山西省呂梁市鴉溝中學2021年高三數(shù)學理下學期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知雙曲線C：的焦距為10，點P（2,1）在C的漸近線上，則C的方程為（）A．

B．

C．

D．參考答案：A設雙曲線C：-=1的半焦距為，則.又C的漸近線為，點P（2,1）在C的漸近線上，，即.又，，C的方程為-=1.2.向面積為S的△ABC內任投一點P，求△PBC的面積小于的概率為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B略3.已知實數(shù)滿足則的最大值是．

A.

B.

C.

D.參考答案：C略4.命題“”為真命題的一個充分不必要條件是（

）A．

B.

C.

D.參考答案：C5.已知三棱錐的俯視圖與側視圖如圖所示，俯視圖是邊長為2的正三角形，側視圖是有一條直角邊為2的直角三角形，則該三棱錐的正視圖可能為

（

）參考答案：【知識點】幾何體的三視圖.

G2【答案解析】C

解析：由三棱錐的俯視圖與側視圖可知，此三棱錐的直觀圖如下，所以該三棱錐的正視圖可能為C.故選C.【思路點撥】由三棱錐的俯視圖與側視圖可得此三棱錐的直觀圖，從而得此三棱錐的的正視圖的形狀.6.在下列向量組中，可以把向量表示出來的是（

）A.

B.

C.

D.

參考答案：B7.已知雙曲線C1：﹣y2=1，雙曲線C2：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，M是雙曲線C2一條漸近線上的某一點，且OM⊥MF2，若C1，C2的離心率相同，且S=16，則雙曲線C2的實軸長為（）A．4 B．8 C．16 D．32參考答案：C【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】求得雙曲線C1的離心率，求得雙曲線C2一條漸近線方程為y=x，運用點到直線的距離公式，結合勾股定理和三角形的面積公式，化簡整理解方程可得a=8，進而得到雙曲線的實軸長．【解答】解：雙曲線C1：﹣y2=1的離心率為，設F2（c，0），雙曲線C2一條漸近線方程為y=x，可得|F2M|===b，即有|OM|==a，由S=16，可得ab=16，即ab=32，又a2+b2=c2，且=，解得a=8，b=4，c=4，即有雙曲線的實軸長為16．故選：C．8.設三位數(shù)n=，若以a，b，c為三條邊長可以構成一個等腰(含等邊)三角形，則這樣的三位數(shù)n有(

)

A．45個

B．81個

C．165個

D．216個參考答案：C解：⑴等邊三角形共9個；⑵等腰但不等邊三角形：取兩個不同數(shù)碼(設為a，b)，有36種取法，以小數(shù)為底時總能構成等腰三角形，而以大數(shù)為底時，b<a<2b．a=9或8時，b=4，3，2，1，(8種)；a=7，6時，b=3，2，1(6種)；a=5，4時，b=2，1(4種)；a=3，2時，b=1(2種)，共有20種不能取的值．共有236－20=52種方法，而每取一組數(shù)，可有3種方法構成三位數(shù)，故共有523=156個三位數(shù)即可取156+9=165種數(shù)．選C．9.由曲線y=x2+1、直線y=﹣x+3，x軸與y軸所圍成圖形的面積為（）A．3 B． C． D．參考答案：B【考點】6G：定積分在求面積中的應用．【分析】求出交點坐標，利用定積分知識，即可求解．【解答】解：曲線y=x2+1、直線y=﹣x+3聯(lián)立可得x2+x﹣2=0，∴x=﹣2或1，∴由曲線y=x2+1、直線y=﹣x+3，x軸與y軸所圍成圖形的面積為+=+2=，故選B．【點評】本題考查了利用定積分求曲邊梯形的面積，關鍵是利用定積分表示出面積．10.已知的圖象過點(2,1)，則函數(shù)

的值域為………………（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知點，橢圓與直線交于點、，則的周長為__________參考答案：812.若變量x，y滿足約束條件且z＝5y－x的最大值為a，最小值為b，a－b的值是____________參考答案：解析：本題主要考查線性規(guī)劃的應用，意在考查考生對基礎知識的掌握．約束條件表示以(0,0)，(0,2)，(4,4)，(8,0)為頂點的四邊形區(qū)域，檢驗四個頂點的坐標可知，當x＝4，y＝4時，a＝zmax＝5×4－4＝16；當x＝8，y＝0時，b＝zmin＝5×0－8＝－8，∴a－b＝24.13.已知定義域為R的函數(shù)滿足，且，

