湖南省永州市七里橋鎮(zhèn)第三中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.設(shè),,,則,,間的大小關(guān)系為

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略2.已知集,,則（

）A．

B．C．P

D．Q參考答案：D3.（5分）（2015?濟(jì)寧一模）已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=，則|z﹣2|=（）A．2B．2C．D．1參考答案：C【考點(diǎn)】：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【專題】：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】：利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，然后利用復(fù)數(shù)模的公式求模．解：∵z﹣2=﹣2=，∴|z﹣2|=．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題．4.若正方體A1A2A3A4﹣B1B2B3B4的棱長為1，則集合{x|x=?，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：A【考點(diǎn)】子集與真子集．【分析】⊥，⊥，i，j∈{1，2，3，4}，由此能求出集合{x|x=?，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的個(gè)數(shù)．【解答】解：∵正方體A1A2A3A4﹣B1B2B3B4的棱長為1，⊥，⊥，i，j∈{1，2，3，4}，∴?=?（++）=?++=1．∴集合{x|x=?，i∈{1，2，3，4}，j∈1，2，3，4}}中元素的個(gè)數(shù)為1．故選：A．5.設(shè)是關(guān)于t的方程的兩個(gè)不等實(shí)根，則過,兩點(diǎn)的直線與雙曲線的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為A．0

B．1

C．2

D．3參考答案：A6.的值為

（）A．

B．

C．

D．參考答案：D7.從某項(xiàng)綜合能力測(cè)試中抽取100人的成績，統(tǒng)計(jì)如表，則這100人成績的標(biāo)準(zhǔn)差為（

）分?jǐn)?shù)54321人數(shù)2010303010A．

B．

C．3

D．參考答案：【解析】本小題主要考查平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的概念及其運(yùn)算。

答案：B8.已知，，則(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：B9.已知，則……………（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D略10.已知函數(shù)，若a、b、c互不相等，且，則a＋b＋c的取值范圍是 （

）A．（1，2014） B．（1，2015） C．（2，2015） D．[2，2015]參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在等差數(shù)列中，若，則此數(shù)列的前13項(xiàng)之和為

.參考答案：52略12.2008年北京奧運(yùn)會(huì)，我國將派5名正式運(yùn)動(dòng)員和3名替補(bǔ)運(yùn)動(dòng)員參加體操比賽,最終將有3人上場比賽,其中甲、乙兩名替補(bǔ)運(yùn)動(dòng)員均不上場比賽的概率是

.參考答案：答案：

13.給出下列四個(gè)命題，其中不正確命題的序號(hào)是

。①若；②函數(shù)的圖象關(guān)于x=對(duì)稱；③函數(shù)為偶函數(shù)，④函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為2。參考答案：①②④14.對(duì)任意中任取兩個(gè)元素，定義運(yùn)算，其中是常數(shù)，等式右邊的運(yùn)算是通常的加法和乘法運(yùn)算.已知，并且集合中存在一個(gè)非零常數(shù)，使得對(duì)任意，都有，則稱是集合的“釘子”.集合的“釘子”為__________________．參考答案：4略15.函數(shù)的最大值為_______參考答案：1【分析】因?yàn)椋钥梢园押瘮?shù)解析式化簡，再逆用兩角差的正弦公式化簡函數(shù)解析式，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出最大值.【詳解】,所以，因此的最大值為1.【點(diǎn)睛】本題考查了二角差的正弦公式的逆用，正弦型函數(shù)的最值，考查了三角恒等變換.16.是虛數(shù)單位，能使得成立的成立的最小正整數(shù)是

；【解析】由，得，所以，即,所以最小的正整數(shù)為3。參考答案：由，得，所以，即,所以最小的正整數(shù)為3?！敬鸢浮?

17.已知α∈（，π），sinα=，則tan=．參考答案：【考點(diǎn)】兩角和與差的正切函數(shù)；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系．【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出cosα和tanα的值，利用兩角和的正切公式求出tan的值．【解答】解：∵α∈（，π），sinα=，∴cosα=﹣，∴tanα=﹣．∴tan==，故答案為：．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在平面直角坐標(biāo)系中，曲線（為參數(shù)），在以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線的極坐標(biāo)方程為.

（Ⅰ）求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；（Ⅱ）過點(diǎn)且與直線平行的直線交曲線于兩點(diǎn)，求點(diǎn)到兩點(diǎn)的距離之和.參考答案：19.如圖在直三棱柱ABC–A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=a，AA1=2a，D為BC的中點(diǎn)，E為CC1上的點(diǎn)，且CE=CC1

（I）求三棱錐B–AB1D的體積；

（II）求證：BE⊥平面ADB1；

（Ⅲ）求二面角B—AB1—D的大小.

參考答案：解析：（Ⅰ）∵AB=AC=a，∠BAC=90°，D為BC中點(diǎn)B1B=C1C=A1A=2a，∴

………………2分∵

…………4分解法一：（Ⅱ）由AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，得AD⊥BC從而AD⊥平面B1BCC1又BE平面B1BCC1，所在AD⊥BE…………6分由已知∠BAC=90°，AB=AC=a，得在Rt△BB1D中，在Rt△CBE中，于是∠BB1D=∠CBE，設(shè)EB∩DB1=G∠BB1D+∠B1BG=∠CBE+∠B1BG=90°，則DB1⊥BE，又AD∩DB1=D故BE⊥平面ADB1

