LQR和PID控制器在飛行器控制中的應(yīng)用畢鳳霞關(guān)洋劉冰姜雪瑩CONTENTS應(yīng)用背景ALQR狀態(tài)反饋調(diào)節(jié)器設(shè)計BPID控制器設(shè)計C仿真分析D考慮如下實際問題：飛行器的最優(yōu)高度控制，飛行器的控制方程如下

其中是飛行器的高度，是油門輸入，試設(shè)計控制律，使得如下性能指標(biāo)最小：問題產(chǎn)生初始狀態(tài)為:對如下給定的Q、R矩陣進(jìn)行仿真和分析:

①②③④

線性二次型（LQR）

狀態(tài)調(diào)節(jié)器設(shè)計1Part

所謂狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題，就是要求系統(tǒng)的狀態(tài)保持在平衡狀態(tài)附近。當(dāng)某種原因是系統(tǒng)的狀態(tài)偏離平衡狀態(tài)時，就對系統(tǒng)進(jìn)行控制使之回到原平衡狀態(tài)。對于線性定常系統(tǒng)，任何平衡狀態(tài)通過線性變換可轉(zhuǎn)化為零狀態(tài)。為了方便起見，通常將系統(tǒng)的零狀態(tài)取為平衡狀態(tài)。

有限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器只考查系統(tǒng)由任意初態(tài)恢復(fù)到平衡狀態(tài)的行為，且性能指標(biāo)只能在恢復(fù)過程中的狀態(tài)偏差、控制量大小及終端誤差之間取得一個合理折中。然而，實際工程問題的要求是，除了保證有限時間內(nèi)系統(tǒng)對非零初態(tài)的響應(yīng)具有最優(yōu)性外，還要求系統(tǒng)具有保持平衡狀態(tài)的能力。這種既有最優(yōu)性要求，又有穩(wěn)定性要求的問題只能用無線時間調(diào)節(jié)器理論去解決。即要求設(shè)線性時變系統(tǒng)狀態(tài)方程為：性能指標(biāo)為：式中，向量，矩陣

對于無限時間時變狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題，若陣對完全可控，則存在唯一的最優(yōu)控制最優(yōu)性能指標(biāo)為式中：是對稱，非負(fù)的，而P(t)是如下黎卡提方程及其邊界條件的唯一解

設(shè)計無限時域控制器之前，首先判斷系統(tǒng)是否可控，在MATLAB中應(yīng)用如下命令求判斷系統(tǒng)能控性

若系統(tǒng)可控，則繼續(xù)求解黎卡提方程，解出系統(tǒng)的反饋矩陣，從而求出最優(yōu)控制律使系統(tǒng)的性能指標(biāo)最小。在MATLAB中提供了求解代數(shù)黎卡提方程的lqr()函數(shù),其調(diào)用格式為：狀態(tài)調(diào)節(jié)器最優(yōu)控制閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下所示：

LQR即線性二次型調(diào)節(jié)器，其對象是現(xiàn)在控制理論中以狀態(tài)空間形式給出的線性系統(tǒng)，而目標(biāo)函數(shù)為對象狀態(tài)和控制輸入的二次型函數(shù)，在現(xiàn)代控制理論中占有非常重要的位置，受到控制界的普遍重視。LQR控制方法的優(yōu)勢在于其控制方案簡單，超調(diào)量小，且響應(yīng)速度快。2SECTIONPID控制器

PID控制器是根據(jù)PID控制原理對整個控制系統(tǒng)進(jìn)行偏差調(diào)節(jié)，從而使被控變量的實際值與工藝要求的預(yù)定值一致。不同的控制規(guī)律適用于不同的生產(chǎn)過程，必須合理選擇相應(yīng)的控制規(guī)律，否則PID控制器將達(dá)不到預(yù)期的控制效果。PID控制器既有比例作用的及時迅速，又有積分作用的消除余差能力，還有微分作用的超前控制功能。當(dāng)偏差階躍出現(xiàn)時，微分立即大幅度動作，抑制偏差的這種躍變；比例也同時起消除偏差的作用，使偏差幅度減小，由于比例作用是持久和起主要作用的控制規(guī)律，因此可使系統(tǒng)比較穩(wěn)定；而積分作用慢慢把余差克服掉。只要三個作用的控制參數(shù)選擇得當(dāng)，便可充分發(fā)揮三種控制規(guī)律的優(yōu)點，得到較為理想的控制效果。仿真3partLQR控制器：應(yīng)用MATLAB進(jìn)行仿真，通過lqr()函數(shù)來求解系統(tǒng)的反饋矩陣K(t)

