本文格式為Word版，下載可任意編輯——西安電子科技大學(xué)講義第一章隨機(jī)過程

本章主要內(nèi)容：

隨機(jī)過程的根本概念●隨機(jī)過程的數(shù)字特征●隨機(jī)過程的微分和積分計(jì)算●隨機(jī)過程的平穩(wěn)性和遍歷性●隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)及其性質(zhì)●復(fù)隨機(jī)過程●正態(tài)分布的隨機(jī)過程

第一章我們介紹了隨機(jī)變量，隨機(jī)變量是一個(gè)與時(shí)間無關(guān)的量，隨機(jī)變量的某個(gè)結(jié)果，是一個(gè)確定的數(shù)值。例如，骰子的6面，點(diǎn)數(shù)

總是1～6，假設(shè)A面點(diǎn)數(shù)為1，那么無論你何時(shí)投擲成A面，它的點(diǎn)數(shù)都是1，不會(huì)展現(xiàn)其它的結(jié)果，即結(jié)果具有同一性。但生活中，大量參量是隨時(shí)間變化的，如測(cè)量接收機(jī)的電壓，它是一個(gè)隨時(shí)間變化的曲線；又如頻率源的輸出頻率，它隨溫度變化，所以有個(gè)頻率穩(wěn)定度的范圍的概念（即偏離標(biāo)稱頻率的最大范圍）。這些隨時(shí)間變化的隨機(jī)變量就稱為隨機(jī)過程。

鮮明，隨機(jī)過程是由隨機(jī)變量構(gòu)成，又與時(shí)間相關(guān)。

1.1隨機(jī)過程的根本概念及統(tǒng)計(jì)特性

1.1.1

隨機(jī)過程的定義現(xiàn)在我們進(jìn)一步論述隨機(jī)過程的概念。當(dāng)對(duì)接收機(jī)的噪聲電壓作"單次'查看時(shí)，可以得到波形)(1tx，也可能得到波形)(2tx，)(3tx等等，每次觀測(cè)的波形的概括外形，雖然事先不知道，但斷定為全體可能的波形中的一個(gè)。而這些全體可能的波形集合)(1tx，)(2tx，)(3tx，，)(txn，..，就構(gòu)成了隨機(jī)過程)(tX。

圖1.1

噪聲電壓的起伏波形1．樣本函數(shù)：

)(1tx，)(2tx，)(3tx，，)(txn，都是時(shí)間的函數(shù)，稱為樣本函數(shù)。

2．隨機(jī)性：一次試驗(yàn)，隨機(jī)過程必取一個(gè)樣本函數(shù)，但所取的樣本函數(shù)帶有隨機(jī)性。因此，隨機(jī)過程不僅是時(shí)間t的函數(shù)，還是可能結(jié)果的函數(shù)，記為),(tX，簡(jiǎn)寫成)(tX。

3．隨機(jī)過程的定義：

定義1把隨機(jī)過程看成一族樣本函數(shù)。

4．定義的理解上面兩種隨機(jī)過程的定義，從兩個(gè)角度描述了隨機(jī)過程。概括的

說，作觀測(cè)時(shí)，常用定義1，這樣通過觀測(cè)的試驗(yàn)樣本來得到隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性；對(duì)隨機(jī)過程作理論分析時(shí)，常用定義2，這樣可以把隨機(jī)過程看成為n維隨機(jī)變量，n越大，采樣時(shí)間越小，所得到的統(tǒng)計(jì)特性越切實(shí)。

因此，可從以下4個(gè)方面對(duì)定義舉行理解。

1.1.2

隨機(jī)過程的分類隨機(jī)過程的分類方法有多種，可以按是否連續(xù)來分類，也可以按樣本函數(shù)的形式來分類，還可以按概率分布的特性來分類。

1、按隨機(jī)過程的時(shí)間和狀態(tài)來分類●連續(xù)型隨機(jī)過程：對(duì)隨機(jī)過程任一時(shí)刻t1的取值)(1tX都是連續(xù)型隨機(jī)變量。

