2023-2023學(xué)年山西省高二下學(xué)期期中考試?yán)砜茢?shù)學(xué)一、選擇題：共12題1．已知復(fù)數(shù)，若是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)等于A.B.C.D.【答案】B【解析】本題主要考查純虛數(shù).由題意可得,則a=1.2．用三段論推理：“任何實(shí)數(shù)的平方大于，因?yàn)槭菍?shí)數(shù)，所以”，你認(rèn)為這個(gè)推理A.大前提錯(cuò)誤B.小前提錯(cuò)誤C.推理形式錯(cuò)誤D.是正確的【答案】A【解析】本題主要考查三段論,考查了邏輯推理能力.三段論形式正確,但是,大前提錯(cuò)誤,因?yàn)槿魏螌?shí)數(shù)的平方大于3．函數(shù)在區(qū)間上的最小值為A.B.C.D.【答案】D【解析】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的性質(zhì),考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的方法.,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以x=1是函數(shù)的極小值點(diǎn),也是函數(shù)的最小值點(diǎn),則x=1時(shí),函數(shù)取得最小值為04．曲線與直線圍成的封閉圖形的面積是A.B.C.D.【答案】D【解析】本題主要考查定積分,考查了曲多邊形面積的求法.曲線與直線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為(,),(,),則封閉圖形的面積為5．用反證法證明命題：“已知、是自然數(shù)，若，則、中至少有一個(gè)不小于2”提出的假設(shè)應(yīng)該是A.、至少有兩個(gè)不小于2B.、至少有一個(gè)不小于2C.、都小于2D.、至少有一個(gè)小于2【答案】C【解析】本題主要考查反證法,考查了反證法的基本證明方法與過程.根據(jù)對(duì)立事件的思想考慮可得,假設(shè)應(yīng)該是:、都小于2.【備注】反證法的結(jié)論與假設(shè)可看作是兩個(gè)對(duì)立事件6．若函數(shù)有極值，則的取值范圍是A.B.C.D.【答案】D【解析】本題主要考查導(dǎo)數(shù),函數(shù)的性質(zhì)與極值,考查了轉(zhuǎn)化思想與邏輯推理能力.,因?yàn)楹瘮?shù)有極值，令,且,所以由二次函數(shù)的性質(zhì)可得,求解可得7．二維空間中圓的一維測(cè)度(周長(zhǎng))，二維測(cè)度(面積)，觀察發(fā)現(xiàn)；三維空間球的二維測(cè)度(表面積)，三維測(cè)度(體積)，觀察發(fā)現(xiàn).則由四維空間中“超球”的三維測(cè)度，猜想其四維測(cè)度A.B.C.D.【答案】B【解析】本題主要考查類比推理,考查了邏輯推理能力.由題意可知,四維測(cè)度的導(dǎo)數(shù),則8．已知函數(shù)=，若存在使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A.B.(C.D.【答案】C【解析】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的性質(zhì),考查了轉(zhuǎn)化思想與邏輯推理能力.令,則存在使得,即,令,則,則函數(shù)在上是增函數(shù),所以函數(shù)的最大值是,則.9．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式則與相比,不等式左邊增加的項(xiàng)數(shù)是A.B.C.D.【答案】D【解析】本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法,考查了邏輯推理能力.因?yàn)楫?dāng)時(shí),左邊為,共有項(xiàng);當(dāng)時(shí),左邊為,共有項(xiàng),因此增加的項(xiàng)數(shù)為,故答案為D.10．設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的最大值為3，則的圖象的一條對(duì)稱軸的方程是A.B.C.D.【答案】A【解析】本題主要考查導(dǎo)數(shù),三角函數(shù)的圖象與性質(zhì),考查了邏輯推理能力與計(jì)算能力.,因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的最大值為3,所以=3,則,令,則,令k=0可得,故答案為A.11．把語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)這五門課程安排在一天的五節(jié)課中，如果數(shù)學(xué)必須比語文先上，則不同的排法有多少種A.24B.60C.72D.120【答案】B【解析】本題主要考查排列與組合,考查了分析問題與解決問題的能力.由題意,先從五節(jié)課中任選兩節(jié)排數(shù)學(xué)與語文,剩余的三節(jié)任意排列,則有種不的排法.12．已知函數(shù)=，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，若是的導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是A.B.C.D.【答案】A【解析】本題主要考查導(dǎo)數(shù),函數(shù)的性質(zhì)與零點(diǎn),考查了轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想,邏輯推理能力.由可得,則=,=,令=,則,因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)的圖象在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn),如圖所示,當(dāng),即時(shí),兩個(gè)函數(shù)的圖象最多只有1個(gè)交點(diǎn),不符合題意;當(dāng),即,故答案為A.二、填空題：共4題13．