陜西省漢中市龍崗學校2021-2022學年高三數學理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知三棱錐S﹣ABC，滿足SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SC，若該三棱錐外接球的半徑為，Q是外接球上一動點，則點Q到平面ABC的距離的最大值為（）A．3 B．2 C． D．參考答案：D【考點】點、線、面間的距離計算．【專題】空間位置關系與距離．【分析】由題意，三棱錐的外接球即為以SA，SB，SC為長寬高的正方體的外接球，求出球心到平面ABC的距離，即可求出點Q到平面ABC的距離的最大值．【解答】解：∵三棱錐S﹣ABC中，SA⊥SB，SB⊥SC，SC⊥SA，且SA=SB=SC，∴三棱錐的外接球即為以SA，SB，SC為長寬高的正方體的外接球，∵該三棱錐外接球的半徑為，∴正方體的體對角線長為2，∴球心到平面ABC的距離為×=∴點Q到平面ABC的距離的最大值為+=．故選：D．【點評】本題考查點Q到平面ABC的距離的最大值，考查學生的計算能力，求出球心到平面ABC的距離是關鍵．2.函數的一個單調減區(qū)間是（

）

A、 B、 C、 D、參考答案：C3.圓與直線相切于點，則直線的方程為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D4.已知復數z滿足，則z=（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B5.已知等比數列{am}的前m項和為Sm，若S=4（a1+a3+a5+…+a2m-1）,a1a2a3=27,則a6=（

）A.27

B.81

C.243

D.729參考答案：C略6.對于任意實數，下列五個命題中:①若，則；②若，則；③若，則；

④若則；

⑤若，則.其中真命題的個數是（

）

A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：A略7.在數學史上，中國古代數學名著《周髀算經》、《九章算術》、《孔子經》、《張邱建算經》等，對等差級數（數列）和等比級數（數列），都有列舉出計算的例子，說明中國古代對數列的研究曾作出一定的貢獻.請同學們根據所學數列及有關知識求解下列問題.數陣中，每行的3個數依次成等差數列，每列的3個數依次成等比數列，若，則這9個數和的最小值為（

）A.64 B. C.36 D.16參考答案：C【分析】簡單的合情推理、等比數列、等差數列及重要不等式得：這9個數的和為，得解．【詳解】由數陣中，每行的3個數依次成等差數列，每列的3個數依次成等比數列，設，，的公比為，因為，所以，，所以這9個數的和為，即這9個數和的最小值為36，故選：C．【點睛】本題考查等差數列和等比數列中項的性質、基本不等式，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意三個數成等比數列的設法.8.某班有50名學生，一次數學考試的成績服從正態(tài)分布，已知，估計該班學生數學成績在115分以上的人數為（

）A．10

B．9

C．8

D．7參考答案：B9.如圖所示，邊長為a的空間四邊形ABCD中，∠BCD＝90°，平面ABD⊥平面BCD，則異面直線AD與BC所成角的大小為（）A.30° B.45° C.60° D.90°參考答案：C【分析】由題意得，，從而，，取中點，連結，，從而平面，延長至點，使，連結，，，則四邊形為正方形，即有，從而（或其補角）即為異面直線與所成角，由此能求出異面直線與所成角的大?。驹斀狻坑深}意得BC＝CD＝a，∠BCD＝90°，∴BD＝，∴∠BAD＝90°，取BD中點O，連結AO，CO，∵AB＝BC＝CD＝DA＝a，∴AO⊥BD，CO⊥BD，且AO＝BO＝OD＝OC＝，又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊥BD，∴AO⊥平面BCD，延長CO至點E，使CO＝OE，連結ED，EA，EB，則四邊形BCDE為正方形，即有BC∥DE，∴∠ADE（或其補角）即為異面直線AD與BC所成角，由題意得AE＝a，ED＝a，∴△AED為正三角形，∴∠ADE＝60°，∴異面直線AD與BC所成角的大小為60°．故選：C．【點睛】本題考查異面直線所成角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系，考查運算求解能力，考查空間想象能力，是中檔題．10.已知向量，則向量a,b夾角為

參考答案：B【知識點】平面向量的數量積及應用F3由已知得+2=0，則4-222cos=0,所以cos=-,=【思路點撥】根據向量的數量積，求出角。二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在中，角A、B、C所對邊的長分別為a、b、c，若，則的最小值等于.參考答案：因為，所以，即當且僅當時去等號。所以，所以的最小值等于.12.在等差數列中，，，則

