紅嶺中學(xué)2023－2024學(xué)年度第一學(xué)期第一學(xué)段考試高二數(shù)學(xué)試卷(說(shuō)明:本試卷考試時(shí)間為120分鐘,滿分為150分)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.4．M(x0,y0)為圓x2+y2=1內(nèi)異于圓心的一點(diǎn)，則直線x0x+y0y=1與該圓的位置關(guān)系為A．相切B．相交C．相離D．相切或相交5．已知正方體ABCD—A1B1C1D1，則下列各式運(yùn)算結(jié)果不是AC1的為(A．AB+AD+AA1B．AC+CC1+AB6．圓(x+1)2+(y—1)2=4上7．如圖，在正四面體OABC中，E，F(xiàn)分別為AB，OC的中點(diǎn)，則異面直線OE與BF所成角的余弦值為() 點(diǎn)P，則P到直線x+y=0的距離d的取值范圍是()3,23)二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9．經(jīng)過點(diǎn)P(6,-3)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程可能為()10．已知α,β為兩個(gè)不同的平面，m,n,l為三條不同的直線，則下列結(jié)論中不一定成立的A．若α丄β,l/α,則l/βD．若l//m,l//n，且mα,nβ,則α//β11．已知直線l：y=kx+2k+2(k∈R)與圓C：x2+y2-2y-8=0．則下列說(shuō)法正確的是A．直線l過定點(diǎn)(-2,2)B．直線l與圓C相離C．圓心C到直線l距離的最大值是2·D．直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最小值為412．如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E,F,G分別是棱AD,A．直線A1G,C1E為異面直線丄平面EFGC．過點(diǎn)B,E,F的平面截正方體的截面面積為D．點(diǎn)P是側(cè)面B1BCC1內(nèi)一點(diǎn)（含邊界D1P//平面BEF，則DP的取值范圍是三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.16．正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)P是該正四面體內(nèi)切球球面上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P--A.-取得最小值時(shí)，點(diǎn)P到AD的距離為.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17．已知點(diǎn)A(0,2)和直線l:x-2y-1=0.(1)求過點(diǎn)A且與直線l垂直的直線的一般方程;(2)求與直線l平行且與l之間的距離為的直線的一般方程.18．在ΔABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，(2b-c)cosA=acosC.(1)求A的大??；點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD，PC的中點(diǎn).(1)證明：DF//平面PBE；(2)求點(diǎn)F到平面PBE的距離.20．已知點(diǎn)A(4,4),B(0,3)，圓C的圓心坐標(biāo)為C(3,2)，半徑為1.（1）過點(diǎn)A作圓C的切線，求此切線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)E(2,0)，F(xiàn)(0,-2)，P為圓C上任意一點(diǎn)，求|PE|2+|PF|2的最大值；(1)證明：A1在底面ABC上的射影是線段BC的(2)求直線AC1與平面A1B1C所成角的余弦值.22．已知圓C經(jīng)過點(diǎn)A(4,1)，B(3,0)，D(0,-1)，點(diǎn)P是圓C上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于直線l:x-y-1=0的對(duì)稱點(diǎn)為Q.（1）求圓C的一般方程；（2）設(shè)點(diǎn)F(2,-1)，在直線y=-1上是否存在一點(diǎn)G（異于點(diǎn)F使得（常數(shù)）.若存在，請(qǐng)求出G的坐標(biāo)及常數(shù)k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.紅嶺中學(xué)2023－2024學(xué)年度第一學(xué)期第一學(xué)段考試高二數(shù)學(xué)試卷(說(shuō)明:本試卷考試時(shí)間為120分鐘,滿分為150分)一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.