§2.1數(shù)列的極限

(一)數(shù)列就稱為一個(gè)數(shù)列,記作,其中每一個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的一個(gè)項(xiàng),第一項(xiàng)稱為首項(xiàng),第項(xiàng)稱為通項(xiàng)(或一般項(xiàng))

1.

定義:無(wú)窮多個(gè)按照某種規(guī)律排列起來(lái)的一列數(shù)如:(1)(2)(3)(4)

2.關(guān)于數(shù)列概念應(yīng)注意以下幾點(diǎn):例如數(shù)列實(shí)際上就是函數(shù)的函數(shù)值.(2)數(shù)列一般有三種表示方式:①一般形式.如②函數(shù)形式.如數(shù)列③簡(jiǎn)化形式.如數(shù)列

(1)數(shù)列實(shí)際上是定義在自然數(shù)集合上的函數(shù),將其函數(shù)值按自然數(shù)依次增大的順序排列起來(lái)所得到的.因此數(shù)列也常常記作或(二)數(shù)列的極限讓我們一起先觀看一段演示演示演示結(jié)束隨著圓內(nèi)接正多邊形邊數(shù)的不斷增加,其圓內(nèi)接正多邊形的面積愈來(lái)愈趨向于圓的面積,即數(shù)列以圓面積為極限結(jié)論

先看數(shù)列變化趨勢(shì)演示

12345678

注意小球的變化為了進(jìn)一步了解數(shù)列的極限,下面我們?cè)儆^察幾個(gè)數(shù)列隨著的不斷增大,它能否趨向于一個(gè)常數(shù).演示(二)數(shù)列的極限

數(shù)列的極限就是數(shù)列的變化趨勢(shì),為此,先觀察幾個(gè)數(shù)列隨著的不斷增大,它能否趨向于一個(gè)常數(shù).先看數(shù)列變化趨勢(shì)演示

12345678

注意小球的變化正在演示

12345678

從以上演示可見:小紅球隨著的不斷增大,越來(lái)越靠近橫軸,因此數(shù)列趨向于零.演示結(jié)束

12345678再觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)注意小球的變化演示

12345678再觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)正在演示

注意小球的變化

12345678可見數(shù)列的變化趨勢(shì)如下

從該數(shù)列的演示易見,隨著的不斷增大,小球越來(lái)越接近于直線,所以數(shù)列趨向于1.演示結(jié)束

再觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)注意小球的變化

1234567演示

再觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)注意小球的變化

1234567

正在演示

再觀察數(shù)列的變化趨勢(shì)

1234567

易見小球在上下擺動(dòng)中,其擺動(dòng)的幅度始終不變,因此,該數(shù)列不趨于任何常數(shù)演示結(jié)束

最后,觀察一下數(shù)列的變化趨勢(shì).121086421234567注意小球的變化演示

最后,觀察一下數(shù)列的變化趨勢(shì).121086421234567

正在演示

最后,觀察一下數(shù)列的變化趨勢(shì).121086421234567顯見小球隨著的不斷增大愈來(lái)愈向上移動(dòng),永無(wú)止徑,因此,數(shù)列隨著的增大,趨向于無(wú)窮大.演示結(jié)束

綜上可見,有的數(shù)列隨著的不斷增大,會(huì)逐漸趨向于某一個(gè)常數(shù),而有些數(shù)列則不會(huì)趨向于一個(gè)常數(shù)

如數(shù)列均收斂,且

定義1如果數(shù)列當(dāng)趨向于無(wú)窮大時(shí),能夠趨向于某一個(gè)常數(shù)A,則說(shuō)該數(shù)列收斂,此時(shí)稱A為數(shù)列的極限,記作若該數(shù)列不能夠趨向于一個(gè)常數(shù),則說(shuō)該數(shù)列發(fā)散(或說(shuō)不收斂).)()()(lim￥??=￥?nAnfAnfn或

而數(shù)列和數(shù)列均發(fā)散.

