圓周角和圓心角的關(guān)系(2)九年級(jí)數(shù)學(xué)(下)第五章圓5.4圓的對(duì)稱性學(xué)有所思、思有所疑、疑有所問(wèn)、問(wèn)有所悟，學(xué)思疑問(wèn)才會(huì)感悟生活的樂(lè)趣、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的快樂(lè)！

知識(shí)回顧

圓周角定義：頂點(diǎn)在圓上,并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角.在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.圓周角定理：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓周角相等，它們所對(duì)弧一定相等．推論1

同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；相等的圓周角所對(duì)的弧也相等.推論2在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。1.如圖，AB是O的直徑，你能求的度數(shù)嗎？ABCO半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑結(jié)論：AB是直徑⊙⊙2.如圖，如果圓周角，那么弦AB是O的直徑嗎？

深入探究推論3

半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.

歸納問(wèn)題解答1、圓周角定理的推論2：同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等。2、圓周角定理的推論3：半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。用于找相等的角用于找相等的弧用于判斷某個(gè)圓周角是否是直角用于判斷某條線是否過(guò)圓心例：如圖，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長(zhǎng)BD到C，使AC=AB，BD與CD的大小有什么關(guān)系？為什么？ABCOD解：連接AD∵AB是⊙O的直徑∴∠ADB=90°

即AD⊥BC又∵AC=AB∴BD=CD

化心動(dòng)為行動(dòng)分析：由于AB是⊙O的直徑，故連接AD。由直徑所對(duì)的圓周角是直角，可得AD⊥BC.又因?yàn)椤鰽BC中，AC=AB，所以由等腰三角形的三線合一，可證得BD=CD。

教材題變形，拓展延伸船在航行過(guò)程中，船長(zhǎng)常常通過(guò)測(cè)定角度來(lái)確定是否會(huì)遇到暗礁。如圖，A，B表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)的一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，C表示一個(gè)危險(xiǎn)臨界點(diǎn)，∠ACB就是“危險(xiǎn)角”，當(dāng)船與兩個(gè)燈塔的夾角大于“危險(xiǎn)角”時(shí)，就有可能觸礁。（1）當(dāng)船與兩個(gè)燈塔的夾角∠α大于“危險(xiǎn)角”時(shí)，船位于哪個(gè)區(qū)域？為什么？（2）當(dāng)船與兩個(gè)燈塔的夾角∠α小于“危險(xiǎn)角”時(shí)，船位于哪個(gè)區(qū)域？為什么？分析：這是一個(gè)有實(shí)際背景的問(wèn)題。由題意可知：“危險(xiǎn)角∠ACB”實(shí)際上就是圓周角。船P與兩個(gè)燈塔的夾角為∠α，P有可能在⊙O外，P有可能在⊙O內(nèi).當(dāng)∠α＞∠C時(shí)，船位于暗礁區(qū)域內(nèi)；當(dāng)∠α＜∠C時(shí)，船位于暗礁區(qū)域外。因此,我們可以分情況討論.解：（1）當(dāng)船與兩個(gè)燈塔的夾角∠α大于“危險(xiǎn)角”∠C時(shí)，船位于暗礁區(qū)域內(nèi)（即⊙O內(nèi)）。理由是：連接BE.

假設(shè)船在⊙O上，則有∠α=∠C，這與∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假設(shè)船在⊙O外，則有∠α＜∠AEB，即∠α＜∠C，這與∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O外。因此，船只能位于⊙O內(nèi)。（1）當(dāng)船與兩個(gè)燈塔的夾角∠α大于“危險(xiǎn)角”時(shí)，船位于哪個(gè)區(qū)域？為什么？（2）當(dāng)船與兩個(gè)燈塔的夾角∠α小于“危險(xiǎn)角”時(shí)，船位于哪個(gè)區(qū)域？為什么？解：（2）當(dāng)船與兩個(gè)燈塔的夾角∠α小于“危險(xiǎn)角”∠C時(shí)，船位于暗礁區(qū)域外（即⊙O外）。理由是：假設(shè)船在⊙O上，則有∠α=∠C，這與∠α＜∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假設(shè)船在⊙O內(nèi)，則有∠α＞∠AEB，即∠α＞∠C，這與∠α＜∠C矛盾，所以船不可能在⊙O內(nèi)。因此，船只能位于⊙O外。1.判斷題：（1）同圓或等圓中，等弧所對(duì)的圓周角相等.（）（2）90°的角所對(duì)的弦是直徑.（）（3）同弦所對(duì)的圓周角相等.（）√XXOABC

