第七章應力狀態(tài)分析低碳鋼拉伸鑄鐵扭轉§7-1概述應力狀態(tài)的概念物體上一點處所有截面上應力的集合應力狀態(tài)的研究方法

取單元體物體上某點周圍截取的足夠小長方體。各截面上應力均勻，對應截面上應力等值反向，相互垂直截面上切應力互等。

一般應力狀態(tài)zxy

平面應力狀態(tài)xysyzxytytxsysxtxtysx一、解析法abcdfenaayxsxsxsysytytytxtxtnbfe(設ef的面積為dA)1.斜截面上的應力§7-2平面應力狀態(tài)分析——平面應力狀態(tài)下任意斜截面（其法線在xy平面內(nèi)）上的σα和τα計算公式。列平衡方程：tnbfe(設ef的面積為dA)對于與ef

垂直的截面上的應力，abcdfenaayxsxsxsysytytytxtx——平面應力狀態(tài)下任意斜截面（其法線在xy平面內(nèi)）上的σα和τα計算公式。tnbfe(設ef的面積為dA)——過一點任意兩個互相垂直的截面上的正應力之和為常數(shù)，切應力服從切應力互等定理。xyxyyxσ1σ2主應力公式：主平面方位：主單元體主方向（主平面的法線方向）二、圖解法①②若以σ為橫軸，τ為縱軸，則該圓的圓心在處，半徑為。這樣的圓——應力圓（莫爾圓）。yx應力圓的作法：COF

應力圓上點的坐標和斜截面上的應力有著一一對應的關系。naaEA1A2起始半徑；2倍角對應關系。轉向一致；點面yx應力圓的作法：COA1A2點面30°40°例1：單元體σx=-30MPa，σy=60MPa，τx=-40MPa。（a）試用解析法和圖解法確定α1=30°和α2=-40°兩截面上的應力；（b）求主應力，確定主平面的位置。解：

解析法（a）COE1E230°40°例1：單元體σx=-30MPa，σy=60MPa，τx=-40MPa。（a）試用解析法和圖解法確定α1=30°和α2=-40°兩截面上的應力；（b）求主應力，確定主平面的位置。解：

圖解法（a）CO例1：單元體σx=-30MPa，σy=60MPa，τx=-40MPa。（a）試用解析法和圖解法確定α1=30°和α2=-40°兩截面上的應力；（b）求主應力，確定主平面的位置。解：（b）α0=69.2o例2：一純切應力狀態(tài)的單元體如圖所示。求主應力大小和方向。解：σ1

=OA1=τ，σ3=OA2=-τO鑄鐵扭轉圖示單元體上，σx=-6MPa，τx=-3MPa，求主應力大小和主平面位置。OC22.567.5解：σ1σ3

1.24-7.24MPatan2α0=-2τx/σx

=-1，α0=67.5o例3：一、關于下圖四個應力狀態(tài)，說法正確的是：

練習：A:四者均等價；B：a和b等價；C：b和c等價；D：a和c等價。(a)(b)(c)450(d)450二、該單元體是二向應力狀態(tài)嗎？（其中﹦

）

450yxCO12D1D2§7-4三向應力狀態(tài)下的最大應力abcBEFEAO(a)(b)(a)圖中，已知σ1=40MPa，σ2=0，σ3=-60MPa。得：(b)圖中，已知σ1=60MPa，σ2=40MPa，σ3=0。得：§7-3基本變形桿件的

應力狀態(tài)分析FF一、拉壓桿件應力狀態(tài)分析nx——拉壓桿件斜截面應力公式στ2ατmax低碳鋼拉伸二、扭轉桿件應力狀態(tài)分析TTnx任意α斜截面上的應力：στ三、梁的應力狀態(tài)分析qmabcdembedcayyyyymmσeσaτbτcτdσdσbxxxxx在一組曲線上每一點切線的方向是該點主拉應力的方向（主拉應力軌跡線），而在另一組曲線上每一點切線的方向則是主壓應力的方向（主壓應力軌跡線）。梁的主應力軌跡線：

（兩組正交曲線）σ1σ3梁內(nèi)任意一點的主應力為：彎起鋼筋縱向鋼筋qτ-+bdc練習：草繪下列桿件內(nèi)兩組主應力軌跡線的大致形狀。FFaaFFTTMM§7-5廣義虎克定律體積應變一、廣義虎克定律單向應力狀態(tài)下的虎克定律：三向應力狀態(tài)下的虎克定律：廣義虎克定律：

表明各向同性材料在彈性范圍內(nèi)應力分量和應變分量之間的線性本構關系。xzy潤揚大橋橋底力學測試現(xiàn)場xzy廣義虎克定律：特例：如二向應力狀態(tài)，令σ3=0F1010例1：在一槽形鋼塊內(nèi)，放置一邊長為10mm的立方體鋁塊。鋁塊與槽壁間無間隙。當鋁塊受到合力為F=6KN的壓力時，試求鋁塊內(nèi)任一點的應力。設鋁塊的泊松比=0.33。解：例2：直徑為80mm的圓軸受外力偶T作用。若在圓軸表面沿與母線成－450方向測得線應變?yōu)?60μ，求T的大小。已知E＝2.0

105MPa，泊松比＝0.3。解：TT450二、體積應變dxdzdy單位體積的改變體積應變

對于純切應力狀態(tài)：結論：在任意應力狀態(tài)下，一點處的體積應變與切應力無關，而與通過該點的任意三個相互垂直平面上的正應力之和成正比。切應力不會引起體積改變——體積模量（壓縮模量）§7-6應變能和應變能密度

應變能（彈性應變能）Vε=W（Vε）一、軸向拉壓桿件的應變能和應變能密度Fll1FAOBF△lΔl

應變能

應變能密度F`d(Δl)二、三向應力狀態(tài)下的應變能密度（a）與單元體體積變化相應的那一部分應變能密度——體積改變能密度vV

；與單元體形狀改變相應的那一部分應變能密度