內(nèi)蒙古自治區(qū)赤峰市喀旗惠民中學(xué)2022高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.正方體ABCD—A1B1C1D1的各個頂點(diǎn)與各棱的中點(diǎn)共20個點(diǎn)中，任取兩點(diǎn)連成直線，在這些直線中任取一條，它與BD1垂直的概率為（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：答案:D2.下列命題中，真命題的個數(shù)有 ①；

②； ③“”是“”的充要條件；④是奇函數(shù). （A）1個

（B）2個

（C）3個 （D）4個參考答案：C略3.設(shè)為兩個非零向量，則“”是“與共線”的（A）充分而不必要條件 （B）必要而不充分條件（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件參考答案：A4.設(shè)，，，且，則函數(shù)的最大值為

．參考答案：略5.對于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)，若滿足，則必有

A．

B．

C．

D．參考答案：A當(dāng)時，，此時函數(shù)遞減。當(dāng)時，，此時函數(shù)遞增，即當(dāng)，函數(shù)取得極小值同時也是最小值，所以，即，選A.6.點(diǎn)A，B，C，D在同一個球面上,，AC=2，若球的表面積為，則四面體ABCD體積最大值為

A．

B．

C.

D．2參考答案：C7.拋物線y＝2ax(a≠0)的焦點(diǎn)是(

)

A.(，0) B.(，0)或(－，0) C.(0，) D.(0，)或(0，－)參考答案：【知識點(diǎn)】拋物線的幾何性質(zhì)

H7【答案解析】C

解析：拋物線的方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式為：，其焦點(diǎn)在軸上，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故答案為：C【思路點(diǎn)撥】先把拋物線方程整理成標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而根據(jù)拋物線的性質(zhì)可得焦點(diǎn)坐標(biāo)。8.已知集合，則滿足條件集合C的個數(shù)為（

）A．

4

B．

3

C．

2

D．1參考答案：A由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得集合，集合，滿足條件集合為：，，共個，故選A.

9.已知集合，，（

）A．

B．

C．

D．.以上都不對參考答案：B10.已知，則下列不等式正確的是

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.中，所對的邊長分別為，且，，則參考答案：2略12.定義在R上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），滿足xf'（x）+f（x）＞x，則不等式的解集為．參考答案：（﹣∞，8）【考點(diǎn)】6B：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】利用已知條件構(gòu)造函數(shù)，通過不等式轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：定義在R上的函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f'（x），滿足xf'（x）+f（x）＞x，不妨取f（x）=1+，則不等式，化為：（x﹣4）（1+）﹣4×3＜，解得x＜8；故答案為：（﹣∞，8）．13.如圖所示,ABCD是邊長為60cm的正方形硬紙片,切去陰影部分所示的四個全等的等腰直角三角形,再沿虛線折起,使得ABCD四個點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P,正好形成一個正四棱柱形狀的包裝盒,若要包裝盒容積V(cm3)最大,則EF長為

cm．參考答案：2014.已知三棱錐P-ABC外接球的表面積為100π，PA⊥面，則該三棱錐體積的最大值為____。參考答案：【分析】根據(jù)球的表面積計(jì)算出球的半徑.利用勾股定理計(jì)算出三角形外接圓的半徑，根據(jù)正弦定理求得的長，再根據(jù)圓內(nèi)三角形面積的最大值求得三角形面積的最大值，由此求得三棱錐體積的最大值.【詳解】畫出圖像如下圖所示，其中是外接球的球心，是底面三角形的外心，.設(shè)球的半徑為，三角形外接圓的半徑為，則，故在中，.在三角形中，由正弦定理得.故三角形為等邊三角形，其高為.由于為定值，而三角形的高等于時，三角形的面積取得最大值，由于為定值，故三棱錐的體積最大值為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查外接球有關(guān)計(jì)算，考查三棱錐體積的最大值的計(jì)算，屬于中檔題.15.三棱錐S－ABC及其三視圖中的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，則棱SB的長為_____。參考答案：由已知中的三視圖可得SC⊥平面ABC，且底面△ABC為等腰三角形，在△ABC中AC=4，AC邊上的高為2，故BC=4，在Rt△SBC中，由SC=4，可得SB=4，故答案為：4

16.右方莖葉圖記錄了甲、乙兩組各5名學(xué)生在一次英語聽力測試中的成績(單位：分)．已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為l5，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為16．8，則x+y的值為

參考答案：1317.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2-2x在區(qū)間(-1,+∞)上有極大值和極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.