【答案】【答案】A【分析】直接應(yīng)用斜率公式進(jìn)行求解即可.的斜率為故選：A2．已知點(diǎn)，則）【答案】B【分析】直接利用空間向量的坐標(biāo)表示計(jì)算數(shù)量積即可.故選：B3．設(shè)直線l1：3x+2ay5=0，l2：(3a1)x【答案】【答案】B【分析】通過兩條直線平行的關(guān)系，可建立關(guān)于a的方程，解方程求得結(jié)果.本題正確選項(xiàng)：B【點(diǎn)睛】本題考查直線位置關(guān)系問題．關(guān)鍵是通過兩直線平行，得到：【點(diǎn)睛】本題考查直線位置關(guān)系問題．關(guān)鍵是通過兩直線平行，得到：A1B2一A2B1=0.4．M(x0,y0)為圓x2+y2=1內(nèi)異于圓心的一點(diǎn)，則直線x0x+y0y=1與該圓的位置關(guān)系為A．相切B．相交C．相離D．相切或相交【答案】【答案】C【分析】由題意可得x+y<1，結(jié)合圓心到直線x0x+y0y=1的距離判斷與半徑的大小關(guān)系，即得答案.【詳解】由題意知M(x0,y0)為圓x2+y2=1內(nèi)異于圓心的一點(diǎn)，故直線x0x+y0y=1與該圓的位置關(guān)系為相離，故選：C11DB1D1【答案】B【分析】利用向量加法的線性運(yùn)算對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一驗(yàn)證即可.【詳解】選項(xiàng)B中，AB+AC+CC1=AB+(AC+CC1)=ABDCAC1.故選：故選：B.2【答案】【答案】C【分析】先根據(jù)方程判斷直線與圓的關(guān)系，根據(jù)半徑及距離判斷點(diǎn)的個(gè)數(shù).則直線l與圓相交，由圓的半徑為2知，圓上到直線的距離為1的點(diǎn)有3個(gè).故選：C7．如圖，在正四面體OABC中，E，F(xiàn)分別為AB，OC的中點(diǎn)，則異面直線OE與BF所成角的余弦值為()【答案】D【分析】利用正四面體的性質(zhì)、向量的線性運(yùn)算、向量的數(shù)量積運(yùn)算即可得解.【詳解】解：設(shè)正四面體OABC棱長(zhǎng)為1，a=b=c:arcb.crc..2∵E，F(xiàn)分別為AB，OC的中點(diǎn)，△OAB，△OBC是等邊三角形，∴異面直線OE與BF所成角的余弦值為故答案為：D.2.3點(diǎn)P，則P到直線x+y=0的距離d的取值范圍是()C．[3,33)D．[2,22)【答案】【答案】A【分析】先求出直線l1和l2的定點(diǎn)，即可推出點(diǎn)P的軌跡方程，將原問題轉(zhuǎn)化為兩圓之間的位置關(guān)系，即可求解.恒過(3,1)，同理可得，直線l2恒過(1,3):兩條直線的交點(diǎn)P在以(1,3)，(3,1)為直徑的圓上，即P的軌跡方程為(x2)22故d的取值范圍是[2,32).故選：B.解法二：聯(lián)立兩條直線的方程，解得交點(diǎn)P的坐標(biāo)為故得d的取值范圍是[2,32).二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.9．經(jīng)過點(diǎn)P(6,—3)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線的方程可能為()B．x-y-9=0D．2x-y-15=0【答案】AC【分析】根據(jù)截距的定義，分類討論截距均為0和截距均不為0的情況，計(jì)算可得答案.【詳解】若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均為0，則直線的方程為x+2y=0，A正確；若直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為0，可設(shè)直線的方程為=1，將P代入方程得a=3，則直線的方程為x+y-3=0，C正確.故選：AC10．已知α,β為兩個(gè)不同的平面，m,n,l為三條不同的直線，則下列結(jié)論中不一定成立的是A．若α丄β,l/α,則l/βD．若l//m,l//n，且mα,nβ,則α//β【答案】ACD【分析】對(duì)于ACD：結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征分析判斷；對(duì)于D：根據(jù)線面垂直的性質(zhì)分析判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：若α丄β,l/α,則l/β或l,β相交，例如在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD丄平面ADD1A1，且BC,BD平面ABCD，可知BC//平面ADD1A1，BD∩平面ADD1A1=D，故A不一定成立；對(duì)于選項(xiàng)C：若l丄m,l丄n，且lα,m,nβ,則α,β不一定垂直，例如在正方體例如在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，對(duì)于選項(xiàng)D：若l//m,l//n，且mα,nβ,則α//β不一定成立，例如在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面ABCD∩平面ADD1A1=AD，且BC平面ABCD，A1D1平面ADD1A1，可知BC//AD,A1D1//AD，故D不一定成立；故選：ACD.11．