§1.2有限元法有限元法以數(shù)學(xué)上的變分法或加權(quán)余量法為基礎(chǔ)，由變分法導(dǎo)出的變分表達(dá)式或由加權(quán)余量法導(dǎo)出的加權(quán)積分表達(dá)式是有限元法求解的出發(fā)點(diǎn)?！?.2.1加權(quán)余量法：：:§1.2.2伽遼金加權(quán)余量法：：：：從形式上看，強(qiáng)解積分表達(dá)式與弱解積分表達(dá)式完全相同，但二者對近似解的要求不同。強(qiáng)解積分表達(dá)式以（3）作為求解的出發(fā)點(diǎn)，對近似函數(shù)的連續(xù)性要求高一些。：：::

：xu1u2u*u1’u2’u*’0.250.22790.20940.20790.78130.76990.79330.500.39060.38490.38730.52080.55400.62430.750.48830.49640.51160.26040.33830.35421.000.52080.55400.557400.12230加權(quán)余量法的弱點(diǎn)：（1）基函數(shù)的選取沒有一定的法則可以遵循（2）積分繁瑣為解決上述困難，提出了“分塊逼近”的思想，隨著高速計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，使得伽遼金法和Ritz法發(fā)展成為廣泛應(yīng)用的、效率很高的有限元法?！?.2.3有限元法有限元法是以變分法或加權(quán)余量法為基礎(chǔ)，結(jié)合分塊逼近技術(shù)而形成的、系統(tǒng)化的數(shù)值計(jì)算方法。分塊：將求解區(qū)域劃分為若干個(gè)互相連接而又不重疊的、一定形狀的有限個(gè)子區(qū)域，即單元。逼近：在單元中選擇基函數(shù)（插值函數(shù)），構(gòu)造單元近似解去代替求解函數(shù)。由于單元的幾何形狀是規(guī)則的，在單元內(nèi)構(gòu)造基函數(shù)可以給出一定的法則，單元積分也比較容易。

有限元法解題步驟：（1）區(qū)域劃分（2）選取單元基函數(shù)（插值函數(shù)）（3）寫出積分表達(dá)式（變分或加權(quán)余量法）（4）單元分析，建立單元有限元方程（5）總體合成（總裝），建立總體有限元方程（6）處理邊界條件（7）求解總體有限元方程，計(jì)算有關(guān)物理量為了說明有限元法的解題步驟及每一步的要點(diǎn)，下面以一個(gè)簡單的常微分方程為例進(jìn)行分析。

解：1.區(qū)域剖分（1）單元?jiǎng)澐?、確定結(jié)點(diǎn)數(shù)目和位置（2）編寫單元號、總體結(jié)點(diǎn)號和單元結(jié)點(diǎn)號單元號：全區(qū)域的單元統(tǒng)一編號，e=1,2…E總體結(jié)點(diǎn)號：全區(qū)域的結(jié)點(diǎn)按一定順序統(tǒng)一編號，n=1,2…N單元結(jié)點(diǎn)號：每一單元的結(jié)點(diǎn)按一定順序統(tǒng)一編號，i=1,2…I單元分析時(shí)采用單元結(jié)點(diǎn)號，總體合成時(shí)采用總體結(jié)點(diǎn)號（3）列出單元結(jié)點(diǎn)號與總體結(jié)點(diǎn)號之間的對照表

en

i12341123422345（4）給出結(jié)點(diǎn)坐標(biāo)值（5）列出本質(zhì)邊界結(jié)點(diǎn)號與邊界值總體結(jié)點(diǎn)號n12345坐標(biāo)x00.25h0.5h0.75hh邊界結(jié)點(diǎn)號n15邊界值un002.選取單元基函數(shù)有限元法的基函數(shù)在單元中選取，可以遵循一定法則：3.寫出積分表達(dá)式4.單元分析將單元近似函數(shù)表達(dá)式代入加權(quán)積分式（三種形式之一），在一個(gè)典型單元內(nèi)積分，建立單元有限元方程。單元積分表達(dá)式：：

：：：5.總體合成將單元有限元方程逐個(gè)累加，合成為總體有限元方程。：：：：6.邊界條件處理

（1）消行修正法：（2）消行重新編號修正法：7.求解總體有限元方程§1.2.4有限元法求解二維問題：：

：

：：：：

：以上兩式表明，面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)之間是線性變換關(guān)系，可以將(x,y)平面上的任意三角形單元變換為(ζ1,ζ2)平面上的等腰直角三角形單元

A(x1,y1)

C(x3,y3)

B(x2,y2)xyA(1,0