則=

；參考答案：14.在△ABC中，D為AB的一個三等分點，AB=3AD，AC=AD，CB=3CD，則cosB=．參考答案：【考點】余弦定理．【專題】計算題；轉化思想；數(shù)形結合法；解三角形．【分析】令AC=AD=1，CD=m＞0，可求AB=3，BC=3m，利用余弦定理可得關于cosA的等式，解得m的值，利用余弦定理即可求cosB的值．【解答】解：令AC=AD=1，CD=m＞0，則：AB=3，BC=3m，則利用余弦定理可得：．∴．故答案為：．【點評】本題主要考查了余弦定理在解三角形中的應用，考查了計算能力和轉化思想，數(shù)形結合思想，屬于中檔題．15.若直線y=kx+b是曲線y=ex+2的切線，也是曲線y=ex+1的切線，則b=．參考答案：4﹣2ln2【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程．【分析】設直線y=kx+b與y=ex+2和y=ex+1的切點分別為和，分別求出切點處的直線方程，由已知切線方程，可得方程組，解方程可得切點的橫坐標，即可得到b的值．【解答】解：設直線y=kx+b與y=ex+2和y=ex+1的切點分別為和，則切線分別為，，化簡得：，，依題意有：，所以．故答案為：4﹣2ln2．【點評】本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程，考查導數(shù)的幾何意義，正確求得導數(shù)和設出切點是解題的關鍵，考查運算能力，屬于中檔題．16.已知函數(shù)，，則的最小值為_____________.參考答案：1略17.將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：按照以上排列的規(guī)律，第n行（n≥3）從左向右的第3個數(shù)為

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.現(xiàn)有一元人民幣3張，五元人民幣2張，拾元人民幣4張，伍拾元人民幣1張，從中至少取一張（多取不限），共可取得多少種不同的幣值？參考答案：解析：注意到取2張五元人民幣與取1張拾元人民幣幣值相同，不能算為兩種不同取法。為避免重復，將4張拾元人民幣“換作”8張五元人民幣，1張五十元人民幣“換作”10張五元人民幣。于是所給問題等給于：有1元人民幣3張、五元人民幣20元，從中至少取一張（多取不限），可取得多少種不同幣值？

將取幣的過程看作二重選擇過程：從3張1元人民幣中有取0、1、2、3張等4種不同取法，從20張五元人民幣中有取0，1，2，…，20張等21種不同取法。于是由乘法原理知，有4×21=84種不同幣值。但是，這是須除去1元和五元都沒有的情形，因此，共可取得83種不同幣值。

點評：注意從中學習問題轉化的策略。19.（12分）記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，已知a1=－7，S3=－15．（1）求{an}的通項公式；（2）求Sn，并求Sn的最小值．參考答案：解：（1）設{an}的公差為d，由題意得3a1+3d=–15．由a1=–7得d=2．所以{an}的通項公式為an=2n–9．（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．所以當n=4時，Sn取得最小值，最小值為–16．

20.已知復數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)在復平面上對應的點為M.(1)設集合P＝{－4，－3，－2,0}，Q＝{0,1,2}，從集合P中隨機取一個數(shù)作為x，從集合Q中隨機取一個數(shù)作為y，求復數(shù)z為純虛數(shù)的概率；(2)設x∈[0,3]，y∈[0,4]，求點M落在不等式組：所表示的平面區(qū)域內的概率．參考答案：解：(1)記“復數(shù)z為純虛數(shù)”為事件A.∵組成復數(shù)z的所有情況共有12個：－4，－4＋i，－4＋2i，－3，－3＋i，－3＋2i，－2，－2＋i，－2＋2i,0，i,2i，且每種情況出現(xiàn)的可能性相等，屬于古典概型，其中事件A包含的基本事件共2個：i,2i，∴所求事件的概率為P(A)＝＝.(2)依條件可知，點M均勻地分布在平面區(qū)域內，屬于幾何概型．該平面區(qū)域的圖形為右圖中矩形OABC圍成的區(qū)域，面積為S＝3×4＝12.而所求事件構成的平面區(qū)域為，其圖形如圖中的△OAD(陰影部分)．又直線x＋2y－3＝0與x軸、y軸的交點分別為A(3,0)、D，∴△OAD的面積為S1＝×3×＝.∴所求事件的概率為P＝＝＝.略21.（本題滿分14分）如圖，已知菱形的邊長為，,.將菱形沿對角線折起，使，得到三棱錐.(Ⅰ)若點是棱的中點，求證:平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值；（Ⅲ）設點是線段上一個動點，試確定點的位置，使得，并證明你的結論.參考答案：（Ⅰ）因為點是菱形的對角線的交點,所以是的中點.又點是棱的中點,所以.

（2分）因為平面,平面,所以平面.

（4分）（Ⅱ）由題意,,因為,所以,.（5分）又因為菱形,所以,.建立空間直角坐標系,如圖所示..所以（6分）設平面的法向量為,則有即：令,則,所以.（8分）因為,所以平面.平面的法向量與平行,所以平面的法向量為.（9分）,因為二