設(shè){xn}為一數(shù)列如果存在常數(shù)a

對(duì)于任意給定的正數(shù)e

總存在正整數(shù)N

使得當(dāng)n>N

時(shí)不等式|xna|<e都成立

則稱常數(shù)a是數(shù)列{xn}的極限或者稱數(shù)列{xn}收斂于a

記為數(shù)列極限的精確定義:或說(shuō)數(shù)列{xn}是發(fā)散的,

習(xí)慣上也說(shuō)nnx￥?lim不存在.

如果不存在這樣的常數(shù)

就說(shuō)數(shù)列{

}沒有極限xna

0,NN

當(dāng)nN時(shí)有|xna|.極限定義的簡(jiǎn)記形式:分析:

例1

證:

下頁(yè)

§2.2

函數(shù)的極限單擊開始演示讓我們觀察一下函數(shù)當(dāng)自變量的絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí),其函數(shù)值的變化情況.xy1=(一)當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限

正在演示讓我們觀察一下函數(shù),當(dāng)自變量的絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí),其函數(shù)值的變化情況.

§

2.2

函數(shù)的極限(一)當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限xy1=

易見,隨著的無(wú)限增大,小紅球愈來(lái)愈靠近于軸,即其函數(shù)值逐漸趨于零.演示結(jié)束讓我們觀察一下函數(shù)當(dāng)自變量的絕對(duì)值無(wú)限增大時(shí),其函數(shù)值的變化情況.

§

2.2

函數(shù)的極限(一)當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限xy1=

從該例可見:當(dāng)趨于無(wú)窮大時(shí),趨于常數(shù)0,此時(shí)我們稱0是函數(shù)當(dāng)趨于無(wú)窮大時(shí)的極限.x1

一般有:

定義:如果存在常數(shù)A,使得當(dāng)無(wú)限增大時(shí),函數(shù)趨向于A,則稱A為函數(shù)當(dāng)趨于無(wú)窮大時(shí)的極限,記作或注意:幾何上為演示演示結(jié)束

類似地可定義:

2.自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)極限的

0

X0

當(dāng)|x|X時(shí)有|f(x)A|

精確定義:

結(jié)論:

分析

例1

證:

0

X0

當(dāng)|x|X時(shí)有|f(x)A|

例子:

(二)當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限時(shí)的變化趨勢(shì)先觀察函數(shù)和函數(shù)當(dāng)演示

正在演示

(二)當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限先觀察函數(shù)和函數(shù)當(dāng)時(shí)的變化趨勢(shì)

正在演示時(shí)的變化趨勢(shì)

(二)當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限先觀察函數(shù)和函數(shù)當(dāng)

正在演示時(shí)的變化趨勢(shì)

(二)當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限先觀察函數(shù)和函數(shù)當(dāng)

演示結(jié)束易見當(dāng)時(shí)演示暫停請(qǐng)稍候時(shí)的變化趨勢(shì)

(二)當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限先觀察函數(shù)和函數(shù)當(dāng)

開始演示時(shí)的變化趨勢(shì)

(二)當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限先觀察函數(shù)和函數(shù)當(dāng)

正在演示時(shí)的變化趨勢(shì)

(二)當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限先觀察函數(shù)和函數(shù)當(dāng)

正在演示時(shí)的變化趨勢(shì)

(二)當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限先觀察函數(shù)和函數(shù)當(dāng)

正在演示時(shí)的變化趨勢(shì)

(二)當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限先觀察函數(shù)和函數(shù)當(dāng)

演示結(jié)束易見當(dāng)時(shí)有時(shí)的變化趨勢(shì)

(二)當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限先觀察函數(shù)和函數(shù)當(dāng)

如定義:如果存在常數(shù)A,使得當(dāng)無(wú)限接近于時(shí),有趨近于A,則稱A為當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限,記作

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某一去心鄰域內(nèi)有定義如果存在常數(shù)A

對(duì)于任意給定的正數(shù)總存在正數(shù)使得當(dāng)x滿足不等式0<|xx0|

時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式|f(x)A|

那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)xx0時(shí)的極限記為函數(shù)極限的精確定義:定義的簡(jiǎn)記形式:

e>0

d>0

當(dāng)0<|x-x0|<d

有|f(x)-A|<e

例1

證:

因?yàn)閑>0d>0當(dāng)0|x-x0|d時(shí),都有|f(x)-A||c-c|0e,

e>0

d>0

當(dāng)

0<|x-x0|<d

有|f(x)-A|<e分析:|f(x)-A||c-c|0.e>0d>0當(dāng)0|x-x0|d時(shí),都有|f(x)-A|e.分析|f(x)A||xx0|e

當(dāng)0|xx0|d時(shí)有de因?yàn)閑0

證:

只要|xx0|e.要使|f(x)A|e

e>0

例2

|f(x)A||xx0|

e>0

d>0

當(dāng)

0<|x-x0|<d

有|f(x)-A|<e

分析|f(x)A||(2x1)1|2|x1|

例3

因?yàn)?/p>

0

證:

|f(x)A||(2x1)1|2|x1|e

e>0

d>0

當(dāng)

0<|x-x0|<d

有|f(x)-A|<ee>0

當(dāng)0|x1|

時(shí)有

/2

只要|x1|<e/2要使|f(x)A|<e

注1:

意思是無(wú)限靠近于

,但,因此點(diǎn)有無(wú)極限與函數(shù)在該點(diǎn)有無(wú)定義毫無(wú)關(guān)系.

注2:左極限右極限演示結(jié)束演示單側(cè)極限:

若當(dāng)xx0-時(shí)

f(x)無(wú)限接近于某常數(shù)A

則常數(shù)A叫做函數(shù)f(x)當(dāng)xx0時(shí)的左極限記為

若當(dāng)xx0+時(shí)

f(x)無(wú)限接近于某常數(shù)A

則常數(shù)A叫做函數(shù)f(x)當(dāng)xx0時(shí)的右極限記為Axfxx=+?)(lim0

解因?yàn)樗詷O限不存在定理1:極限存在的充分必要條件是左極限和右極限均存在,且都等于.即例1設(shè)討論極限是否存在?

(1)

唯一性:極限值如果存在,則必唯一.例2設(shè)求解因?yàn)樗源嬖?例3討論極限是否存在?解因?yàn)槎詷O限不存在.三、極限的性質(zhì)當(dāng)時(shí)必有(2)

保號(hào)性:設(shè)則當(dāng)時(shí)必有當(dāng)時(shí)所以當(dāng)時(shí)所以定理2(函數(shù)極限的唯一性)

定理3(函數(shù)極限的局部保號(hào)性)

如果f(x)A(xx0)

而且A0(或A0)那么在x0的某一去心鄰域內(nèi)有f(x)0(或f(x)0)

如果當(dāng)xx0時(shí)f(x)的極限存,那么這極限是唯一的

如果在x0的某一去心鄰域內(nèi)f(x)0(或f(x)0)

而且

f(x)A(xx0)

那么A0(或A0)

推論:

定義2.6對(duì)于任意給定的正數(shù),在變量y的變化過程中,總有那么一個(gè)時(shí)刻,在那個(gè)時(shí)刻以后,

恒成立,則稱變量y在此變化過程中以A為極限,記作注:定義把前面講的數(shù)列極限與函數(shù)極限統(tǒng)一起來(lái)了,y其實(shí)是一個(gè)函數(shù).§2.3變量的極限定義2.7變量y在某一變化過程中,如果存在正數(shù)M,使變量y在某一時(shí)刻之后,恒有|y|<M,則稱y在那時(shí)刻之后為有界變量.定理2.4如果在某一變化過程中,變量y有極限,則變量y是有界變量.證:設(shè)limy=A,則對(duì)總有那么一個(gè)時(shí)刻,在那個(gè)時(shí)刻以后,恒有

所以|y|<|A|+1.因此變量y在那個(gè)時(shí)刻之后是有界變量.

