wwl@國家精品課程自動控制原理PrinciplesofAutomaticControl主講人：

王萬良導(dǎo)讀為什么要介紹本章?被控對象的種類越來越多，線性模型已不能滿足要求。例如控制系統(tǒng)中常出現(xiàn)穩(wěn)定的自激振蕩，這是線性模型中不存在的。又如控制系統(tǒng)中大量采用繼電控制，但線性系統(tǒng)理論不能分析這類系統(tǒng)。要建立一個能解決非線性系統(tǒng)全部問題的方法是不可能的。目前許多方法是以線性化方法為基礎(chǔ)，加以修補使之適應(yīng)解決非線性問題的需要，例如描述函數(shù)法。本章主要講什么內(nèi)容?首先介紹非線性系統(tǒng)的特性，然后介紹描述函數(shù)法，著重分析自激振蕩。最后介紹適合于二階非線性系統(tǒng)的相平面法。第8章非線性控制系統(tǒng)分析第8章非線性控制系統(tǒng)分析8.1典型非線性特性8.2描述函數(shù)法8.3相平面法8.4MATLAB在非線性系統(tǒng)分析中的應(yīng)用8.1典型非線性特性弱非線性系統(tǒng)（光滑、連續(xù)的非線性系統(tǒng)）（泰勒級數(shù)展開法，非線性系統(tǒng)的線性化）強(qiáng)非線性系統(tǒng)(本質(zhì)非線性)（描述函數(shù)法，相平面法，計算機(jī)仿真）非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)的區(qū)別（1）

線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，或者只取決于系統(tǒng)特征方程根的分布，而和初始條件、外加作用沒有關(guān)系。對于非線性系統(tǒng)，不存在系統(tǒng)是否穩(wěn)定的籠統(tǒng)概念。必須具體討論某一運動的穩(wěn)定性問題。非線性系統(tǒng)運動的穩(wěn)定性，除了和系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式及參數(shù)大小有關(guān)以外，還和初始條件有密切的關(guān)系。非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)的區(qū)別（2）線性系統(tǒng)自由運動的形式與系統(tǒng)的初始偏移無關(guān)。非線性系統(tǒng)自由運動的時間響應(yīng)曲線可以隨著初始偏移不同而有多種不同的形式。非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)的區(qū)別（3）線性系統(tǒng)在沒有外作用時，周期運動只發(fā)生在臨界情況，而這一周期運動在物理上不可能實現(xiàn)的。非線性系統(tǒng)，在沒有外作用時，系統(tǒng)中完全有可能發(fā)生一定頻率和振幅的穩(wěn)定的周期運動，這個周期運動在物理上是可以實現(xiàn)的，通常把它稱為自激振蕩。非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)的區(qū)別（4）線性系統(tǒng)中，當(dāng)輸入量是正弦信號時，輸出穩(wěn)態(tài)分量也是同頻率的正弦函數(shù)，可以引入頻率特性的概念并用它來表示系統(tǒng)固有的動態(tài)特性。非線性系統(tǒng)在正弦作用下的輸出比較復(fù)雜。非線性系統(tǒng)與線性系統(tǒng)的區(qū)別（5）在線性系統(tǒng)中，一般可采用傳遞函數(shù)、頻率特性、脈沖響應(yīng)函數(shù)等概念。工程實際中對于存在線性工作區(qū)域的非線性系統(tǒng)，或者非線性不嚴(yán)重(光滑、連續(xù)）的準(zhǔn)線性系統(tǒng)，常常采用線性化的方法進(jìn)行處理，然后在線性分析的基礎(chǔ)上加以修正。對于包括像繼電特性那樣根本不存在線性區(qū)的本質(zhì)非線性特性，工程上常用相平面方法和描述函數(shù)方法進(jìn)行研究。8.1典型非線性特性8.1.1飽和特性具有飽和特性的裝置：放大器的輸出飽和或輸出限幅具有行程限制及功率限制的液壓調(diào)節(jié)閥伺服電機(jī)在大控制電壓下運行的轉(zhuǎn)速特性流通孔徑限制8.1.2死區(qū)特性具有死區(qū)特性的裝置：（１）測速發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)速很低時，輸出電壓幾乎為0；（２）伺服電機(jī)的死區(qū)電壓（啟動電壓）；（３）各種電路中的門檻值（閾值）；（４）電氣觸頭間隙；（５）彈簧的預(yù)張力；（6）氣動或液壓滑閥的搭接段。放大器的輸出飽和或輸出限幅8.1.3間隙特性具有間隙特性的實際系統(tǒng)：（１）齒輪轉(zhuǎn)動系；（２）磁化特性；（３）液壓傳動中的油隙特性。8.1.4繼電器特性8.1.4繼電器特性8.2描述函數(shù)法8.2.1描述函數(shù)法的基本思想與條件8.2.2描述函數(shù)8.2.3典型非線性特性的描述函數(shù)8.2.4用描述函數(shù)分析非線性系統(tǒng)的自激振蕩1.基本思想描述函數(shù)法的基本思想是用非線性元件的輸出信號中的基波分量，代替非線性元件在正弦輸入作用下的實際輸出。所以這種方法又稱為一次諧波法。8.2.1描述函數(shù)法的基本思想與條件2.基本條件非線性特性是斜對稱的，這樣輸出中的常值分量為零；線性部分具有較好的低通濾波特性，以衰減高次諧波；非線性特性不是時間函數(shù)。因為描述函數(shù)法本質(zhì)上是頻率法的推廣，而頻率法對時變系統(tǒng)不適用；系統(tǒng)中的非線性特性能簡化為一個非線性環(huán)節(jié)。8.2.1描述函數(shù)法的基本思想與條件8.2.2描述函數(shù)

