼近法,亦即迭代法).解由均值不等式,有有下界;注意到對有有↘···,例4

1）證明序列的極限存在；2）求極限解

1）因時有所以即有故序列下降。因此序列極限存在，記極限值為c。于是這表明序列有下界。又或2）因所以又即得證(舍去)二數列收斂的充要條件——Cauchy收斂準則1Cauchy列：

如果數列具有以下特性：＞＞＜則稱數列是一個基本數列.（Cauchy列）2Cauchy收斂準則：定理數列

收斂的充要條件是：是一個基本數列.數列收斂或數列極限存在的條件定理的幾何解釋

柯西準則說明收斂數列各項的值越到后邊,彼此越是接近,以至充分后面的任何兩項之差的絕對值可小于預先給定的任意小正數.或形象地說,收斂數列的各項越到后面越是擠在一起.x1

x2

x3

x4

x5

例5證明:任一無限十進小數

的不足近似值所組成的數列收斂.其中

是中的數.

證令有

……三

關于極限

（證明留在下段進行.）例8例9例10四數列

證法一單調有界證法欣賞:

Cauchy(1789—1857)最先給出這一極限，Riemann（1826—1866）最先給出以下證法一.設用二項式展開，得注意到

且比多一項

即↗.有界.綜上,數列{}單調有界.評註:該證法樸素而穩(wěn)健.證法二(利用Bernoulli不等式)注意到Bernoulli不等式為正整數),有+小結

(1)單調有界定理;

(2)單調有界定理的幾何意義;

(3)

溫馨提示

  • 1. 本站所有資源如無特殊說明，都需要本地電腦安裝OFFICE2007和PDF閱讀器。圖紙軟件為CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.壓縮文件請下載最新的WinRAR軟件解壓。
  • 2. 本站的文檔不包含任何第三方提供的附件圖紙等，如果需要附件，請聯(lián)系上傳者。文件的所有權益歸上傳用戶所有。
  • 3. 本站RAR壓縮包中若帶圖紙，網頁內容里面會有圖紙預覽，若沒有圖紙預覽就沒有圖紙。
  • 4. 未經權益所有人同意不得將文件中的內容挪作商業(yè)或盈利用途。
  • 5. 人人文庫網僅提供信息存儲空間，僅對用戶上傳內容的表現(xiàn)方式做保護處理，對用戶上傳分享的文檔內容本身不做任何修改或編輯，并不能對任何下載內容負責。
  • 6. 下載文件中如有侵權或不適當內容，請與我們聯(lián)系，我們立即糾正。
  • 7. 本站不保證下載資源的準確性、安全性和完整性, 同時也不承擔用戶因使用這些下載資源對自己和他人造成任何形式的傷害或損失。

最新文檔

評論

0/150

提交評論