設(shè)復(fù)數(shù)滿足,則__________.【答案】【解析】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算與共軛復(fù)數(shù).因?yàn)?所以,則.14．有三個(gè)不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，則不同的投法有________種.【答案】81【解析】本題主要考查分步乘法計(jì)數(shù)原理,考查邏輯推理能力.因?yàn)槊恳环庑啪?種投法,所以不的投法有15．已知為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則曲線在點(diǎn)(1,-3)處的切線方程是_______________.【答案】【解析】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與性質(zhì)的幾何意義,函數(shù)的解析式與性質(zhì),考查了邏輯推理能力與計(jì)算能力.由題意,當(dāng)時(shí)，則，,則,所以曲線在點(diǎn)(1,-3)處的切線的斜率,則切線方程為16．設(shè)函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且有，則不等式的解集為__________.【答案】【解析】本題主要考查函數(shù)的構(gòu)造,導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的性質(zhì),考查了邏輯推理能力.令,在上,由，則有，故函數(shù)在上是減函數(shù),則由不等式可得,即,即不等式的解集為三、解答題：共4題17．某化工廠擬建一個(gè)下部為圓柱，上部為半球的容器(如圖圓柱高為，半徑為，不計(jì)厚度，單位：米)，按計(jì)劃容積為立方米，且，假設(shè)建造費(fèi)用僅與表面積有關(guān)(圓柱底部不計(jì))，已知圓柱部分每平方米的費(fèi)用為2千元，半球部分每平方米的費(fèi)用為4千元，設(shè)該容器的建造費(fèi)用為千元.(1)求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，并求其定義域；(2)求建造費(fèi)用最小時(shí)的.【答案】(1)由容積為立方米，得,解得.又圓柱的側(cè)面積為，半球的表面積為，所以建造費(fèi)用，定義域?yàn)?(2)，又，所以，所以建造費(fèi)用在定義域上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)建造費(fèi)用最小.【解析】本題主要考查導(dǎo)數(shù),函數(shù)的解析式與性質(zhì),考查了分析問題與解決問題的能力.(1)由容積為立方米，得,求出r的取值范圍,再根據(jù)圓柱與球的表面各積公式,易得，定義域?yàn)?(2)求導(dǎo)并判斷函數(shù)的單調(diào)性,則結(jié)論易得.18．已知=,其中.(1)若在處取得極值，求實(shí)數(shù)的值.(2)若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)由可得；經(jīng)檢驗(yàn)，滿足題意.(2)函數(shù)在單調(diào)遞增.在上恒成立.即在上恒成立.即=，.檢驗(yàn)，時(shí)，=，僅在處取得.所以滿足題意..【解析】本題主要考查導(dǎo)數(shù),函數(shù)的性質(zhì)與極點(diǎn),三角函數(shù)的性質(zhì)考查了恒成立問題,邏輯推理能力與計(jì)算能力.(1),由,求出a的值,再驗(yàn)證結(jié)論即可;(2)由題意可得在上恒成立,即,利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出在上的最小值即可.19．已知是定義在上的函數(shù)，=，且曲線在處的切線與直線平行.(1)求的值.(2)若函數(shù)在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)因?yàn)榍€在處的切線與直線平行，所以，所以.(2)由得令得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在，單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.又若函數(shù)在區(qū)間上有三個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)在上的圖象與有三個(gè)公共點(diǎn).結(jié)合函數(shù)在區(qū)間上大致圖象可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【解析】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)數(shù)的幾何意義,函數(shù)的性質(zhì),極值與零點(diǎn),考查了數(shù)形結(jié)合思想與邏輯推理能力.(1)求導(dǎo),由易得可得,求解可得結(jié)果;(2),判斷函數(shù)的單調(diào)性,并求出函數(shù)的極值與區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值,結(jié)合函數(shù)的大致圖象,則易得結(jié)論.20．設(shè)函數(shù),其中.(1)討論的單調(diào)性；(2)若在區(qū)間內(nèi)恒成立，求的取值范圍.【答案】(1)①當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞減.②當(dāng)時(shí)，=當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.(2)原不等式等價(jià)于在上恒成立.一方面，令=，只需在上恒大于0即可.又∵，故在處必大于等于0.令，，可得.另一方面，當(dāng)時(shí)，∵故，又，故在時(shí)恒大于0.∴當(dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增.∴，故也在