1.描述函數(shù)的定義非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)總是輸入信號幅值A(chǔ)的函數(shù)，一般也是頻率的函數(shù)，因此，描述函數(shù)一般記為非線性元件的描述函數(shù)或等效幅相頻率特性與輸入的正弦振蕩的振幅A有關(guān)，這是非線性特性本質(zhì)的反映。它與線性環(huán)節(jié)的情況正好相反，線性環(huán)節(jié)的幅相特性（頻率特性）與正弦輸入的幅值無關(guān)。8.2.2描述函數(shù)

1）繪制輸入—輸出波形圖，寫出輸入為時非線性輸出表達(dá)式的對稱性，并計算2.描述函數(shù)的求取

2）由波形圖分析3）描述函數(shù)為8.2.2描述函數(shù)

例非線性元件的靜特性方程為

X(t)是單值奇函數(shù)，所以A1=0

8.2.2描述函數(shù)

8.2.3典型非線性特性得描述函數(shù)1.飽和特性的描述函數(shù)X(t)是單值奇函數(shù)，所以A1=0

X(t)X(t)e(t)負(fù)倒特性單值奇函數(shù)，具有半周期的對稱性2.死區(qū)特性的描述函數(shù)X(t)X(t)e(t)3.間隙特性的描述函數(shù)X(t)X(t)e(t)4.繼電器特性的描述函數(shù)e(t)X(t)X(t)8.2.4用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)的自激振蕩

8.2.4用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)的自激振蕩

奈氏圖上的穩(wěn)定性分析當(dāng)系統(tǒng)處于某一狀態(tài)時，對應(yīng)的負(fù)倒特性曲線上的一點就是臨界點。這樣，線性系統(tǒng)理論中的奈氏穩(wěn)定判據(jù)，可用于分析非線性系統(tǒng)處于這個狀態(tài)時的穩(wěn)定性。8.2.4用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)的自激振蕩

奈氏圖上的穩(wěn)定性分析穩(wěn)定（最小相位系統(tǒng)）不穩(wěn)定（最小相位系統(tǒng)）8.2.4用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)的自激振蕩

自激振蕩穩(wěn)定性分析什么是自激振蕩的穩(wěn)定性？如何判別自激振蕩的穩(wěn)定性？當(dāng)負(fù)倒特性軌跡從不穩(wěn)定區(qū)進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)時，交點處的自激振蕩是穩(wěn)定的自激振蕩。當(dāng)負(fù)倒特性軌跡從穩(wěn)定區(qū)進(jìn)入不穩(wěn)定區(qū)時，交點處的自激振蕩是不穩(wěn)定的自激振蕩。自激振蕩8.2.4用描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)的自激振蕩

自激振蕩振幅和頻率的確定自激振蕩的幅值和頻率分別為交點處負(fù)倒特性軌跡上的A值，和線性部分奈氏軌跡上對應(yīng)的頻率值。例8.2分析非線性系統(tǒng)自激振蕩的情況解得奈氏曲線與實軸交點處的頻率：奈氏曲線與實軸交點坐標(biāo)：理想繼電特性的負(fù)倒特性為負(fù)倒特性曲線為整個負(fù)實軸，如圖8.24所示，與奈氏曲線存在交點，系統(tǒng)存在自激振蕩。由于負(fù)倒特性是從不穩(wěn)定區(qū)進(jìn)入穩(wěn)定區(qū)，所以，交點處是穩(wěn)定的自激振蕩。自激振蕩的頻率為幅值為例分析非線性系統(tǒng)自激振蕩的情況8.3相平面法8.3.1相平面對于ｎ階系統(tǒng)的狀態(tài)，可以用一個ｎ維狀態(tài)向量描述，可以構(gòu)成一個ｎ維空間，稱為狀態(tài)空間，也稱為相空間。各狀態(tài)隨時間ｔ變化在狀態(tài)空間中形成的軌跡，稱為相軌跡。

