§2.1相平面的基本概念§2.2奇點與極限環(huán)§2.3相平面分析第2章相平面法1§2.1相平面的基本概念

相平面法由龐加萊1885年首先提出。該方法通過圖解法將一階和二階系統(tǒng)的運動過程轉化為位置和速度平面上的相軌跡，從而比較直觀、準確地反映系統(tǒng)的穩(wěn)定性、平衡狀態(tài)和穩(wěn)態(tài)精度以及初始條件及參數(shù)對系統(tǒng)運動的影響。

2相平面法概述

相平面法是一種求解一、二階常微分方程的圖解法,即二維狀態(tài)空間法。這種方法的實質是將系統(tǒng)的運動過程形象地轉化為相平面上一個點的移動,通過研究這個點移動的軌跡,就能獲得系統(tǒng)運動規(guī)律的全部信息.3相平面法的基本概念式中,是的線性或非線性函數(shù).設二階系統(tǒng)的常微分方程如下：

由微分方程的理論可知，只要

是解析的，那么在給定的初始條件下，方程的解是唯一的。這個唯一的解可以寫成時間解的形式——x(t),也可以寫成以t為參變量的形式，用來表示。tx(t)x4相軌跡1.相軌跡：如果我們取x和作為平面的直角坐標，則系統(tǒng)在每一時刻的均相應于平面上的一點。當t變化時，這一點在

平面上將繪出一條相應的軌跡-----相軌跡。它描述系統(tǒng)的運動過程。5相軌跡二階系統(tǒng)微分方程：兩個獨立變量： 位置量 速度量 構成相平面 為相變量。給定初始條件相變量 在相平面上的運動坐標軌跡稱為相軌跡。

6相平面2.相平面:

平面稱為相平面。對于一個系統(tǒng)，初始條件不同時，其方程的解也不同。因而針對不同的初始條件，可以繪出不同的相軌跡。若以各種可能的狀態(tài)作為初始條件，則可得到一組相軌跡族。7相平面圖3.相平面圖：相平面及其上的相軌跡族組成的圖形稱為系統(tǒng)的相平面圖。它表示系統(tǒng)在各種初始條件下的運動過程。8相軌跡的斜率方程設二階系統(tǒng)的方程為：改寫為：兩邊除以可得：----相軌跡的斜率方程9等傾線等傾線：在相平面中，相軌跡斜率相等的點的連線,即等傾線應滿足方程：由前述可知，相軌跡的斜率方程為：

則等傾線方程為：10等傾線可見，等傾線為過原點、斜率為的直線。11等傾線注意：兩等傾線之間用其平均值來表示相軌跡。若給定系統(tǒng)參數(shù)：=0.5,=1.取不同的值，求得等傾線如右圖所示：若給定初始條件為A,則可作出相軌跡為ABCDE.....等傾線和相軌跡=-1.4=-1.6=-2=-3=1=2ABCDEx0=-1=∞=0則等傾線為：12所有通過等傾線的相軌跡都有相同的斜率13普通點

這樣的點稱為普通點。通過普通點的相軌跡只有一條。（即相軌跡曲線不會在普通點相交）

由相軌跡的斜率方程可知,相平面上的點只要不同時滿足,則該點相軌跡的斜率是唯一確定的。

14奇點

若相平面中的某點，同時滿足,則該點相軌跡的斜率,為不定值，這類特殊點稱為奇點。通過奇點的相軌跡不止一條，它是相軌跡曲線的交點。二階線性系統(tǒng)：奇點是唯一的，位于原點。二階非線性系統(tǒng)：奇點可能不止一個。15相平面分析方法

由于相平面圖表示了系統(tǒng)在各種初始條件下的運動過程，因而，只要繪出了系統(tǒng)的相平面圖，就可以用它來分析：3）穩(wěn)態(tài)誤差。1）系統(tǒng)的穩(wěn)定性；2）瞬態(tài)響應性能；16例題例2-1.設系統(tǒng)的微分方程為：

圖中的箭頭表示系統(tǒng)的狀態(tài)沿相軌跡的移動方向。

其相平面圖如右圖所示相平面圖1x0pDABCE17例題

（1）在各種初始條件下（任意一條相軌跡），系統(tǒng)都趨向原點（0,0）,說明原點是系統(tǒng)的平衡點，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。由圖可知：

可將其狀態(tài)轉化為轉化為時間響應曲線x(t)來驗證如圖所示

（2）如果初始條件為：x(0)=1，。則相應的相軌跡為ABCDE0。系統(tǒng)的瞬態(tài)響應為阻尼振蕩形式，最大超調量為p，穩(wěn)態(tài)誤差為零。10x(t)tABCDE時間響應曲線18§2.2奇點與極限環(huán)由前述可知，奇點是相平面中斜率不確定的點，即有多條相軌跡以不同的斜率通過或逼近該點。