已知直線l：y=kx+2k+2(k∈R)與圓C：x2+y2-2y-8=0．則下列說(shuō)法正確的是A．直線l過定點(diǎn)(-2,2)B．直線l與圓C相離C．圓心C到直線l距離的最大值是2·D．直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最小值為4【答案】AD【分析】根據(jù)直線與圓的相關(guān)知識(shí)對(duì)各選項(xiàng)逐一判斷即可.令x+2=0，即x=-2，得y=2，所以直線l過定點(diǎn)(-2,2)，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?-2)2+22-2×2-8<0，所以定點(diǎn)(-2,2)在圓C：x2+y2-2y-8=0內(nèi)部，所以直線l與圓C相交，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)閳AC：x2+y2-2y-8=0，可化為x2+(y-1)2=9，圓心C(0,1)，當(dāng)圓心C與定點(diǎn)(-2,2)的連線垂直于直線l時(shí)，圓心C到直線l距離取得最大值，-d2可知，當(dāng)圓心C到直線l距離最大時(shí)，弦長(zhǎng)取得最小值，故選：AD.A．直線A1G,C1E為異面直線C．過點(diǎn)B,E,F的平面截正方體的截面面積為D．點(diǎn)P是側(cè)面B1BCC1內(nèi)一點(diǎn)（含邊界D1P//平面BEF，則DP的取值范圍是【答案】BCD【分析】A.根據(jù)平行關(guān)系的傳遞性，可證明EG∥A1C1，即可判斷；B.首先判斷平面EFG//平面ACD1,再利用線面垂直的判斷定理，即可證明；C.首先作出截面，再根據(jù)截面的形狀，求其面積；D.利用面面平行的形狀，確定點(diǎn)P的軌跡，再求DP的長(zhǎng)度.【詳解】對(duì)于A，連接EG,AC,A1C1，由題意可知EG∥AC，因?yàn)锳C∥A1C1，所以EG∥A1C1，所以A1G,C1E共面，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)镋F//AD1，EF丈平面ACD1，AD1平面ACD1，所以EF//平面ACD1，同理，EG//平面ACD1，且EF∩EG=E，EF,EG平面EFG,所以平面EFG//平面ACD1,連結(jié)BD，所以AC丄平面BDB1，B1D平面BDB1，所以B1D丄平面AD1C，且平面EFG//平面AD1C，所以B1D丄平面EFG，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，連接EF,FC1,EB,BC1，根據(jù)正方體的性質(zhì)可得EF∥BC1，且EF=BC1，所以平面EFC1B即為過點(diǎn)B,E,F的平面截正方體的截面，該四邊形為等腰梯形，所以截面面積為故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，取BB1的中點(diǎn)Q，B1C1的中點(diǎn)H，連結(jié)D1Q,QH,D1H，因?yàn)镈1F//BQ，且D1F=BQ，所以四邊形D1FBQ是平行四邊形，所以D1Q//BF，D1Q丈平面BEF，BF平面BEF，所以D1Q//平面BEF，因?yàn)镋F//AD1//BC1//HQ，HQ丈平面BEF，EF平面BEF，所以HQ//平面BEF，且HQ∩D1Q=Q，HQ,D1Q平面D1QH，所以平面D1QH//平面BEF，因?yàn)辄c(diǎn)P是側(cè)面B1BCC1內(nèi)一點(diǎn)（含邊界D1P//平面BEF，所以點(diǎn)P的軌跡為線段HQ，連接DQ,DH，+2+12-:DP的取值范圍為，故D錯(cuò)誤.故選：BCD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵在于八個(gè)定理的熟悉，特別是選項(xiàng)D的判斷，先通過面面平行找到P的軌跡，從而得到DP的取值范圍.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.22π【答案】120°或3【分析】化成斜截式方程得斜率為k=-3，進(jìn)而根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.【詳解】將直線一般式方程化為斜截式方程得：y=-所以直線的斜率為k=-3，所以根據(jù)直線傾斜角與斜率的關(guān)系得直線的傾斜角為120o.故填：120°或【答案】【答案】-3【分析】利用直線與平面垂直時(shí)直線的方向向量與平面法向量的關(guān)系及向量共線定理即可求解.