湖北省荊門(mén)市育才學(xué)校2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知函數(shù)在R上滿足，則曲線在點(diǎn)處的切線方程是(

)

A．

B.

C.

D.參考答案：B2.在△ABC中，是邊AB上的一點(diǎn)，的面積為1，則BD的長(zhǎng)為（

）A．

B．4

C．2

D．1參考答案：C,選C

3.德國(guó)著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，以其名命名的函數(shù)f（x）=，稱為狄利克雷函數(shù)，則關(guān)于函數(shù)f（x）有以下四個(gè)命題：①f（f（x））=1；②函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；③任意一個(gè)非零有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對(duì)任意x∈R恒成立；④存在三個(gè)點(diǎn)A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC為等邊三角形．其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1參考答案：A【考點(diǎn)】2K：命題的真假判斷與應(yīng)用；5B：分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】①根據(jù)函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則，可得不管x是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)，均有f（f（x））=1；②根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，可得f（x）是偶函數(shù)；③根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式，結(jié)合有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的性質(zhì)；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得A（，0），B（0，1），C（﹣，0），三點(diǎn)恰好構(gòu)成等邊三角形．【解答】解：①∵當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，f（x）=1；當(dāng)x為無(wú)理數(shù)時(shí)，f（x）=0，∴當(dāng)x為有理數(shù)時(shí)，ff（（x））=f（1）=1；當(dāng)x為無(wú)理數(shù)時(shí)，f（f（x））=f（0）=1，即不管x是有理數(shù)還是無(wú)理數(shù)，均有f（f（x））=1，故①正確；②∵有理數(shù)的相反數(shù)還是有理數(shù)，無(wú)理數(shù)的相反數(shù)還是無(wú)理數(shù)，∴對(duì)任意x∈R，都有f（﹣x）=f（x），故②正確；③若x是有理數(shù)，則x+T也是有理數(shù)；若x是無(wú)理數(shù)，則x+T也是無(wú)理數(shù)，∴根據(jù)函數(shù)的表達(dá)式，任取一個(gè)不為零的有理數(shù)T，f（x+T）=f（x）對(duì)x∈R恒成立，故③正確；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得f（x1）=0，f（x2）=1，f（x3）=0，∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC為等邊三角形，故④正確．即真命題的個(gè)數(shù)是4個(gè)，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題給出特殊函數(shù)表達(dá)式，求函數(shù)的值并討論它的奇偶性，著重考查了有理數(shù)、無(wú)理數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的奇偶性等知識(shí)，屬于中檔題．4.某調(diào)查機(jī)構(gòu)對(duì)本市小學(xué)生課業(yè)負(fù)擔(dān)情況進(jìn)行了調(diào)查，設(shè)平均每人每天做作業(yè)的時(shí)間為分鐘.有

1000名小學(xué)生參加了此項(xiàng)調(diào)查，調(diào)查所得數(shù)據(jù)用程序框圖處理，若輸出的結(jié)果是680，則平均每天做作業(yè)的時(shí)間在0～60分鐘內(nèi)的學(xué)生的頻率是A.

680

B.

320

C.

0.68

D.

0.32參考答案：D5.若點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，則點(diǎn)的軌跡圖象大致是（

）

A．

B． C． D．參考答案：C6.等差數(shù)列{an}中，已知|a6|=|a11|，且公差d＞0，則其前n項(xiàng)和取最小值時(shí)的n的值為（

）A．6

B．7

C．8

D．9參考答案：C由題意知，有， 所以當(dāng)時(shí)前項(xiàng)和取最小值.故選C7.已知函數(shù)是R上的偶函數(shù),其圖象過(guò)點(diǎn),又f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱,且在區(qū)間上是減函數(shù)，則=(A).

(B)

(C)

(D)參考答案：C8.已知集合，，則（

）A.

B.

C.

D.[1,2]參考答案：B9.函數(shù)在區(qū)間上的圖象大致為（

）參考答案：D10.過(guò)平面區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，記，則當(dāng)最小時(shí)的值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C試題分析：因?yàn)?而,所以最大時(shí),最小,最小.結(jié)合圖象可知點(diǎn),故的最大值為,則,應(yīng)選C.考點(diǎn)：線性規(guī)劃、二倍角的余弦等有關(guān)知識(shí)的綜合運(yùn)用.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知為第二象限角，,則

.參考答案：略12.曲線在點(diǎn)處的切線方程是

▲

．參考答案：x－y－2=013.曲線在點(diǎn)處的切線分別為,設(shè)及直線

x-2y+2=0圍成的區(qū)域?yàn)镈(包括邊界)．設(shè)點(diǎn)P(x，y)是區(qū)域D內(nèi)任意一點(diǎn)，則x+2y的最大值為_(kāi)_______.參考答案：614.銳角△ABC中，AB＝4，AC＝3，△ABC的面積為，則BC＝_______。參考答案：【分析】利用三角形的面積公式求出A，再利用余弦定理求出BC．【詳解】因?yàn)殇J角△ABC的面積為3，且AB=4，AC=3，所以×3×4×sinA=3，所以sinA=，所以A=60°，所以cosA=，所以BC===．故答案為：．