2.4無(wú)窮大量與無(wú)窮小量(一)無(wú)窮大量恒成立,則稱變量y是無(wú)窮大量,或稱變量y趨于無(wú)窮大,記作定義:如果對(duì)于任意給定的正數(shù)E,變量y在其變化過程中,總有那么一個(gè)時(shí)刻,在那個(gè)時(shí)刻之后,不等式

例如是當(dāng)時(shí)的無(wú)窮大量是當(dāng)時(shí)的無(wú)窮大量是當(dāng)時(shí)的無(wú)窮大量等等.如果一個(gè)變量在它的變化過程中,其絕對(duì)值可以無(wú)限增大,則稱該變量為其變化過程中的無(wú)窮大量.

(1)無(wú)窮大量并不是很大的數(shù),而是其絕對(duì)值可以無(wú)限增大的變量.

(2)說(shuō)一個(gè)量是不是無(wú)窮大量,也必須指出其變化過程.

(3)無(wú)窮大量包括:正無(wú)窮大量和負(fù)無(wú)窮大量.注意幾點(diǎn):例如當(dāng)時(shí)變量就是一負(fù)無(wú)窮大量.

(4)無(wú)窮大量的記號(hào)如:“當(dāng)時(shí)是一無(wú)窮大量”可記為“當(dāng)時(shí)是一無(wú)窮大量”可記為等等.注意:1.兩個(gè)無(wú)窮大量的和未必還是無(wú)窮大量;無(wú)窮大量的性質(zhì):性質(zhì)1兩個(gè)無(wú)窮大量的乘積還是無(wú)窮大量.性質(zhì)2有界量與無(wú)窮大量的和還是無(wú)窮大量.2.有界量與無(wú)窮大量的乘積也未必還是無(wú)窮大量.

(二)無(wú)窮小量1.無(wú)窮小量的定義定義如果變量的極限是零,則稱變量為無(wú)窮小量.例如是當(dāng)時(shí)的無(wú)窮小量是當(dāng)時(shí)的無(wú)窮小量是當(dāng)時(shí)的無(wú)窮小量是當(dāng)時(shí)的無(wú)窮小量

(1)一般,說(shuō)一個(gè)變量是無(wú)窮小量,必須指出其變化過程.因同一個(gè)變量在不同的變化過程中會(huì)有不同的變化趨勢(shì),即不同的極限值.

(2)由于無(wú)論在什么樣的變化過程中,數(shù)0的極限永遠(yuǎn)為零,所以它是無(wú)窮小量,且只有它可以不指出變化過程.

(3)不能把無(wú)窮小量理解為是很小的數(shù),關(guān)鍵是要看其極限是否為零.注意幾點(diǎn):

(2)無(wú)窮小量的變化過程相同時(shí),以上性質(zhì)才成立.

否則不能相加減及乘積的.2.無(wú)窮小量的性質(zhì)性質(zhì)2

兩個(gè)無(wú)窮小量的乘積還是無(wú)窮小量.注意:(1)這兩個(gè)性質(zhì)均可以推廣到有限上去;性質(zhì)1

兩個(gè)無(wú)窮小量的和還是無(wú)窮小量.定理2.5變量y以A為極限的充分必要條件是變量y可以表示為A與一個(gè)無(wú)窮小量的和.性質(zhì)3

有界量與無(wú)窮小量的乘積還是無(wú)窮小量.

注意:有界量包括①常量;②有界函數(shù);③在無(wú)窮小量的變化過程中有極限的函數(shù).例如

常量

有界函數(shù)有極限的函數(shù)有界量

(三)無(wú)窮小量與無(wú)窮大量之間的關(guān)系

定理若是無(wú)窮大量,則必是無(wú)窮小量;反之,若是無(wú)窮小量,則必是無(wú)窮大量.

(四)無(wú)窮小量階的比較

無(wú)窮小量是極限為零的變量,雖然它們均趨向于零,但是趨向于零的速度有快有慢,那么如何比較它們趨向于零的速度的快慢呢?

