立體幾何中的向量方法二：求空間距離1.點(diǎn)到平面的距離定義：一點(diǎn)到它在一個(gè)平面內(nèi)的正射影的距離叫做點(diǎn)到平面的距離。即這個(gè)點(diǎn)到平面垂線段的長(zhǎng)度。幾何法：利用定義先作出點(diǎn)P到平面的垂線段PO，再歸結(jié)到某三角形中計(jì)算PO的長(zhǎng)度或用等體積法。PO

點(diǎn)到平面的距離公式PA如圖，設(shè)P是平面α外一點(diǎn)，點(diǎn)P到α的距離為d,作PO⊥α于O,A是α內(nèi)任一點(diǎn),n是平面α的法向量，則Od例1.已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，求點(diǎn)B到平面GEF的距離。DABCGFE解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,則xyzSBCDA解：如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,則C(1,1,0),xyz練習(xí)1：如圖SA⊥平面ABCD,∠DAB=∠ABC=90,SA=AB=BC=1，AD=2，求點(diǎn)A到平面SCD的距離。∠2.直線到平面的距離定義：與平面平行的直線上任一點(diǎn)到平面的距離，叫做這條直線到這個(gè)平面的距離。由以上定義可知,直線與平面的距離,本質(zhì)上是點(diǎn)到平面的的距離,所以，計(jì)算公式還是：PdAO如圖建立直角坐標(biāo)系,則B(2,2,0),練習(xí)2.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,M,N分別是BC和CD的中點(diǎn),求直線BD與平面C1MN的距離.xyz解:∵BD//平面C1MN,∴只需求點(diǎn)B與平面C1MN的距離，3.兩個(gè)平行平面的距離★和兩個(gè)平行平面同時(shí)垂直的直線，叫做這兩個(gè)平面的公垂線。公垂線夾在平行平面間的部分，叫做這兩個(gè)平面的公垂線段?！飪蓚€(gè)平行平面的公垂線段都相等，公垂線段長(zhǎng)小于或等于任一條夾在這兩平行平面間的線段長(zhǎng)?！飪蓚€(gè)平行平面的公垂線段的長(zhǎng)度，叫做兩個(gè)平行平面的距離?！锴髢善叫衅矫娴木嚯x，其實(shí)就是求點(diǎn)到平面的距離。★所以計(jì)算公式還是:βdAOPα如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E,F,M,N分別為A1B1,A1D1,B1C1,C1D1

的中點(diǎn).

(1)求證：平面AEF∥平面BDMN;(2)求平面AEF和平面BDMN的距離.xyzO例2.

4.異面直線的距離α★和兩條異面直線都垂直相交的直線，叫做兩條異面直線的公垂線。★兩條異面直線的公垂線夾在異面直線間的部分，叫做這兩條異面直線的公垂線段?！飪蓷l異面直線的公垂線的長(zhǎng)度，叫做兩條異面直線的距離．

異面直線的距離公式如圖，設(shè)CD是異面直線a,b的公垂線段,P是直線a上任意一點(diǎn),A是直線b上任意一點(diǎn),兩條異面直線的距離為d,

是與異面直線a,b都垂直的向量，則dbAPCDa例3.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，求異面直線DA1與AC的距離。ABDCA1B1C1D1xyz解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系,則

ABCDMNxyz練習(xí)3.在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中AB=4,AD=3,AA1=2,M,N分別為CD,BB1的中點(diǎn),求異面直線MN與A1B的距離.5.點(diǎn)與直線的距離定義：從直線外一點(diǎn)P向直線引垂線，點(diǎn)P和垂足O之間的距離叫做點(diǎn)P到直線的距離。dPAO★設(shè)A是上不同于垂足O的一點(diǎn)，是的方向向量，則★點(diǎn)與線的距離的計(jì)算方法較多，下面介紹一種。例4：三棱錐P—ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，且PA=PB=3，PC=6，D是PC的中點(diǎn)，G是△ABC的重心，求G到直線AD的距離。ABCxyzpGD解:如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由重心坐標(biāo)公式得G（1,1,2），小結(jié)：1：空間距離包括點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與線、點(diǎn)與面，線與線（平行或異面）、線與面、面與面六種形式。但可化歸為點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與線、點(diǎn)與面、線與線（異面）四種形式。2：點(diǎn)與面、線與面、面與面、線與線（異面）有統(tǒng)一形式的計(jì)算公式補(bǔ)充.如圖,已知一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平