，設，則數列的前項的和

.參考答案：

13.設△ABC的三個內角A、B、C所對的三邊分別為a,b,c，若△ABC的面積為S=a2－(b－c)2，則=

.參考答案：414.不等式的解集是

.參考答案：

不等式等價于15.設變量x，y滿足約束條件：，則的最小值為

．參考答案：-10

16.已知a＞0，展開式的常數項為15，則=．參考答案：【考點】67：定積分；DB：二項式系數的性質．【分析】根據二項式定理計算a，再根據定積分的幾何意義和性質計算即可．【解答】解：∵展開式的常數項為15，∴C（）4x2=15，∴a4=1，又a＞0，∴a=1．∵y=表示半徑為1的上半圓，y=sin2x是奇函數，∴=，=0，∴==．故答案為：．17.用數學歸納法證明時，當時，其形式是

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.

已知二次函數的圖像過點，且，,數列滿足，且，（Ⅰ）求數列的通項公式（Ⅱ）記，求數列的前n項和。參考答案：(Ⅱ)

……………11分 ……………14分

略19.（本小題滿分12分）已知函數（Ⅰ）若，求函數的單調區(qū)間；（Ⅱ）若函數的圖象與函數的圖象在區(qū)間上有公共點，求實數的取值范圍．參考答案：（Ⅰ）∵，∴且．

又∵，∴．

∴在點處的切線方程為：，即．………4分（Ⅱ）（i）當，即時，由在上是增函數，在上是減函數，∴當時，取得最大值，即．又當時，，當時，，當時，，所以，的圖像與的圖像在上有公共點，等價于，解得，又因為，所以．

………………8分（ii）當，即時，在上是增函數，∴在上的最大值為，∴原問題等價于，解得，又∵

∴無解綜上，的取值范圍是．

………………12分20.某商店試銷某種商品20天，獲得如下數據：日銷售量（件）0123頻數1595試銷結束后（假設該商品的日銷售量的分布規(guī)律不變），設某天開始營業(yè)時有該商品3件，當天營業(yè)結束后檢查存貨，若發(fā)現存貨少于2件，則當天進貨補充至3件，否則不進貨，將頻率視為概率。（Ⅰ）求當天商品不進貨的概率；（Ⅱ）記X為第二天開始營業(yè)時該商品的件數，求X的分布列和數學期型。參考答案：解（I）（“當天商品不進貨”）（“當天商品銷售量為0件”）（“當天商品銷售量為1件”）（Ⅱ）由題意知，的可能取值為2,3.

（“當天商品銷售量為1件”）

（“當天商品銷售量為0件”）（“當天商品銷售量為2件”）（“當天商品銷售量為3件”）

故的分布列為23

的數學期望為21.（本題滿分12分）已知，函數．（Ⅰ）若，求函數的極值點；（Ⅱ）若不等式恒成立，求的取值范圍．（為自然對數的底數）參考答案：（Ⅰ）若，則，．當時，，單調遞增；當時，，單調遞減． …2分又因為，，所以當時，；當時，；當時，；當時，． …3分故的極小值點為1和，極大值點為． …4分（Ⅱ）不等式，整理為．…（*）設，則（）． …6分①當時，，又，所以，當時，，遞增；當時，，遞減．從而．故，恒成立． …9分②當時，．令，解得，則當時，；再令，解得，則當時，．取，則當時，．所以，當時，，即．這與“恒成立”矛盾．綜上所述，．22.已知函數f(x)＝ex－ax，其中a＞0.（1）若對一切x∈R，f(x)≥1恒成立，求a的取值集合；（2）在函數f(x)的圖象上取定兩點A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))(x1＜x2)，記直線AB的斜率為k，證明：存在x0∈(x1，x2)，使f′(x0)＝k成立.參考答案：解：（1）f′(x)＝ex－a.令f′(x)＝0得x＝lna.當x＜lna時，f′(x)＜0，f(x)單調遞減；當x＞lna時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增.故當x＝lna時，f(x)取最小值f(lna)＝a－alna.于是對一切x∈R，f(x)≥1恒成立，當且僅當a－alna≥1.①令g(t)＝t－tlnt，則g′(t)＝－lnt.當0＜t＜1時，g′(t)＞0，g(t)單調遞增；當t＞1時，g′(t)＜0，g(t)單調遞減.故當t＝1時，g(t)取最大值g（1）＝1.因此，當且僅當a＝1時，①式成立.綜上所述，a的取值集合為{1}.（2）由題意知，k＝＝－a.令φ(x)＝f′(x)－k＝ex－，則φ(x1)＝－

[－(x2－x1)－1]，φ(x2)＝

[－(x1－x2)－1].令F(t)＝et