定義設(shè)和是同一變化過程中的兩個(gè)無(wú)窮小量

(1)若,則說(shuō)是比較高階的無(wú)窮小量,記作;(2)若,則說(shuō)是比較低階的無(wú)窮小量,或者說(shuō)是比較高階的無(wú)窮小量;(3)若,則說(shuō)和是同階無(wú)窮小量,記作;(4)若,則說(shuō)和是等價(jià)無(wú)窮小量,記作~.例如因?yàn)樗砸驗(yàn)樗砸驗(yàn)樗砸驗(yàn)樗詞例1設(shè)當(dāng)時(shí)~

求解因?yàn)閪

所以有即

法則1.代數(shù)和的極限等于極限的代數(shù)和.即法則2.乘積的極限等于極限的乘積.即

法則3.

商的極限等于極限的商(當(dāng)分母的極限不等于零時(shí)).即注意幾點(diǎn):§2.5極限的運(yùn)算法則(一)運(yùn)算法則(3)

法則1和法則2均可推廣到有限上去,得

(1)只有當(dāng)法則中所有的極限均存在時(shí),法則才成立.法則:法則

:法則4函數(shù)n次冪的極限等于極限的n次冪.即

(2)

符號(hào)下面沒有寫變化過程,意思是對(duì)和均成立特別當(dāng)時(shí)法則變?yōu)?/p>

(4)當(dāng)法則2中時(shí)有即常數(shù)因子可以提到極限號(hào)的外邊.(二)應(yīng)用舉例解原式解原式例1求極限例2求極限解顯然該函數(shù)是一初等函數(shù),且0點(diǎn)在其定義域內(nèi),因此

注意:顯然例1、例2中的極限值就等于其函數(shù)在極值點(diǎn)處的函數(shù)值.一般當(dāng)為初等函數(shù)且點(diǎn)在其定義域內(nèi)時(shí)有解原式例3求極限例4求極限例5求極限原式

解因?yàn)樗允菬o(wú)窮小量根據(jù)無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的關(guān)系知

解原式解因?yàn)楫?dāng)時(shí)是無(wú)窮小量而是有界量例8求極限例7求極限

例6求極限所以根據(jù)無(wú)窮小量的性質(zhì)知

解原式解原式解原式例8求極限例9求極限

綜合例7、例8、例9的結(jié)論,易見有例10求極限解原式例11求極限解原式

§2.6

兩個(gè)重要極限(一)兩個(gè)準(zhǔn)則

準(zhǔn)則Ⅰ如果函數(shù)滿足

(1)(2)存在則極限必存在且等于注意:(1)該準(zhǔn)則對(duì)于和時(shí)的函數(shù)極限,以及數(shù)列的極限均成立;(2)該準(zhǔn)則常稱為兩邊夾定理準(zhǔn)則Ⅱ單調(diào)有界數(shù)列必有極限.

對(duì)于數(shù)列來(lái)說(shuō),如果對(duì)于任意自然數(shù)n恒有成立,則稱數(shù)列是單調(diào)遞增(遞減)的.單調(diào)遞增數(shù)列與單調(diào)遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列.例如數(shù)列單調(diào)遞增數(shù)列單調(diào)遞減

對(duì)于數(shù)列來(lái)說(shuō),如果存在正數(shù)

,使得對(duì)于任意的自然數(shù)n,均有成立.則說(shuō)該數(shù)列有界例如數(shù)列有界因?yàn)閷?duì)任意自然數(shù)n,恒有

(二)

兩個(gè)重要極限1.證明:首先易見所以只須證即可(如圖作單位圓,并作角見右圖)由圖中易見有S△OACS△OABS扇形OAB注意右圖演示各圖形大小

S△OABS扇形OABS△OAC

(二)