●離散型隨機(jī)過程：對(duì)隨機(jī)過程任一時(shí)刻t1的取值)(1tX都是離散型隨機(jī)變量。

●連續(xù)隨機(jī)序列：隨機(jī)過程的時(shí)間t只能取某些時(shí)刻，如t，2t，..，nt，且這時(shí)得到的隨機(jī)變量)(tnX是連續(xù)型隨機(jī)變量，即時(shí)間是離散的。相當(dāng)于對(duì)連續(xù)型隨機(jī)過程的采樣。

●離散隨機(jī)序列：隨機(jī)過程的時(shí)間t只能取某些時(shí)刻，如t，

2t，..，nt，且這時(shí)得到的隨機(jī)變量)(tnX是離散型隨機(jī)變量，即時(shí)間和狀態(tài)都離散。相當(dāng)于采樣后再量化。

2、按樣本函數(shù)的形式來分類●不確定的隨機(jī)過程：隨機(jī)過程的任意樣本函數(shù)的值不能被預(yù)料。例如接收機(jī)噪聲電壓波形。

●確定的隨機(jī)過程。隨機(jī)過程的任意樣本函數(shù)的值能被預(yù)料。例如，樣本函數(shù)為正弦信號(hào)。

3、按概率分布的特性來分類這是一種更為本質(zhì)的分類方法，可分為：平穩(wěn)隨機(jī)過程，正態(tài)隨機(jī)過程，馬爾可夫過程，獨(dú)立增量過程，獨(dú)立隨機(jī)過程和瑞利隨機(jī)過程等等。

1.1.3

隨機(jī)過程的概率分布前面說過，用定義2分析隨機(jī)過程便當(dāng)，也就是說，把隨機(jī)過程)(tX看成n維隨機(jī)變量),...(),,(),(21ntXtXtX的集合（n趨向無窮，且1iittt相當(dāng)?。＿@樣，就把多維隨機(jī)變量的研究代替隨機(jī)過程的研究，這樣的代替足夠精細(xì)。

1、一維概率分布定義：

由于t1是任一時(shí)刻，因此，常把),(11txFX簡(jiǎn)寫成),(txFX。

假設(shè)),(txFX的偏倒數(shù)存在，那么：

xtxFtxfXX),(),(為隨機(jī)過程)(tX的一維概率密度函數(shù)。

留神：在此定義中，首先固定了時(shí)間t，這樣就得到了t時(shí)刻的隨機(jī)變量)(tX（t可以是任意時(shí)刻），這種分析方法后面經(jīng)常用到。鮮明，隨機(jī)過程的一維概率密度是時(shí)間t的函數(shù)，其性質(zhì)與一維隨機(jī)變量的性質(zhì)一樣。

22、二維概率分布

隨機(jī)過程的二維概率分布反映了隨機(jī)過程X(t)任意兩個(gè)時(shí)刻狀態(tài)

之間的聯(lián)系。通過求邊沿分布可以分別求出兩個(gè)一維邊沿分布),(11txfX和),(22txfX。

33、、nn維概率分布

同理，它具有多維隨機(jī)變量的性質(zhì)。

1.1.4隨機(jī)過程的數(shù)字特征

隨機(jī)變量的數(shù)字特征通常是確定值；隨機(jī)過程的數(shù)字特征通常是確定性函數(shù)，因此，對(duì)隨機(jī)過程的數(shù)字特征可以采用"信號(hào)與系統(tǒng)'中學(xué)習(xí)的各種對(duì)確定性信號(hào)的處理方法。

對(duì)隨機(jī)過程的數(shù)字特征的計(jì)算方法，是先把時(shí)間t固定，然后用隨機(jī)變量的分析方法來計(jì)算（這時(shí)隨機(jī)過程可以理解為：

)(tX為隨機(jī)變量（t為任意時(shí)刻）

11、數(shù)學(xué)期望

圖1.2隨機(jī)過程)(tX的數(shù)學(xué)期望物理意義：假設(shè)隨機(jī)過程)(tX表示接收機(jī)的輸出電壓，那么它的數(shù)學(xué)期望就是輸出電壓的瞬時(shí)統(tǒng)計(jì)平均值。