對于二階微分方程描述的系統(tǒng)，相空間是二維的，在某些情況下，是一個平面，稱為相平面。相軌跡表示了系統(tǒng)的動態(tài)特性。這種用相軌跡幾何圖形表示系統(tǒng)動態(tài)過程的方法，稱為相平面法。相平面法的適用范圍：相平面法是一種精確的方法，但它受到下列幾點限制：（1）僅適用于一階、二階系統(tǒng)。（2）只適用于定常系統(tǒng)，不適用于時變系統(tǒng)。（3）一般用于研究系統(tǒng)輸入為零時的動態(tài)過程。當(dāng)有輸入時，輸入信號的形式受到初態(tài)的限制，只允許像階躍、速度、加速度等能像常數(shù)被狀態(tài)隱含的輸入信號，而不允許像正弦一類的輸入。相平面法研究的是下列線性或非線性二階系統(tǒng)：相平面的選擇當(dāng)研究系統(tǒng)的過渡過程特性時，常常選擇系統(tǒng)輸出變量及其導(dǎo)數(shù)作為狀態(tài)變量；當(dāng)研究系統(tǒng)的誤差特性時，常常選擇系統(tǒng)誤差信號及其導(dǎo)數(shù)作為狀態(tài)變量；當(dāng)系統(tǒng)存在速度輸入時，一般選擇系統(tǒng)的誤差信號及其導(dǎo)數(shù)作為變量相平面的性質(zhì)（1）相平面圖的對稱性相軌跡的對稱性可以從對稱點上相軌跡的斜率來判斷。若對稱于x軸，則和點上相軌跡的斜率大小相等，符號相反即相軌跡對稱于x軸的條件是必須是的偶函數(shù)。相軌跡對稱于軸的條件是必須是的奇函數(shù)。若相軌跡對稱于軸，則和點上相軌跡的斜率大小相等，符號相反相軌跡對稱于原點的條件若相軌跡對稱于原點，則和點上相軌跡的斜率大小相等，符號相同（2）相軌跡與X軸正交相軌跡在與x軸的相交點處的斜率為（３）系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡運動的方向在相平面的上半平面，系統(tǒng)的狀態(tài)是沿相軌跡向右運動。在相平面的下半平面，系統(tǒng)的狀態(tài)是沿相軌跡向左運動。（４）相平面圖中的普通點和奇點在普通點相軌跡是唯一的，而在奇點相軌跡是不唯一的。相軌跡的斜率為相平面中不同時滿足，，稱為普通點。相平面中同時滿足，，稱為奇點。8.3.2相軌跡的繪制方法繪制相平面圖可以用解析法和計算機(jī)仿真方法。１.解析法方法1：求出和對的函數(shù)關(guān)系，然后從這兩個方程中消去，從而得到相軌跡方程。

例8.4具有理想繼電特性的非線性系統(tǒng)如圖所示，試在平面上繪制相軌跡。解從方框圖得到則從上面兩式中消去t方法2：利用關(guān)系式將二階微分方程變成一階微分方程，然后直接對該一階微分方程進(jìn)行積分，便可得到相應(yīng)的相軌跡。例8.4兩種方法所得結(jié)果相同。2定性控制法（１）相對原點、坐標(biāo)軸的對稱性；（２）水平等傾線；（３）鉛垂等傾線；（４）不變直線，即直線形的相軌跡；（５）奇點類型；（６）極限環(huán)；（７）某區(qū)域中的斜率符號。例8.5繪制相軌跡相軌跡微分方程為它的相軌跡具有下列特征：（１）相軌跡關(guān)于原點對稱。（２）水平等傾線（３）鉛垂等傾線y=0（４）不變直線相軌跡y=kx（５）等傾線方程為8.3.3奇點相平面分析法的一個重要方面：根據(jù)系統(tǒng)相軌跡的一些特征可以分析系統(tǒng)的運動特性。相軌跡的兩類重要特征——奇點和極限環(huán)。１.奇點的概念使與同時成立的點為奇點。奇點是相軌跡的交點。奇點的物理意義：平衡點