【詳解】因?yàn)镺A丄α,所以O(shè)A//n，設(shè)OA=λn，則(-3,y,2)=λ(6,-2,z)，故答案為：-3.15．若圓x2+y2=4與圓x2+y2+2x+ay-8=0的公共弦長(zhǎng)為2，則a【答案】【答案】±2【分析】利用兩圓方程相減求出公共弦所在直線方程，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，利用幾何法求弦長(zhǎng)列出方程，解方程即可.【詳解】圓x2+y2+2x+ay-8=0與圓x2+y2=4兩式相減，整理得公共弦所在直線方程為2x+ay-4=0，又x2+y2=4，圓心為O(0,0)，半徑為2，公共弦長(zhǎng)為22，則圓心O(0,0)到直線2x+ay-4=0的距離化簡(jiǎn)得2(a2+4)=16，解得：a=±2．驗(yàn)證知符合題意.故填：±2.最小值時(shí)，點(diǎn)P到AD的距離為.【答案】【答案】.2【分析】根據(jù)正四面體的體積可求出內(nèi)切球的半徑，取AD的中點(diǎn)為E，PA.PD=PE—4，【詳解】因?yàn)樗拿骟w【詳解】因?yàn)樗拿骟wABCD是棱長(zhǎng)為1的正四面體，所以其體積為所以其體積為×1×1×6.設(shè)正四面體ABCD內(nèi)切球的半徑為r，則4××1×1×3×r=得r=6.如圖，取AD的中點(diǎn)為E，則PA.PD如圖，取AD的中點(diǎn)為E，則PA.PD=(PE+EA).(PE+ED)22.=PE+PE.(EA+ED)+EA.E.466設(shè)正四面體內(nèi)切球的球心為O，可求得OA=OD=所以球所以球O上的點(diǎn)P到點(diǎn)E的最小距離為d—r=—=，326.326.故填：故填：.326【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查幾何體的內(nèi)切球問題，解題的關(guān)鍵是先根據(jù)正四面體的體積可求出內(nèi)切球的半徑，得出點(diǎn)P到AD的距離為球心O到點(diǎn)E的距離減去半徑.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17．已知點(diǎn)A(0,2)和直線l:x-2y-1=0.(1)求過點(diǎn)A且與直線l垂直的直線的一般方程;(2)求與直線l平行且與l之間的距離為·的直線的一般方程.【答案】(1)2x+y-2=0，(2)x-2y+4=0或x-2y-6=0【分析】（1）確定直線的斜率，即可寫出直線的點(diǎn)斜式方程，化為一般式方程，即得答案；（2）設(shè)出所求直線的方程，用兩條直線之間的距離公式求解，即可求得答案.12【詳解】（1）直線l:x-2y-1=12所以過點(diǎn)A且與直線l垂直的直線的斜率為-2，故所求方程為y-2=-2(x-0)，即2x+y-2=0；------------------------------------5分（2）設(shè)所求直線的方程為x-2y+c=0，則,即|c+1|=5，解得c=4或∴所求直線的方程為x-2y+4=0或x-2y-6=0.-----------------------------------10分18．在ΔABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，(2b-c)cosA=acosC.(1)求A的大?。?b=2，求ΔABC的面積.(2)323【分析】（1）由正弦定理及兩角和的正弦公式即可得解；（2）由余弦定理求出a=7，再由面積等積法求解即可.:2sinBcosA=sinCcosA+sinAcosC，:2sinBcosA=sin(A+C)，:A+C=πB，:2sinBcosA=sinB,因?yàn)?<A<π,所以A=.---------------------------------------------------------------------6分22所以SΔABC=bcsinA=.------------------------------------------------------------12分19．如圖，四邊形ABCD為正方形，PD丄平面ABCD，PD=DC=2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為AD，PC的中點(diǎn).(1)證明：DF//平面PBE；(2)求點(diǎn)F到平面PBE的距離.【答案】【答案】(1)見解析【分析】(1)取PB的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，則可證DF//EG，進(jìn)而由線面平行的判定定理即可得證；（2）DF//平面PBE，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)D到平面PBE的距離，再由等體積法求解.