22、、均方值和方差

定義：隨機(jī)過程)(tX在任一時(shí)刻t的取值是一個(gè)隨機(jī)變量)(tX。我們把)(tX二階原點(diǎn)矩稱為隨機(jī)過程的均方值，把二階中心矩記作隨機(jī)過程的方差。即：

留神：

)]([2tXE和)]([tXD都是確定性函數(shù)，)]([tXD描述了隨機(jī)過程偏離其數(shù)學(xué)期望的程度。對(duì)比方差與均方值的關(guān)系，鮮明有：

物理意義：假設(shè))(tX表示噪聲電壓，那么均方值)]([2tXE和方差)]([tXD分別表示消耗在單位電阻上的瞬時(shí)功率統(tǒng)計(jì)平均值和瞬時(shí)交流功率統(tǒng)計(jì)平均值。

標(biāo)準(zhǔn)差或均方差：

)()]([ttXDX＝

33、、自相關(guān)函數(shù)

先對(duì)比具有一致數(shù)學(xué)期望和方差的兩個(gè)隨機(jī)過程。

圖1.3

具有一致數(shù)學(xué)期望和方差的兩個(gè)不同的隨機(jī)過程

定義：自相關(guān)函數(shù)用來描述隨機(jī)過程任意兩個(gè)時(shí)刻的狀態(tài)之間的內(nèi)在聯(lián)系，通常用),(21ttRX描述。

當(dāng)t1=t2時(shí)，自相關(guān)函數(shù)就是均方值。

a)自協(xié)方差函數(shù)若用隨機(jī)過程的兩個(gè)不同時(shí)刻之間的二階混合中心矩來定義相關(guān)函數(shù)，我們稱之為自協(xié)方差。用),(21ttKX表示，它反映了任意兩個(gè)時(shí)刻的起伏值之間相關(guān)程度。

＝21211)]2()][([dxdxtmxtmxXX－－b)對(duì)比自協(xié)方差和自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系

c)對(duì)比自協(xié)方差和方差的關(guān)系

4、隨機(jī)過程的特征函數(shù)a)一維特征函數(shù)隨機(jī)過程)(tX在任一特定時(shí)刻t的取值)(tX是一維隨機(jī)變量，其特征函數(shù)為:dxtxfeeEtuCXjuxtjuXX);()();()(

其反變換為：

duetuCtxfjuxXX);(21);(

這里，);(txfX為隨機(jī)過程)(tX的一維概率密度。

b)二維特征函數(shù)

c)n維特征函數(shù)

1.2時(shí)間連續(xù)隨機(jī)過程微分和積分

隨機(jī)過程的微分和積分運(yùn)算類似于一般的函數(shù)的微積分運(yùn)算，但

由于涉及極限和收斂問題，因而略有不同。

11.2.1隨機(jī)過程的連續(xù)型1、預(yù)備學(xué)識(shí)：對(duì)于確定性函數(shù))(xf，若0)]()([lim00xfxxfx，那么)(xf在0x處連續(xù)。

2、隨機(jī)過程)(tX連續(xù)性定義

3、隨機(jī)過程)(tX的相關(guān)函數(shù)連續(xù)，那么)(tX連續(xù)

4、隨機(jī)過程)(tX均方連續(xù)，那么其數(shù)學(xué)期望連續(xù)

由均方連續(xù)的定義，0t，那么不等式左端趨于0，那么不等式的右端也必趨于0（均值的平方不成能小于0）。

即：0)]([)]([)]()([tXEttXEtXttXE

留神)]([tXE為確定性函數(shù)，由預(yù)備學(xué)識(shí)，可知)]([tXE連續(xù)。

1.2.2

隨機(jī)過程的導(dǎo)數(shù)預(yù)備學(xué)識(shí)：對(duì)于一般確定性函數(shù)，高等數(shù)學(xué)給出的可導(dǎo)定義如下：

一階可導(dǎo)：假設(shè)ttfttft)()(lim0存在，那么)(tf在t處可導(dǎo)，記為)(tf。

二階可導(dǎo)：hktsfktsfthsfkthsfkh),(),(),(),(lim00存在，那么),(tsf二階可導(dǎo)，記為tstsf),(21、隨機(jī)過程可導(dǎo)的定義

