正弦函數(shù)28.1.1

正弦函數(shù)學習目標1.理解并掌握銳角正弦的定義，知道當直角三角形的銳角固定時，它的對邊與斜邊的比值都固定

(即正弦值不變).(重點)2.能根據(jù)正弦概念正確進行計算.(重點、難點)28.1.1

正弦函數(shù)

為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機井房沿著山坡鋪設水管，在山坡上建一座揚水站，對坡面綠地進行噴灌.先測得斜坡的坡角(∠A)為30°，為使出水口的高度為35m，需要準備多長的水管？30°情境引入28.1.1

正弦函數(shù)講授新課

從上述情境中，你可以找到一個什么數(shù)學問題呢？能否結(jié)合數(shù)學圖形把它描述出來？ABC30°35m28.1.1

正弦函數(shù)ABC30°35m

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°∠A=30°，BC=35m，求AB.根據(jù)“在直角三角形中，30°角所對的邊等于斜邊的一半”,即可得AB=2BC=2×35=70(m).也就是說，需要準備70m長的水管.如果出水口的高度為50m，那么需要準備多長的水管？28.1.1

正弦函數(shù)

在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么無論這個直角三角形大小如何，這個角的對邊與斜邊的比都等于.歸納：28.1.1

正弦函數(shù)Rt△ABC中，如果∠C=90，∠A=45°，

那么BC與AB的比是一個定值嗎？解：因為∠A=45°，∠C=90°，所以AC=BC，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=2BC2，思考1：所以

因此28.1.1

正弦函數(shù)

在直角三角形中，如果一個銳角等于45°，那么無論這個直角三角形大小如何，這個角的對邊與斜邊的比都等于.歸納：當∠A

是任意一個確定的銳角時，它的對邊與斜邊的比是否也是一個固定值呢？28.1.1

正弦函數(shù)

任意畫Rt△ABC

和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么與有什么關系？你能解釋一下嗎？ABCA'B'C'思考2：28.1.1

正弦函數(shù)因為∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.所以

這就是說，在直角三角形中，當銳角A的度數(shù)一定時，不管三角形的大小如何，∠A的對邊與斜邊的比也是一個固定值．歸納：28.1.1

正弦函數(shù)

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我們把銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA

，即例如，當∠A＝30°時，我們有當∠A＝45°時，我們有ABCcab對邊斜邊歸納：∠A的對邊斜邊sinA=28.1.1

正弦函數(shù)例1

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA

和sinB的值.ABC43圖①？ABC135圖②？典例精析28.1.1

正弦函數(shù)解：如圖①，在Rt△ABC中，由勾股定理得因此如圖②，在Rt△ABC中，由勾股定理得因此28.1.1

正弦函數(shù)例2

如圖，在平面直角坐標系內(nèi)有一點P(3，4)，連接OP，求OP與x軸正方向所夾銳角α的正弦值.解：如圖，設點A(3，0)，連接PA，則PA⊥OA.A(3，0)在Rt△APO中，由勾股定理得因此α方法總結(jié)：結(jié)合平面直角坐標系求某角的正弦函數(shù)值，一般過已知點向x軸或y軸作垂線，構造直角三角形，再結(jié)合勾股定理求解.28.1.1

正弦函數(shù)例3

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=3，求sinB及Rt△ABC的面積.ABC提示：已知sinA

及∠A的對邊BC的長度，可以求出斜邊AB的長，然后再利用勾股定理，求出AC的長度，進而求出sinB及Rt△ABC的面積.28.1.1

正弦函數(shù)解：∵∠C=90°，∴∴

AB=3BC=3×3=9.∴∴∴28.1.1

正弦函數(shù)例4

在△ABC中，∠C=90°，AC=24cm，sinA=，求這個三角形的周長．解：由sinA=，設BC=7x，則AB=25x.在Rt△ABC中，由勾股定理得即24x=24cm，解得x=1cm.故BC=7x=7cm，AB=25x=25cm.所以△ABC的周長為

BC+AC+AB=7+24+25=56(cm).28.1.1

正弦函數(shù)當堂練習1.在直角三角形ABC中，若三邊長都擴大為原來的2倍，則銳角A的正弦值將(

)A.擴大為原來的2倍B.不變

C.縮小為原來的D.無法確定B2.如圖，在△ABC中，∠B=90°，sinA的值為()7ACB3A.B.C.