兩個(gè)重要極限1.證明:首先易見所以只須證即可(如圖作單位圓,并作角見右圖)由圖中易見有

S△OABS扇形OABS△OAC

于是有同除以得即因?yàn)樗岳?求極限即即

解原式極限和均可當(dāng)公式使用,使用時(shí)應(yīng)注意滿足以下三個(gè)條件

?①極限的分子必須是正弦函數(shù)或者正切函數(shù);?②分子上的和后面可以跟一個(gè)函數(shù),但分母也必須是,即極限形式為?③

在自變量的變化過程中須是無(wú)窮小量,即例2求極限該極限為1例3求極限解原式類似可求得可當(dāng)公式記注使用例4求極限解原式例5求極限解原式

解原式例6求極限解原式例7求極限解原式根據(jù)準(zhǔn)則II

數(shù)列{xn}必有極限,

此極限用e來(lái)表示,即第二個(gè)重要極限:

e是個(gè)無(wú)理數(shù)它的值是e=2718281828459045

2.第二個(gè)重要極限準(zhǔn)則II

單調(diào)有界數(shù)列必有極限

可以證明:

(2)xn3(1)xnxn+1

nN,第二個(gè)重要極限:

我們還可以證明:這也是第二個(gè)重要極限

或?qū)B續(xù)自變量,也有注意第二個(gè)重要極限應(yīng)滿足以下三個(gè)條件:①冪底數(shù)為的形式,為任一函數(shù);②冪指數(shù)為的倒數(shù),即;③

在自變量的變化過程中為無(wú)窮小量.例8求極限解原式可當(dāng)公式使用例9求極限解利用上題結(jié)果,令得,原式

解原式例10求極限解原式例12求極限解原式例11求極限§2.7

函數(shù)的連續(xù)性(一)函數(shù)的改變量當(dāng)變量從初值點(diǎn)變化到終值點(diǎn)時(shí),稱終值與初值之差為變量的改變量,記作即注1可正可負(fù)DxDy注2

因?yàn)楫?dāng)時(shí)必有,成立.所以下面三種說(shuō)法均等價(jià):①變量從點(diǎn)變化到點(diǎn);②變量從點(diǎn)變化到+;③變量在點(diǎn)取得改變量.對(duì)于函數(shù)來(lái)說(shuō),如果其自變量在點(diǎn)取得改變量

,則因變量就會(huì)有相應(yīng)的改變,稱其為函數(shù)的改變量,記作即例如函數(shù)的改變量為

(二)函數(shù)連續(xù)的概念注1:因?yàn)樗远x1設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量在點(diǎn)取得改變量時(shí),則有函數(shù)的改變量,如果當(dāng)自變量的改變量趨于零時(shí),必然有函數(shù)改變量也趨于零,即有,則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).

1.函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的定義函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)也可定義為:注2:定義2實(shí)際包含有三個(gè)條件:(1)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義;(3)其極限值等于點(diǎn)的函數(shù)值,即

(2)函數(shù)的極限存在,即存在;定義2設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義,如果當(dāng)自變量時(shí),函數(shù)的極限存在,且其極限值等于點(diǎn)的函數(shù)值,即則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).注3:若時(shí),則稱函數(shù)在點(diǎn)處左連續(xù);若時(shí),則稱函數(shù)在點(diǎn)處右連續(xù);定理函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)的充分必要條件是在點(diǎn)既是左連續(xù)的,同時(shí)也是右連續(xù)的.

注意:一般在證明一個(gè)式子所給出的函數(shù)在某一點(diǎn)處的連續(xù)性時(shí),使用定義1;而在證明或判斷或研究分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的連續(xù)性時(shí),使用定義2.證明給自變量在點(diǎn)一個(gè)增量則相應(yīng)的有于是有故函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)例2研究函數(shù)在點(diǎn)的連續(xù)性.例1證明函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).解顯而易見該函數(shù)在點(diǎn)及附近有定義,且,又可見存在,且因此該函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).2.函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)定義(三)初等函數(shù)的連續(xù)性定義如果函數(shù)在區(qū)間上的每一個(gè)點(diǎn)處均連續(xù)的話,則稱該函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù);如果函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù),且在左端點(diǎn)處右連續(xù),而在右端點(diǎn)處左連續(xù),則稱該函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù).1.連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則如果函數(shù)和在點(diǎn)均連續(xù),則在處也必連續(xù).如果函數(shù)在點(diǎn)連續(xù),而函數(shù)在點(diǎn)也連續(xù),且,則復(fù)合函數(shù)在點(diǎn)也必連續(xù).2.初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)在其定義域內(nèi)均連續(xù).3.連續(xù)性的應(yīng)用(1)1.