2、判別方法由于上面的)(tX是未知的，判斷一個(gè)隨機(jī)過程是否均方可微的方法是采用柯西準(zhǔn)那么。即下面式子成立，那么隨機(jī)過程均方可微（書上證明中t的下標(biāo)有錯(cuò)）。

0]))()()()([(lim2222211110,21ttXttXttXttXEtt

證明：

]))()()()([(222221111ttXttXttXttXE)],(),(),(),([1)],(),(),(),([1)],(),(),(),([1221211212211212222222222222211111111111121tttRtttRttRttttRtttttRtttRttRttttRttttRtttRttRttttRtXXXXXXXXXXXX＋＋＋留神上式右端已經(jīng)不含有隨機(jī)變量，由預(yù)備學(xué)識(shí)中確實(shí)定性函數(shù)可導(dǎo)定義，

]))()()()([(lim2222211110,21ttXttXttXttXEtt

3、數(shù)字特征（1）

隨機(jī)過程導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于其數(shù)學(xué)期望的導(dǎo)數(shù)

證明：

])()(lim[])([0ttXttXEdttdXEt

交換極限和數(shù)學(xué)期望依次，得

＝ttmttmttXttXEXXtt)()(lim])()([lim00由確定性函數(shù)可導(dǎo)定義得

＝dttdmtmXX)()(

（2）

隨機(jī)過程導(dǎo)數(shù)的相關(guān)函數(shù)等于可微隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)的混合偏導(dǎo)數(shù)

即：2121221),()]()([ttttRtXtXEX

證明：

])()(.)()(lim[)]()([22221111002121ttXttXttXttXEtXtXEtt

＝])()(.)()([lim222211110021ttXttXttXttXEtt＝2121211221221100),(),(),(),(lim21ttttRtttRtttRttttRXXXXtt＝21212),(ttttRX（由確定性函數(shù)二階可導(dǎo)定義）

1.2.3隨機(jī)過程的積分11、預(yù)備學(xué)識(shí)

對(duì)于確定性函數(shù))(xf，baniiixfdxxf10)(lim)(，其中，1iiixxx，nixi,,2,1,max

22、、隨機(jī)過程積分的定義

若

過程。

33、、隨機(jī)過程積分的數(shù)學(xué)期望等于隨機(jī)過程數(shù)學(xué)期望的積分。

即：

（留神Y為隨機(jī)變量）

a)隨機(jī)過程積分的均方值和方差隨機(jī)過程積分的均方值等于隨機(jī)過程自相關(guān)函數(shù)的二重積分；其方差為隨機(jī)過程協(xié)方差的二重積分。

過程的積分的平方可以寫成二重定積分的形式：

b)隨機(jī)過程積分的相關(guān)函數(shù)：等于對(duì)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)作兩次變上限積分（現(xiàn)對(duì)t1,后對(duì)t2積分）

留神，此處定義的積分是變上限的，與前面的不同，因此)(),(21tYtY是隨機(jī)過程。

1.3平穩(wěn)隨

機(jī)過程和遍歷性過程

在通信中，往往把穩(wěn)定狀態(tài)下的隨機(jī)過程，當(dāng)作平穩(wěn)隨機(jī)過程來處理，這樣，對(duì)這個(gè)隨機(jī)過程任何時(shí)候來測(cè)量，都會(huì)得到同樣的結(jié)果，從而大大簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)模型。對(duì)一些非平穩(wěn)的隨機(jī)過程，在較短的時(shí)間內(nèi)，往往把它作為平穩(wěn)隨機(jī)過程來處理。

然而，對(duì)于一個(gè)平穩(wěn)過程，計(jì)算其一階和二階統(tǒng)計(jì)特性是很困難的，而計(jì)算其確定時(shí)間內(nèi)的算術(shù)平均值相對(duì)輕易。假設(shè)其統(tǒng)計(jì)特性與算術(shù)平均特性在概率意義下相等，我們稱之為遍歷性，也叫各態(tài)歷經(jīng)性。

11.3.1平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程可以分為嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程和寬平穩(wěn)隨機(jī)過程兩種。

1、嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程（俠義平穩(wěn)過程）

（11）定義

設(shè)有隨機(jī)過程)(tX，若它的n

（22）特點(diǎn)