課堂練習(xí)D2.填空題:(1)如圖所示,∠BAC=

,∠DAC=

.DABC∠DBC∠BDC●OACB(2)如圖所示,⊙O的直徑AB=10cm,C為⊙O上一點(diǎn),∠BAC=30°,則BC=

cm

5

課堂練習(xí)3、（2006?山西）如圖，在“世界杯”足球比賽中，甲帶球向?qū)Ψ角蜷T(mén)PQ進(jìn)攻．當(dāng)他帶球沖到A點(diǎn)時(shí)，同伴乙已經(jīng)助攻沖到B點(diǎn)．有兩種射門(mén)方式：第一種是甲直接射門(mén)；第二種是甲將球傳給乙，由乙射門(mén)．僅從射門(mén)角度考慮，應(yīng)選擇第幾種射門(mén)方式？解答：解：設(shè)AP與圓的交點(diǎn)是C，連接CQ；則∠PCQ＞∠A；由圓周角定理知：∠PCQ=∠B；所以∠B＞∠A；因此選擇第二種射門(mén)方式更好．點(diǎn)評(píng)：此題實(shí)際上是比較兩個(gè)角的大小，角度越大，射中率越高．綜合考查了圓周角定理和三角形外角的性質(zhì)．MNCDOE4.當(dāng)甲帶球到C點(diǎn)時(shí)，乙沖到了D點(diǎn)，如圖,此時(shí)甲是自己射門(mén)好，還是將球傳給乙，讓乙射門(mén)好呢？為什么？(不考慮其他因素)延長(zhǎng)NC交圓O于點(diǎn)E，連接ME，由圓周角性質(zhì)∠MDN＝∠MEN因此，讓甲射門(mén)好.解：又由三角形外角性質(zhì)∠MCN＞∠MEN∴∠MCN＞∠MDN5.請(qǐng)你幫助用直角曲尺檢查半圓形的工件，哪個(gè)是合格的？為什么？不合格合格不合格

生活中的數(shù)學(xué)答：圖（2）是半圓形。理由是：90°

的圓周角所對(duì)的弦是直徑。6.如圖，以⊙O的半徑OA為直徑作⊙O1,⊙O的弦AD交⊙O1于C,則(1)OC與AD的位置關(guān)系是

;

(2)OC與BD的位置關(guān)系是

;(3)若OC=2cm,則BD=

cmOC垂直平分AD平行4CDO1ABO

知識(shí)深化7.如圖,△ABC的頂點(diǎn)均在⊙O上,AB=4,∠C=30°,求⊙O的直徑.

●OACBE

能力提高∵BF是⊙O的直徑∴∠BAF=90°在Rt△ABF中，∠F=30°∴BF=2AB又∵AB=4∴BF=8即⊙O直徑為8解:過(guò)B作直徑BF交⊙O于點(diǎn)F,連接AFF●ODABCNME8.如圖⊙O中,D、E分別是AB和AC的中點(diǎn),DE分別交AB和AC于點(diǎn)M、N.求證:△AMN是等腰三角形.⌒⌒

能力提高證明:∵D,E分別是AB和AC的中點(diǎn)⌒⌒∴AD=BD，AE=CE∴∠DAB=∠AED,∠ADE=∠EAC∵∠AMN=∠DAB+∠ADM∴∠AMN=∠ANM即△AMN是等腰三角形⌒⌒⌒⌒∠ANM=∠AED+∠EAC9.如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O，過(guò)點(diǎn)A的直線交⊙O于點(diǎn)P，交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,且AB2=AP·AD.（1）求證：AB=AC;（2）如果∠ABC=60°，⊙O的半徑為1，且P為AC的中點(diǎn)，求AD的長(zhǎng)？（1）證明：連接BP∴AB=AC∵AB2=AP·AD∵∠BAP=∠DAB∴△BAP～△DAB∴∠APB=∠ABD∵∠APB=∠ACB∵∠ABD=∠ACB（2）解：∵AB=AC又∵∠ABC=60°∴△ABC是等邊三角形∵∠BAC=60°∵P為AC的中點(diǎn)∴∠BAP=∠BAC+∠PAC=90°∴BP是直徑∴BP=2，AP=1∴AB2=BP2-AP2=3∵AB2=AP·AD∴32=1×AD∴AD=3.1.如圖，⊙Ｏ的弦AC、BD相交于⊙Ｏ

內(nèi)一點(diǎn)Ｐ.求證：E思考下列各題,并記住結(jié)論：(的度數(shù)+的度數(shù))⌒AB⌒CD2.如圖，⊙Ｏ的弦AC、BD相交于⊙Ｏ

外一點(diǎn)Ｐ.求證：四、思考下列各題,并記住結(jié)論：(的度數(shù)—的度數(shù))⌒AB⌒CD3、99年北京中考題）在⊙O中，CD過(guò)圓心O，且CD⊥AB于D，過(guò)點(diǎn)C任作一弦CF交⊙O于F，交AB于E，求證：CB2=CE·CFOABCDEF4、如圖，AE⊙O的直徑,△ABC的頂點(diǎn)都在⊙O上,AD是△ABC的高;

求證：AB·AC=AE·ADAOBCDE分析：要證AB·AC=AE·AD△ADC∽△ABE或△ACE∽△ADB5、如圖，AE⊙O的直徑,△ABC的頂點(diǎn)都在⊙O上,AD是△ABC的高;

求證：AB·AC=AE·AD變式：⑴△ABC內(nèi)接于⊙O， 若∠1=∠2.求證：AB?AC=AE?AD.變式：⑵△ABC內(nèi)接于⊙O，若弦AE平分∠BAC.

求證：AB?AC=AE?AD.

OBCAED12問(wèn)：若點(diǎn)D在圓外，上述結(jié)論仍成立嗎？6、已知，如圖，圓內(nèi)接△ABC中，AB=AC，弦AE交BC于D求證：⑴△ABD∽△AEB1997年廣東省中考題ECOABD7、如圖，AB為⊙O的直徑，DC為弦，AB⊥DC，F(xiàn)為弧BC上的一點(diǎn)，AF交DC于E.求證：AD2=AE?AF.

8、如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,高AD、BE相交于H,AD延長(zhǎng)線交⊙O于點(diǎn)F.求證:BF=BH.9、如圖，Rt△ABC中，∠C=90o，AC=5，BC=12，以C為圓心，AC為半徑的圓交AB于點(diǎn)D.求AD的長(zhǎng).知識(shí)總結(jié)1.【圓周角的性質(zhì)】

（3）在同一圓內(nèi)，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于