某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個等級，等級系數(shù)依次為1，2，…，8，其中為標(biāo)準(zhǔn)A，為標(biāo)準(zhǔn)B，已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為6元/件；乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)（1）已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的概率分布列如下所示：56780.40.1

且的數(shù)字期望，求，的值；（2）為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件，相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下：3

5

3

3

8

5

5

6

3

46

3

4

7

5

3

4

8

5

38

3

4

3

4

4

7

5

6

7

用這個樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望．

（3）在（1）、（2）的條件下，若以“性價比”為判斷標(biāo)準(zhǔn)，則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理由．注：①產(chǎn)品的“性價比”=產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望/產(chǎn)品的零售價；②“性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性．參考答案：（1）；（2）；（3）詳見解析.

（2）由已知得，樣本的頻率分布表如下：用這個樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數(shù)的概率分布列如下：∴，即乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于；（3）乙廠的產(chǎn)品更具可購買性，理由如下：∵甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于6，價格為6元/件，∴其性價比為，∵乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的期望等于4.8，價格為4元/件，∴其性價比為，據(jù)此，乙廠的產(chǎn)品更具可購買性.考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的概率分布及其期望．19.在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為ρ=2sinθ．（Ⅰ）求圓C的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A、B，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，），求|PA|+|PB|．參考答案：【考點(diǎn)】直線的參數(shù)方程；簡單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】（I）由⊙C的方程可得：，利用極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)的公式x=ρcosθ，y=ρsinθ即可得出．．（II）把直線l的參數(shù)方程（t為參數(shù)）代入⊙C的方程得到關(guān)于t的一元二次方程，即可得到根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)參數(shù)的意義可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|即可得出．【解答】解：（I）由⊙C的方程可得：，化為．（II）把直線l的參數(shù)方程（t為參數(shù)）代入⊙C的方程得=0，化為．∴．（t1t2=4＞0）．根據(jù)參數(shù)的意義可得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=．20.已知函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.

(Ⅰ)求的值及的單調(diào)區(qū)間(Ⅱ)是否存在實(shí)數(shù)，使得射線與曲線有三個公共點(diǎn)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由(Ⅲ)設(shè)，為正實(shí)數(shù)，且，證明：參考答案：（Ⅰ）a=1,的遞增區(qū)間為；遞減區(qū)間為.（Ⅱ），存在實(shí)數(shù)k使得射線y=kx()與曲線有三個交點(diǎn)，且k的取值范圍是.(Ⅲ)證明：見解析.【知識點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的幾何意義，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.

B12解析：（Ⅰ）因?yàn)?，所以因?yàn)榍€在點(diǎn)處切線方程為y=-x,所以，即.

于是.由，即，解得或；由，即，解得所以的遞增區(qū)間為；遞減區(qū)間為.（Ⅱ）由，消去y得，即x=0或.要使射線y=kx()與曲線有三個交點(diǎn)，只要方程，即有兩個大于或等于-3且不等于0的不等實(shí)根.1

當(dāng)k=0時，可化為-x+1=0,解得x=1,不符合要求；2

當(dāng)k≠0時，令.由，即，即解得且.綜上，存在實(shí)數(shù)k使得射線y=kx()與曲線有三個交點(diǎn)，且k的取值范圍是.(Ⅲ)證明：因?yàn)?，，所以?所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.當(dāng)0<x<1時，故.因?yàn)椋?，所以n.

所以所以即故.【思路點(diǎn)撥】（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求a值，然后把a(bǔ)值代入原函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)區(qū)間；（II）把問題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的實(shí)根分布情況求解；(Ⅲ)因?yàn)?，，所以?所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.當(dāng)0<x<1時，這說明在區(qū)間（0,1）上，曲線在切線的上方，由已知得：n.所以再由累加法得所證結(jié)論.

21.已知函數(shù).(1)若，求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若R,

求證：.參考答案：(1)因?yàn)椋?

………1分

①當(dāng)時，得，解得，所以;……………2分

②當(dāng)時，得，解得，所以;……………3分③當(dāng)時，得，解得，所以;

……………4分綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

………5分(2)因?yàn)镽,

所以……………7分

……………………8分

……………………9分

.

……………………10分22.（本題滿分12分）

一個盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個定義