（33）嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程的數(shù)字特征

因?yàn)椋?()0,(),(),(1111111xfxftxftxfXXtXX令

與時(shí)間無關(guān)。

解：

由嚴(yán)平穩(wěn)定義，對(duì)二維概率密度，

（44）嚴(yán)平穩(wěn)的判斷

按照嚴(yán)平穩(wěn)的定義，判斷一個(gè)隨機(jī)過程是否為嚴(yán)平穩(wěn)，需要知道其n維概率密度，可是求n維概率密度是對(duì)比困難的。不過，假設(shè)有一個(gè)反例，就可以判斷某隨機(jī)過程不是嚴(yán)平穩(wěn)的，概括方法有兩個(gè)：

i.若)(tX為嚴(yán)平穩(wěn)，k為任意正整數(shù)，那么)]([tXEk與時(shí)間t無關(guān)。

ii.若)(tX為嚴(yán)平穩(wěn)，那么對(duì)于任一時(shí)刻t0，)(0tX具有一致的統(tǒng)計(jì)特性。

用隨機(jī)過程)(tX的3階矩與t有關(guān)來判斷)(tX不是嚴(yán)平穩(wěn)，此時(shí)也可采用方法是：

分別令t=0，t=02，帶入tBtAtX00sincos)(，得兩個(gè)隨機(jī)變量A和B，由于它們的概率密度不同，一般來說)2()()(kBEAEkk（例題假設(shè)兩者均值和方差相等），因此)(tX不是嚴(yán)平穩(wěn)的。

2、寬平穩(wěn)隨機(jī)過程（廣義平穩(wěn)過程，平穩(wěn)過程）

由求n維概率密度對(duì)比困難，有時(shí)只用到一、二階矩，例如功率（均方值和方差）和功率譜密度（自相關(guān)函數(shù)），因此，平穩(wěn)性的定義不需要那么嚴(yán)格。

嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)的關(guān)系：嚴(yán)平穩(wěn)過程的均方值有界，那么此過程為寬平穩(wěn)的，反之不成立。對(duì)于正態(tài)過程，嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)等價(jià)。

由寬平穩(wěn)的三個(gè)條件可知，此為（寬）平穩(wěn)過程。

33、平穩(wěn)隨機(jī)過程的性質(zhì)

性質(zhì)1：

―――――指平穩(wěn)隨機(jī)過程的平均功率。

性質(zhì)2：

，――平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)（協(xié)方差）為偶函數(shù)。

性質(zhì)3：

，――平穩(wěn)過程的自相關(guān)函數(shù)（協(xié)方差）在0＝時(shí)有最大值。

性質(zhì)4：

對(duì)周期性平穩(wěn)過程，X(t)=X(t+T)，T為周期，有)()(TRR。

性質(zhì)5：若平穩(wěn)過程)(tX含有一個(gè)周期分量，那么)(XR含有同一個(gè)周期分量。（證略）

性質(zhì)6：若平穩(wěn)隨機(jī)過程)(tX不含有任何周期分量，那么，

性質(zhì)7：若平穩(wěn)過程含有平均分量（均值）Xm，那么相關(guān)函數(shù)也含有平均分量，且等于2Xm。即2)()(XXXmKR；若)(tX是非周期的，那么)()0(2XXXRR。

性質(zhì)8：平穩(wěn)隨機(jī)過程務(wù)必得志－0)(deRjX對(duì)全體均成立。

―――自相關(guān)函數(shù)的付氏變換非負(fù)，這要求相關(guān)函數(shù)連續(xù)（平頂，垂直邊均是非連續(xù)）。相關(guān)函數(shù)（協(xié)方差）的典型曲線如下：

圖1.4相關(guān)函數(shù)的典型曲線性質(zhì)9：平穩(wěn)過程的相關(guān)系數(shù)和相關(guān)時(shí)間a)相關(guān)系數(shù)：