是初等函數(shù)2.

點(diǎn)在的定義域內(nèi)

例3求下列極限解(2)1.2.條件例4求下列極限解可看作(四)函數(shù)的間斷點(diǎn)定義3若函數(shù)在點(diǎn)沒有定義;或當(dāng)自變量時(shí),函數(shù)的極限不存在;或其極限值不等于點(diǎn)的函數(shù)值,即,則稱函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)或間斷,此時(shí)點(diǎn)稱為函數(shù)的間斷點(diǎn).注意:如果則點(diǎn)稱為無(wú)窮間斷點(diǎn);如果存在但不相等,則點(diǎn)稱為跳躍間斷點(diǎn);如果極限存在但不等于點(diǎn)的函數(shù)值(

點(diǎn)可能根本就沒定義),則點(diǎn)稱為函數(shù)的可去間斷點(diǎn).例求下列函數(shù)的間斷點(diǎn).(2)顯而易見該函數(shù)在點(diǎn)處也沒定義,所以點(diǎn)是該函數(shù)的間斷點(diǎn),但又因?yàn)闃O限存在,所以點(diǎn)是可去間斷點(diǎn).解(1)

顯而易見該函數(shù)在點(diǎn)處沒定義.所以點(diǎn)是該函數(shù)的間斷點(diǎn),又因?yàn)樗运菬o(wú)窮間斷點(diǎn).例6討論下列函數(shù)在所給點(diǎn)的連續(xù)性所以為跳躍間斷點(diǎn).解該函數(shù)在點(diǎn)處顯然有定義,且但(五)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)顯然該函數(shù)在點(diǎn)有定義,且且極限存在,但由于所以是該函數(shù)的間斷點(diǎn),且是可去間斷點(diǎn)說(shuō)明:定理1(最大值和最小值定理)

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值

又至少有一點(diǎn)x2[a

b]

使f(x2)是f(x)在[a

b]上的最小值

至少有一點(diǎn)x1[a

b]

使f(x1)是f(x)在[a

b]上的最大值

定理說(shuō)明如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù)那么應(yīng)注意的問題:

如果函數(shù)僅在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)或函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值或最小值

例如函數(shù)f(x)=x在開區(qū)間(a

b)

內(nèi)既無(wú)最大值又無(wú)最小值

定理1(最大值和最小值定理)

在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定能取得它的最大值和最小值

下頁(yè)

又如如下函數(shù)在閉區(qū)間[02]內(nèi)不連續(xù),它在閉區(qū)間[02]內(nèi)既無(wú)最大值又無(wú)最小值

定理2(介值定理)

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[ab]上連續(xù)且f(a)f(b)

那么對(duì)于f(a)與f(b)之間的任意一個(gè)數(shù)C

在開區(qū)間(a

b)內(nèi)至少有一點(diǎn)x

使得f(x)=C>>>推論(有界性定理)

如果函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),則函數(shù)在上一定有界.注:

如果x0使f(x0)=0

則x0稱為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)

推論(零點(diǎn)定理)

設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a

b]上連續(xù)且f(a)與f(b)異號(hào)

那么在開區(qū)間(a

b)內(nèi)至少一點(diǎn)x使f(x)=0

例1

證明方程x3-4x2+1=0在區(qū)間(01)內(nèi)至少有一個(gè)根

證:

設(shè)f(x)=x3-4x2+1則f(x)在閉區(qū)間[01]上連續(xù)

并且f(0)=1>0

f(1)=-2<0

根據(jù)零點(diǎn)定理在(01)內(nèi)至少有一點(diǎn)x

使得f(x)=0

即x3-4x2+1=0

這說(shuō)明方程x3-4x2+1=0在區(qū)間(01)內(nèi)至少有一個(gè)根是x

注意:常常利用該推論證明某一方程在某一區(qū)間上至少存在一個(gè)根的問題.例2證明方程