……8分（Ⅲ）過點(diǎn)G作GF⊥AB1于F，連接BF由（Ⅰ）及三垂線定理可知∠BFG是二面角B—AB-1—D的平面角

…………10分在Rt△ABB1中，由BF·AB1=BB1·AB，得在Rt△BDB1中，由BB1·BD=BG·DB1，得BG=所以在Rt△BFG中，故二面角B—AB—D的大小為arcsin

………………12分解法二：解法：（Ⅱ）如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz

…………2分可知A（0，0，0），B（a，0，0），C（0，a，0），D（），B1（a，0，2a），E（0，a，）…………4分可得

………………6分于是得，可知BE⊥AD，BE⊥DB1又AD∩DB1=D，故BE⊥平面ADB1

…………8分（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面ADB1的法向量，平面ABB1的法向量于是

…………10分故二面角B—AB1—D的大小為arccos

………………12分20.已知函數(shù)f（x）=xe﹣x（x∈R）（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）已知函數(shù)y=g（x）的圖象與函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，證明：當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＞g（x）；（Ⅲ）如果x1≠x2，且f（x1）=f（x2），證明x1+x2＞2．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】（1）先求導(dǎo)求出導(dǎo)數(shù)為零的值，通過列表判定導(dǎo)數(shù)符號(hào)，確定出單調(diào)性和極值．（2）先利用對(duì)稱性求出g（x）的解析式，比較兩個(gè)函數(shù)的大小可將它們作差，研究新函數(shù)的最小值，使最小值大于零，不等式即可證得．（3）通過題意分析先討論，可設(shè)x1＜1，x2＞1，利用第二問的結(jié)論可得f（x2）＞g（x2），根據(jù)對(duì)稱性將g（x2）換成f（2﹣x2），再利用單調(diào)性根據(jù)函數(shù)值的大小得到自變量的大小關(guān)系．【解答】解：（Ⅰ）解：f′（x）=（1﹣x）e﹣x令f′（x）=0，解得x=1當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表x（﹣∞，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣f（x）極大值所以f（x）在（﹣∞，1）內(nèi)是增函數(shù)，在（1，+∞）內(nèi)是減函數(shù)．函數(shù)f（x）在x=1處取得極大值f（1）且f（1）=．（Ⅱ）證明：由題意可知g（x）=f（2﹣x），得g（x）=（2﹣x）ex﹣2令F（x）=f（x）﹣g（x），即F（x）=xe﹣x+（x﹣2）ex﹣2于是F'（x）=（x﹣1）（e2x﹣2﹣1）e﹣x當(dāng)x＞1時(shí)，2x﹣2＞0，從而e2x﹣2﹣1＞0，又e﹣x＞0，所以f′（x）＞0，從而函數(shù)F（x）在[1，+∞）是增函數(shù)．又F（1）=e﹣1﹣e﹣1=0，所以x＞1時(shí)，有F（x）＞F（1）=0，即f（x）＞g（x）．（Ⅲ）證明：（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）=0，由（I）及f（x1）=f（x2），則x1=x2=1．與x1≠x2矛盾．（2）若（x1﹣1）（x2﹣1）＞0，由（I）及f（x1）=f（x2），得x1=x2．與x1≠x2矛盾．根據(jù)（1）（2）得（x1﹣1）（x2﹣1）＜0，不妨設(shè)x1＜1，x2＞1．由（Ⅱ）可知，f（x2）＞g（x2），則g（x2）=f（2﹣x2），所以f（x2）＞f（2﹣x2），從而f（x1）＞f（2﹣x2）．因?yàn)閤2＞1，所以2﹣x2＜1，又由（Ⅰ）可知函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣∞，1）內(nèi)是增函數(shù)，所以x1＞2﹣x2，即x1+x2＞2．21.已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期；（Ⅱ）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位,再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的圖象,若關(guān)于的方程在區(qū)間上有解,求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：（I）由題意知的最小正周期（II）將的圖象向右平移個(gè)個(gè)單位后,得到的圖象,再將所得圖象所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,縱坐標(biāo)不變,得到的圖象.所以，因?yàn)?所以.在區(qū)間上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解,即函數(shù)與在區(qū)間上有且只有一個(gè)交點(diǎn),由正弦函數(shù)的圖象可知綜上所述：略22.(本小題滿分l2分)中國航母“遼寧艦”是中國第一艘航母，“遼寧”號(hào)以4臺(tái)蒸汽輪機(jī)為動(dòng)力，為保證航母的動(dòng)力安全性，科學(xué)家對(duì)蒸汽輪機(jī)進(jìn)行了170余項(xiàng)技術(shù)改進(jìn)，增加了某項(xiàng)新技術(shù)，該項(xiàng)新技術(shù)要進(jìn)入試用階段前必須對(duì)其中的三項(xiàng)不同指標(biāo)甲、乙、丙進(jìn)行通過量化檢測(cè)．假如該項(xiàng)新技術(shù)的指標(biāo)甲、乙、丙獨(dú)立通過檢測(cè)合格的概率分別為、、。指標(biāo)甲、乙、丙合格分別記為4分、2分、4分；若某項(xiàng)指標(biāo)不合格，則該項(xiàng)指標(biāo)記0分，各項(xiàng)指標(biāo)檢測(cè)結(jié)果互不影響．

(I)求該項(xiàng)技術(shù)量化得分不低于8分的概率；

(II)記該項(xiàng)新技術(shù)的三個(gè)指標(biāo)中被檢測(cè)合格的指標(biāo)個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．參考答案：解：（Ⅰ）該項(xiàng)新技術(shù)的三項(xiàng)不同指標(biāo)甲、乙、丙獨(dú)立通過檢測(cè)合格分別為