定義：

稱為隨機(jī)過程

X(t)的相關(guān)系數(shù)。鮮明，此值在[－1，1]之間。

0)(Xr表示不相關(guān)，1)(Xr表示完全相關(guān)。

0)(Xr表示正相關(guān)，說明兩個(gè)不同時(shí)刻起伏值（隨機(jī)變量－均值）之間符號(hào)一致可能性大。

b)相關(guān)時(shí)間定義：當(dāng)相關(guān)系數(shù)中的時(shí)間間隔大于某個(gè)值，可以認(rèn)為兩個(gè)不同時(shí)刻起伏值不相關(guān)了，這個(gè)時(shí)間就稱為相關(guān)時(shí)間。

通常把相關(guān)系數(shù)的十足值小于0.05的時(shí)間間隔，記做相關(guān)時(shí)間，即：

05.0)(0Xr時(shí)的時(shí)間間隔0為相關(guān)時(shí)間。

圖1.5相關(guān)時(shí)間0（或0）的定義相關(guān)時(shí)間的物理意義：

(01Xm)

21.3.2遍歷性或各態(tài)歷經(jīng)性隨機(jī)過程時(shí)一族樣本函數(shù)的集合，因此，要得到隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性，就需要對(duì)大量的樣本函數(shù)舉行統(tǒng)計(jì)平均或綜合平均，很不便當(dāng)。由于平穩(wěn)隨機(jī)過程與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，對(duì)一個(gè)樣本函數(shù)舉行時(shí)間平均是否能得到概率意義下的統(tǒng)計(jì)平均呢？答案是斷定的―――這樣的隨機(jī)過程稱為遍歷過程或各態(tài)歷經(jīng)過程。這樣，由任一樣本函數(shù)就可以得到隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性。

1、遍歷性過程的定義a）

其中：

22、、遍歷過程的實(shí)際應(yīng)用

一般隨機(jī)過程的時(shí)間平均是隨機(jī)變量，但遍歷過程的時(shí)間平均為確定量，因此可用任一樣本函數(shù)的時(shí)間平均代替整個(gè)過程的統(tǒng)計(jì)平均，在實(shí)際工作中，時(shí)間T不成能無限長(zhǎng)，只要足夠長(zhǎng)即可。

遍歷過程的物理意義：

若遍歷過程代表是噪聲電壓，那么均值就是它的直流分量，令0＝，那么有：

鮮明，)0(XR代表電壓消耗在單位阻抗上的總平均功率。而

代表電壓消耗在單位阻抗上的交流平均功率，標(biāo)準(zhǔn)差X代表電壓的有效值。

a)遍歷過程和平穩(wěn)過程的關(guān)系遍歷過程務(wù)必是平穩(wěn)的，而平穩(wěn)過程不確定是遍歷的。（遍歷必定平穩(wěn)由遍歷定義即可知）

解：先證明平穩(wěn)性

，再證明不是遍歷過程。

b)遍歷過程的兩個(gè)判別定理（ⅰ）均值遍歷判別定理

證明：對(duì)一般平穩(wěn)隨機(jī)過程（不確定遍歷）來說，)(tX（即)(tX）是一個(gè)隨機(jī)變量，它有均值和方差。

XTTTTTTmdttXETdttXTEtXE)]([21lim)(21lim[])([（留神)(tX為平穩(wěn)過程）

222])([(]))(([])([XXmtXEmtXEtXD

＝22211])(21)(21[limXTTTTTmdttXTdttXTE

交換積分和數(shù)學(xué)期望依次

＝TTTTXTdtdtmtXtXET212212)]()([41lim

＝TTTTXTdtdtttKT21122)(41lim

設(shè)12tt，12ttu，那么22ut，21ut

所以：2121212121),(),(21uttJt1t2-TT2T2Tu-2TTu2Tu2Tu2Tu2那么})(2141{lim])([22222duKdTtXDXTTTTT

dKTTXTTT)()2(41lim222

＝dmRTTXXTTT))()(21(21lim222

（留神)()(RR）

＝dmRTTXXTT))()(21(1lim220

（1）

由于D[X]=0的充要條件是1}{CXP，（方差性質(zhì)）

所以

0])([tXD的充要條件是

1})({XmtXP，即均值遍歷。

帶入（1）式，dmRTTXXTT))()(21(1lim220＝0的充要條件為X(t)的均值遍歷。

（ⅱ）自相關(guān)函數(shù)遍歷判別定理

平穩(wěn)隨機(jī)過程X(t)的自相關(guān)函數(shù))(XR具有遍歷性的充要條件是：

（由均值遍歷的充要條件引申證明：令)(XXRm）

，

留神：判斷一個(gè)平穩(wěn)過程是否遍歷的，我們總是先假設(shè)其是遍歷的，然后看是否得志定義要求（即時(shí)間平均以概率1等于統(tǒng)計(jì)平均），一般不用兩個(gè)判別定理。