,進(jìn)而求出控制律。在仿真過程中通過改變Q陣和R陣來觀察系統(tǒng)特性的變化所畫的狀態(tài)響應(yīng)曲線及控制輸入U的響應(yīng)曲線如下圖所示：（1）Q=diag(1,0,0),R=2時，由MATLAB求得最優(yōu)狀態(tài)反饋矩陣為（2）Q=diag(1,0,0),R=2000時，由MATLAB求得最優(yōu)狀態(tài)反饋矩陣為（3）Q=diag(10,0,0),R=2時，由MATLAB求得最優(yōu)狀態(tài)反饋矩陣為（4）Q=diag(1,100,0),R=2時，由MATLAB求得最優(yōu)狀態(tài)反饋矩陣為PID控制器：PID控制時仿真效果如下：

仿真圖分析：增大R對比（1）（2）可知，當(dāng)Q不變，R增大時，達(dá)到穩(wěn)態(tài)所需時間變長，即響應(yīng)時間變慢；但波動幅值變小，反饋矩陣變小。增大Q11時對比（1）（3）可知，當(dāng)Q對角線上第1個元素增大時，各相應(yīng)曲線達(dá)到穩(wěn)態(tài)所需時間變短，即響應(yīng)快；但波動幅值變大，反饋矩陣增大。增大Q22時對比（1）（4）可知，當(dāng)Q對角線上第2個元素增大時，x1、x2曲線達(dá)到穩(wěn)態(tài)所需時間較長，即響應(yīng)較慢，平緩地趨近與零；狀態(tài)x3，控制輸入U達(dá)到穩(wěn)態(tài)所需時間變短，即響應(yīng)快；反饋矩陣最大。

綜上所述，Q=diag(1,0,0)，R=2時，系統(tǒng)各方面響應(yīng)較好。矩陣Q變大時，反饋矩陣變大；當(dāng)Q對角線上第1個元素變大時，各曲線波動幅值變大，達(dá)到穩(wěn)態(tài)所需時間變短；當(dāng)Q對角線上第2個元素變大時，各曲線波動幅值變大，達(dá)到穩(wěn)態(tài)所需時間，狀態(tài)x1、x2增長，狀態(tài)x3，控制輸入U變短；當(dāng)R變大時，反饋矩陣變小，各曲線波動幅值變小，達(dá)到穩(wěn)態(tài)時間變長。根據(jù)實際的系統(tǒng)允許，應(yīng)該適當(dāng)選擇Q和R。根據(jù)性能指標(biāo)函數(shù)的調(diào)試經(jīng)驗可知，當(dāng)Q（t）矩陣中的某一元素的權(quán)值響應(yīng)增加時，系統(tǒng)的快速響應(yīng)性得到提高，同樣系統(tǒng)會產(chǎn)生自激，系統(tǒng)損耗了更多的能量，如同PID控制中增大P值的效果。當(dāng)R（t）陣中某一元素的權(quán)值增大時，系統(tǒng)響應(yīng)遲鈍，抖動幅度小，消耗的能量減小，動態(tài)性能差?？傊?，Q（t）、R（t）的選擇原則是：如果想提高控制的快速響應(yīng)性，可以增大Q（t）中相關(guān)元素的比重。如果想要抑制控制量的幅值及其消耗的能量，可以增大R（t）中相關(guān)元素的比值。LQR&PID狀態(tài)X3和ULOREMIPSUMDOLORLoremipsumdolorsitamet,consecteturadipisicingelit,seddoeiusmodtemporincididuntutlaboreetdoloremagnaaliqua.Utenimadminimveniam,quisnostrudexercitationullamcolaborisnisiutaliquipexeacommodoconsequat.LOREMIPSUMDOLORLoremipsumdolorsitamet,consecteturadipisicingelit,seddoeiusmodtemporincididuntutlaboreetdoloremagnaaliqua.Utenimadminimveniam,quisnostrudexercitationullamcolaborisnisiutaliquipexeacommodoconsequat.LOREMIPSUMDOLORLoremipsumdolorsitamet,consecteturadipisicingelit,sed