奇點的求解：為了確定奇點的性質(zhì)及其附近的運動特性，將Ｐ、Ｑ在奇點附近展開成泰勒級數(shù)。線性化２二階線性系統(tǒng)的相軌跡及奇點考察二階線性微分方程：若則有唯一奇點（0，0）消去狀態(tài)變量特征方程各種特征根分布及相應(yīng)的相軌跡圖。各種特征根分布及相應(yīng)的相軌跡圖。３.二階非線性系統(tǒng)奇點的性質(zhì)龐加萊(Poincare)定理若一次近似方程的奇點屬于節(jié)點、焦點和鞍點，則非線性方程的奇點也屬于同一類型。例8.6確定下列非線性方程的奇點類型。得方程的唯一奇點（０，０）。一次線性近似方程為特征根為是一次近似方程的穩(wěn)定焦點，也是非線性方程的穩(wěn)定焦點。對非線性系統(tǒng)，奇點的相圖僅在奇點附近小領(lǐng)域內(nèi)才能表示非線性系統(tǒng)的相圖，而且離奇點愈遠(yuǎn)，畸變愈大。線性系統(tǒng)的奇點的類型完全確定了系統(tǒng)整個相平面上的運動狀態(tài)。非線性系統(tǒng)的奇點的類型不能確定系統(tǒng)在整個相平面上的運動狀態(tài)，只能確定奇點（平衡點）附近的運動特征。極限環(huán)描述了離開奇點較遠(yuǎn)處的相平面圖的特征。非線性系統(tǒng)奇點和線性奇點的比較：8.3.4極限環(huán)自激振蕩是非線性系統(tǒng)中的一個很重要的現(xiàn)象，在前面曾用描述函數(shù)法加以研究。自激振蕩反映在相平面圖上，是相軌跡纏繞成的一個環(huán)，稱為極限環(huán)。

用解析方法確定一個簡單非線性系統(tǒng)的極限環(huán)。例8.7一非線性系統(tǒng)方程為引用極坐標(biāo)從幾何圖形來分析上面的結(jié)果。若c=0，則解為r=1，。它以順時針方向描出圓：若c<0，則顯然r>1，且當(dāng)時，若c>0，則顯然r<1，且當(dāng)時，仍有這說明，存在一個單獨的閉合路徑（r=1），隨著所有其它相軌跡都以螺旋線的方式從內(nèi)部或從外部趨近于它，這樣的閉合路徑就是一個極限環(huán)，如圖8.34。圖8.35極限環(huán)及相應(yīng)的時間響應(yīng)各種類型的極限環(huán)及相應(yīng)的系統(tǒng)時間特性。8.3.5非線性系統(tǒng)相平面分區(qū)線性化方法用相平面法分析非線性系統(tǒng)的關(guān)鍵是繪制相軌跡。如果非線性特性可以分段用線性微分方程描述，那么，可以把相平面劃分為幾個區(qū)域，在各個區(qū)域中的相軌跡就對應(yīng)于各段的線性微分方程。根據(jù)該微分方程的奇點的性質(zhì)，則可以繪制該區(qū)域的相軌跡，然后將各區(qū)域的相軌跡自然聯(lián)接，便得到整個系統(tǒng)的相軌跡。如果非線性特性不能用分段線性方程描述，也需首先求出奇點，然后繪制各奇點附近的相軌跡。在能用分段線性方程描述的非線性特性的相軌跡的繪制方法中，一個關(guān)鍵的概念是所謂的“實奇點”、“虛奇點”。線性二階微分方程有一個奇點，但對該微分方程所限制的區(qū)域而言，該奇點可能落在所限制的區(qū)域內(nèi)，也可能落在所限制的區(qū)域以外。如果它的奇點落在該方程適用區(qū)域之內(nèi)，則適用區(qū)域內(nèi)的相軌跡可以匯集于該奇點，這樣的奇點稱為實奇點。如果奇點落在該方程適用區(qū)域之外，則適用區(qū)域內(nèi)的相軌跡事實上不可能匯集于該奇點，所以稱之為虛奇點?！皩嵠纥c”、“虛奇點”的概念:例8.8用相平面法分析圖8.38所示具有飽和特性的非線性系統(tǒng)。描述系統(tǒng)的微分方程為輸入為階躍信號下面分別討論各個區(qū)的相軌跡的特征。當(dāng)時，奇點（0，0）是穩(wěn)定焦點；當(dāng)時，奇點（0，0）是穩(wěn)定節(jié)點。因為該方程的奇點（0，0）是在該方程適用區(qū)域之內(nèi)，所以是實奇點?？梢钥闯雠c不可能同時為零，所以該方程不存在奇點相軌跡存在一條水平漸近線由于綜上分析可以得到系統(tǒng)整個相平面圖特征，如圖8.39所示。從相軌跡圖看出，在階躍信號作用下，不管初始狀態(tài)如何，相軌跡總收斂到原點，因此，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，而且穩(wěn)態(tài)誤差為０。8.4MATLAB在非線性系統(tǒng)分析中的應(yīng)用鍵入“Simulink”，會彈出一個Untitled窗口。復(fù)制模塊。模塊之間的連接。選擇與刪除對象。點擊Simulation菜單中Start，就開始仿真。雙擊Scope模塊就打