15.設(shè)，，且，則當(dāng)取最小值時(shí)，______.參考答案：12【分析】當(dāng)取最小值時(shí)，取最小值，變形可得，由基本不等式和等號(hào)成立的條件可得答案．【詳解】解析：∵，，∴當(dāng)取最小值時(shí)，取得最小值，∵，又，∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，∴當(dāng)取最小值時(shí)，，，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求最值，變形為可用基本不等式的形式是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．16.設(shè)定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖像與的圖像交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為，直線與的圖像交于點(diǎn),則線段的長(zhǎng)為參考答案：17.已知向量與的夾角為,且,若,且,則實(shí)數(shù)的值為

.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.如圖，已知橢圓C中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左右焦點(diǎn)，橢圓的短軸長(zhǎng)為2，過(guò)F2的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，三角形F1BF2面積的最大值為（a＞1）．（Ⅰ）求橢圓C的方程（用a表示）；（Ⅱ）求三角形F1AB面積的最大值．參考答案：考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．專題：綜合題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：（Ⅰ）確定c=，即可求橢圓C的方程（用a表示）；（Ⅱ）設(shè)直線方程，代入橢圓方程，求出三角形F1AB面積，分類討論，即可求出最大值．解答： 解：（Ⅰ）由題意，橢圓的上頂點(diǎn)為（0，1），下頂點(diǎn)為（0，﹣1），當(dāng)B與上（或下）頂點(diǎn)重合時(shí)，三角形F1BF2面積最大S==，∴c=，∴橢圓C的方程為；（Ⅱ）三角形F1AB面積S==c?AB?sinα（α為F2B與x軸正向所成的角）設(shè)F2（c，0），A（x1，y1），B（x2，y2），AB：y=k（x﹣c），代入橢圓方程可得（1+a2k2）x2﹣2a2k2cx+a2k2c2﹣a2=0，∴x1+x2=，x1x2=∴AB=|x1﹣x2|=，∴S=c?AB?sinα=，a時(shí)，S≤=a；1＜a＜時(shí)，S≤=．點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，主要考查橢圓的方程的運(yùn)用，聯(lián)立直線方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，同時(shí)考查求最值，屬于中檔題．19.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且．（1）求B；（2）若a=6，△ABC的面積為9，求b的長(zhǎng)，并判斷△ABC的形狀．參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．【分析】（1）由已知及正弦定理可得sinB=，結(jié)合范圍0＜B＜π，可得B的值．（2）利用三角形面積公式可求c，進(jìn)而利用余弦定理可求b的值，分類討論，即可判定三角形的形狀．【解答】解：（1）由，可得．根據(jù)正弦定理可得：sinB=，由于0＜B＜π，可得：B=或，（2）因?yàn)椤鰽BC的面積為9=acsinB，a=6，sinB=，所以．解得．由余弦定理可知，由得b2=18或b2=90，所以或．當(dāng)時(shí)，此時(shí)，△ABC為等腰直角三角形；當(dāng)時(shí)，此時(shí)，△ABC為鈍角三角形．20.在如圖所示的幾何體中，四邊形ABDE為梯形，AE//BD，AE平面ABC，ACBC，AC=BC=BD=2AE，M為AB的中點(diǎn).

（1）求證：CMDE；（2）求銳二面角的余弦值.參考答案：略21.若的圖像的最高點(diǎn)都在直線上，并且任意相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)之間的距離為π.(1)求和m的值：(2)在△ABC中，a，b，c分別是的對(duì)邊,若點(diǎn)是函數(shù)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心,且,求△ABC外接圓的面積.參考答案：(1).(2).【分析】（1）利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)求得和的值；（2）由是函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心求得值，再由正弦定理求得外接圓半徑，則外接圓的面積可求．【詳解】（1）由題意知,函數(shù)的周期為,且最大值為,所以.(2)是函數(shù)圖像的一個(gè)對(duì)稱中心,所以,又因?yàn)榈膬?nèi)角,所以，在中,設(shè)外接圓半徑為,由得所以的外接圓的面積【點(diǎn)睛】本題考查了二倍角的正弦函數(shù)公式，以及正弦定理的應(yīng)用，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵，是中檔題．22.在銳角△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c，且cos（B+C）=﹣sin2A．（1）求A；（2）設(shè)a=7，b=5，求△ABC的面積．參考答案：【考點(diǎn)】HP：正弦定理；GL：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．【分析】（1）由已知式子可得sinA，由銳角三角形可得；（2）由正弦定理可得sinB，進(jìn)而可得cosB，再由和差角的三角函數(shù)可得