【詳解】解法一1）取PB的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，如圖，則FG//BC，且FG=∵DE//BC且DE=BC，:DE//FG且DE=FG，:四邊形DEGF為平行四邊形，:DF//EG，又EG平面PBE，DF丈平面PBE，:DF//平面PBE；-----------------------------5分（2）因?yàn)镈F//平面PBE，所以點(diǎn)D到平面PBE的距離與F到平面PBE的距離是相等的，故轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)D到平面PBE的距離，設(shè)為d.即S△PBE.d=S△BDE.PD6．即點(diǎn)F到平面PBE的距離為.----------------------------------------12分解法二：向量法（略）20．已知點(diǎn)A(4,4),B(0,3)，圓C的圓心坐標(biāo)為C(3,2)，半徑為1.（1）過點(diǎn)A作圓C的切線，求此切線的方程；（2）設(shè)點(diǎn)E(2,0)，F(xiàn)(0,—2)，P為圓C上任意一點(diǎn)，求|PE|2+|PF|2的最大值；【分析】（1）根據(jù)圓心到直線的距離分直線斜率存在與不存在求解；（2）設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，計(jì)算化簡(jiǎn)|PE|2+|PF|2的表達(dá)式，然后尋求其幾何意義求解，或進(jìn)行三角代換，求最大值；【詳解】（1）由題意得圓C標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+(y-2)2=1，C（3，2r=1,當(dāng)切線的斜率存在時(shí)，設(shè)切線方程為y-4=k(x-4)，當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，切線方程為x=4，滿足題意；所以切線的方程為x=4或3x-4y+4=0.---------------------------------------------------6分（2）方法一：設(shè)點(diǎn)P(x,y)，則(x-3)2+(y-2)2=1，:|PE|2+|PF|2=(x-2)2+y2+x2+(y+2)2=2(x2+y2-2x+2y+4)設(shè)點(diǎn)M(1,-1)，則|PE|2+|PF|2=2|PM|2+4 即|PE|2+|PF|2的最大值為32+413；--------------------------------------------------12分方法二：設(shè)點(diǎn)P(x,y)，則(x-3)2+(y-2)2=1，即x2+y2=6x+4y-12，:|PE|2+|PF|2=(x-2)2+y2+x2+(y+2)2=4(2x+3y)-16設(shè)2x+3y=t，則直線2x+3y-t=0與圓C有公共點(diǎn)，:圓心C到直線2x+3y-t=0的距離≤r=1，2的最大值為32+4；12分|2的最大值為32+4；12分|PF|方法三：設(shè)點(diǎn)P(x,y)，則(x-3)2+(y-2)2=1，設(shè)x=cosθ+3,y=sinθ+2，則(x-2)2+y2+x2+(y+2)2=4(2cosθ+3sinθ)+32=4-sin(θ+φ)+32 故得|PE|2+|PF|2的最大值為32+413；--------------------------------------------------12分(1)證明：A1在底面ABC上的射影是線段BC的中點(diǎn)；(2)求直線AC1與平面A1B1C所成角的余弦值.【答案】(1)證明見詳解；(2)3【分析】（1）先根據(jù)勾股定理可證AB丄AC，結(jié)合三線合一可證AC丄平面A1MN、BC丄平面AA1M，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)和判定證明2）建系，求出平面A1B1C的法向量m，利用空間向量求線面角的正弦sinθ=【詳解】解法一1）取線段BC、AC的中點(diǎn)M、N，連接AM,MN,A1M,A1N，:BC2=AC2+AB2，于是AB丄AC，∵M(jìn)N∥AB，:MN丄AC，又∵△AA1C為等邊三角形且N為AC的中點(diǎn)，:A1N丄AC，又∵M(jìn)N∩A1N=N，且MN,A1N平面A1MN，:AC丄平面A1MN，∵A1M平面A1MN，:A1M丄AC，又∵AB=AC且M為BC的中點(diǎn)，:AM丄BC，又∵AA1丄BC，AM∩AA1=A，且AM,AA1平面AA1M，:BC丄平面AA1M，∵A1M平面AA1M，:A1M丄BC，又∵AC∩BC=C，且AC,BC平面ABC，:A1M丄平面ABC，即A1在底面ABC上的射影是線段BC中點(diǎn)M；-------------------------------------------------6分令令又設(shè)直線AC1與平面A1B1C所成角的角為θ,則θ∈,直線AC1與平面A1B1C所成角的余弦值為1.12分3解法二1）取線段BC的中點(diǎn)M，設(shè)AA1=a，AB=b，AC=c，則由題意可得:a.b=1，代入條件化簡(jiǎn)，可得c.b=0，:AB1丄A