正弦函數(shù)28.1.1

正弦函數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握銳角正弦的定義，知道當(dāng)直角三角形的銳角固定時(shí)，它的對(duì)邊與斜邊的比值都固定

(即正弦值不變).(重點(diǎn))2.能根據(jù)正弦概念正確進(jìn)行計(jì)算.(重點(diǎn)、難點(diǎn))28.1.1

正弦函數(shù)

為了綠化荒山，某地打算從位于山腳下的機(jī)井房沿著山坡鋪設(shè)水管，在山坡上建一座揚(yáng)水站，對(duì)坡面綠地進(jìn)行噴灌.先測(cè)得斜坡的坡角(∠A)為30°，為使出水口的高度為35m，需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的水管？30°情境引入28.1.1

正弦函數(shù)講授新課

從上述情境中，你可以找到一個(gè)什么數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？能否結(jié)合數(shù)學(xué)圖形把它描述出來(lái)？ABC30°35m28.1.1

正弦函數(shù)ABC30°35m

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°∠A=30°，BC=35m，求AB.根據(jù)“在直角三角形中，30°角所對(duì)的邊等于斜邊的一半”,即可得AB=2BC=2×35=70(m).也就是說(shuō)，需要準(zhǔn)備70m長(zhǎng)的水管.如果出水口的高度為50m，那么需要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的水管？28.1.1

正弦函數(shù)

在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么無(wú)論這個(gè)直角三角形大小如何，這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比都等于.歸納：28.1.1

正弦函數(shù)Rt△ABC中，如果∠C=90，∠A=45°，

那么BC與AB的比是一個(gè)定值嗎？解：因?yàn)椤螦=45°，∠C=90°，所以AC=BC，由勾股定理，得AB2=AC2+BC2=2BC2，思考1：所以

因此28.1.1

正弦函數(shù)

在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于45°，那么無(wú)論這個(gè)直角三角形大小如何，這個(gè)角的對(duì)邊與斜邊的比都等于.歸納：當(dāng)∠A

是任意一個(gè)確定的銳角時(shí)，它的對(duì)邊與斜邊的比是否也是一個(gè)固定值呢？28.1.1

正弦函數(shù)

任意畫(huà)Rt△ABC

和Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么與有什么關(guān)系？你能解釋一下嗎？ABCA'B'C'思考2：28.1.1

正弦函數(shù)因?yàn)椤螩＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，所以Rt△ABC∽R(shí)t△A'B'C'.所以

這就是說(shuō)，在直角三角形中，當(dāng)銳角A的度數(shù)一定時(shí)，不管三角形的大小如何，∠A的對(duì)邊與斜邊的比也是一個(gè)固定值．歸納：28.1.1

正弦函數(shù)

如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我們把銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA

，即例如，當(dāng)∠A＝30°時(shí)，我們有當(dāng)∠A＝45°時(shí)，我們有ABCcab對(duì)邊斜邊歸納：∠A的對(duì)邊斜邊sinA=28.1.1

正弦函數(shù)例1

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA

和sinB的值.ABC43圖①？ABC135圖②？典例精析28.1.1

正弦函數(shù)解：如圖①，在Rt△ABC中，由勾股定理得因此如圖②，在Rt△ABC中，由勾股定理得因此28.1.1

正弦函數(shù)例2

如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有一點(diǎn)P(3，4)，連接OP，求OP與x軸正方向所夾銳角α的正弦值.解：如圖，設(shè)點(diǎn)A(3，0)，連接PA，則PA⊥OA.A(3，0)在Rt△APO中，由勾股定理得因此α方法總結(jié)：結(jié)合平面直角坐標(biāo)系求某角的正弦函數(shù)值，一般過(guò)已知點(diǎn)向x軸或y軸作垂線，構(gòu)造直角三角形，再結(jié)合勾股定理求解.28.1.1

正弦函數(shù)例3

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=3，求sinB及Rt△ABC的面積.ABC提示：已知sinA

及∠A的對(duì)邊BC的長(zhǎng)度，可以求出斜邊AB的長(zhǎng)，然后再利用勾股定理，求出AC的長(zhǎng)度，進(jìn)而求出sinB及Rt△ABC的面積.28.1.1

正弦函數(shù)解：∵∠C=90°，∴∴

AB=3BC=3×3=9.∴∴∴28.1.1

正弦函數(shù)例4

在△ABC中，∠C=90°，AC=24cm，sinA=，求這個(gè)三角形的周長(zhǎng)．解：由sinA=，設(shè)BC=7x，則AB=25x.在Rt△ABC中，由勾股定理得即24x=24cm，解得x=1cm.故BC=7x=7cm，AB=25x=25cm.所以△ABC的周長(zhǎng)為

BC+AC+AB=7+24+25=56(cm).28.1.1

正弦函數(shù)當(dāng)堂練習(xí)1.在直角三角形ABC中，若三邊長(zhǎng)都擴(kuò)大為原來(lái)的2倍，則銳角A的正弦值將(

)A.擴(kuò)大為原來(lái)的2倍B.不變

C.縮小為原來(lái)的D.無(wú)法確定B2.如圖，在△ABC中，∠B=90°，sinA的值為()7ACB3A.B.C.