所以奇點是平衡點。奇點及臨近的相軌跡反映了系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。一、奇點19奇點鄰域的運動性質奇點鄰域的運動性質由于在奇點上，相軌跡的斜率不定，所以可以引出無窮條相軌跡。相軌跡在奇點鄰域的運動可以分為1.趨向于奇點2.遠離奇點3.包圍奇點

20非線性系統(tǒng)奇點非線性系統(tǒng)的方程相平面上孤立奇點的位置可以從下列方程21非線性系統(tǒng)奇點在原點處，展成臺勞級數(shù)22非線性系統(tǒng)奇點用矩陣表示其中23非線性系統(tǒng)奇點采用變換[b]為[a]的復模態(tài)矩陣，得到24結點如果特征值1和2為兩個不同的實根且同號，對應于此種情況的奇點稱為結點。穩(wěn)定結點25鞍點如果特征值1和2為兩個不同的實根且異號，對應于此種情況的奇點稱為鞍點。26焦點如果特征值1和2為共軛復數(shù)，對應于此種情況的奇點稱為焦點。穩(wěn)定焦點27中心如果特征值1和2為共軛虛數(shù)，對應于此種情況的奇點稱為中心。中心28極限環(huán)相平面內的封閉軌線是對系統(tǒng)周期運動的定性描述。穩(wěn)定的中心周圍密集的封閉軌線對應于單自由度保守系統(tǒng)的自由振動，振幅取決于初始條件。孤立的封閉軌線稱作極限環(huán)，振幅取決于系統(tǒng)參數(shù)。極限環(huán)穩(wěn)定性的幾何解釋29穩(wěn)定極限環(huán)特點:極限環(huán)內外的相軌跡都卷向極限環(huán),自振蕩是穩(wěn)定的.環(huán)內:不穩(wěn)定區(qū)域,相軌跡發(fā)散環(huán)外:穩(wěn)定區(qū)域,相軌跡收斂穩(wěn)定極限環(huán)0x(t)t030不穩(wěn)定極限環(huán)特點:極限環(huán)內外的相軌跡都卷離極限環(huán)環(huán)內:穩(wěn)定區(qū)域,相軌跡收斂環(huán)外:不穩(wěn)定區(qū)域,相軌跡發(fā)散這種系統(tǒng)是小范圍穩(wěn)定,大范圍不穩(wěn)定.設計時應盡量增大穩(wěn)定區(qū)域(即增大極限環(huán)).不穩(wěn)定極限環(huán)x(t)t0031半穩(wěn)定的極限環(huán)環(huán)內,環(huán)外都不穩(wěn)定.

具有這種極限環(huán)的系統(tǒng)是不會產生自振蕩的,系統(tǒng)的狀態(tài)最終是發(fā)散的。a)半穩(wěn)定的極限環(huán)0x(t)t032半穩(wěn)定的極限環(huán)

環(huán)內,環(huán)外都是穩(wěn)定的.具有這種極限環(huán)的系統(tǒng)也不會產生自振蕩的,系統(tǒng)的狀態(tài)最終是趨向于環(huán)內的穩(wěn)定奇點。.b)半穩(wěn)定的極限環(huán)0x(t)t033§2.3相平面分析

對于非線性系統(tǒng)來說，相平面分析法的步驟為：（1）寫出一階微分方程；（2）求出奇點位置；（3）畫出相軌跡。34單擺例題例2-2無阻尼單擺的自由振蕩擺錘質量為m的單擺的運動方程為(1)35單擺例題令得(2)36單擺例題當很小時，平衡點兩個：（0，0）和（，0）1.在（0，0）處37單擺例題特征值為共軛虛根，奇點為中心38單擺例題2.在（，0）處39單擺例題特征值為實數(shù)且符號相反，奇點為鞍點40單擺例題由式(2)中的兩式相除．并消去t，則可得：再將式(5)改寫為(3)積分上式，可得：(4)(5)41單擺例題式中h是一個積分常數(shù)，它正比于系統(tǒng)的總能量，可由初始條件來確定其值。(6)42自激振動例題例2-3范得波（VanderPol）方程范得波方程存在著和起始條件無關的定常解，稱為自激振動系統(tǒng)。43自激振動例題將它化為兩個一階方程上面兩式相除，則得相跡的微分方程為它有唯一的奇點(0，0)。44自激振動例題其一次近似系統(tǒng)顯然有45自激振動例題其特征值為當ε＞2時,平衡點(0，0)為不穩(wěn)定結點。46自激振動例題當ε<2時,平衡點(0，0)為不穩(wěn)定焦點。當ε=2時,平衡點(0，0)為不穩(wěn)定退化結點。由此可知，不論ε為何值；平衡點(0，0)都是不穩(wěn)定的，且相跡均以平衡點為漸近點，而相點沿相跡的運動總是背離平衡點的。47