判斷此隨機(jī)過程的遍歷性。

解：已經(jīng)計(jì)算出均值為0，相關(guān)函數(shù)02cos2)(aRX，現(xiàn)在計(jì)算時(shí)間平均：

鮮明：

所以，X(t)具有遍歷性。

41.4聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過程

前面議論了單個(gè)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性，在實(shí)際工作中，往往需要議論兩個(gè)或兩個(gè)以上隨機(jī)過程的處境，例如接收機(jī)的輸入為"信號(hào)＋噪聲'。

11.4.1兩個(gè)隨機(jī)過程的聯(lián)合概率分布1、分布函數(shù)

2、二維嚴(yán)平穩(wěn)

3、定義(留神兩個(gè)隨機(jī)過程的依次不能互換)

4、正交

5、不相關(guān)

推論：(1)假設(shè)兩個(gè)隨機(jī)過程相互獨(dú)立，且他們的二階矩都存在，那么必互不相關(guān)。

(2)正態(tài)過程的不相關(guān)與相互獨(dú)立等價(jià)。

6、聯(lián)合寬平穩(wěn)兩個(gè)隨機(jī)過程)()(tYtX和，假設(shè)：

（1）

)()(tYtX和分別寬平穩(wěn)

（2）彼此關(guān)函數(shù)僅為時(shí)間差的函數(shù)，與時(shí)間t無關(guān)，即

7、聯(lián)合寬平穩(wěn)的性質(zhì)

證明：按定義即可證明，說明彼此關(guān)函數(shù)既不是偶函數(shù)，也不是奇函數(shù)。

圖1.6彼此關(guān)函數(shù)的影像關(guān)系

證明：由于

0]))()([(2tXtYE，為任意實(shí)數(shù)

開展得：

0)0()(2)0(2YXYXRRR，這是關(guān)于的二階方程，留神0)0(XR，要使上式恒成立，即方程無解或只有同根，那么方程的系數(shù)理應(yīng)得志042ACB，所以有：

0)0()0(4))(2(2YXXYRRR

所以

)0()0()(2YXXYRRR，同理，)0()0()(2YXXYKKK

證明：由性質(zhì)（2），得)0()0()(2YXXYRRR

留神到0)0(XR，0)0(YR，因此)]0()0([21)0()0()(YXYXXYRRRRR

（任何正數(shù)的幾何平均小于算術(shù)平均）

（5）

遍歷性

（6）線性性

雖然已知X(t)和Y(t)分別平穩(wěn)，但彼此關(guān)函數(shù)與t有關(guān)，所以不是聯(lián)合平穩(wěn)的。

同樣，彼此關(guān)函數(shù)與t有關(guān)，所以不是聯(lián)合平穩(wěn)的。

1.5復(fù)隨機(jī)過程

前面我們分析了實(shí)隨機(jī)過程，在現(xiàn)實(shí)世界上我們遇到的都是實(shí)隨機(jī)過程，但在某些處境下，用復(fù)隨機(jī)過程來分析問題較為便當(dāng)。復(fù)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性的分析與實(shí)隨機(jī)過程類似。

11.5.1復(fù)隨機(jī)變量1、定義

2、分布函數(shù)),(],[)(yxFyYxXPzFXYZ，即由X,Y的聯(lián)合概率分布描述。

3、數(shù)學(xué)期望

4、方差

]))([(][][2ZZZmZmZEmZEZD

][][])()[(22YDXDmYmXEYX

這里||表示取模（與實(shí)過程不同），為復(fù)隨機(jī)過程與它的復(fù)共軛相乘，"*'表示復(fù)共軛，鮮明，復(fù)隨機(jī)過程的方差是非負(fù)實(shí)數(shù)，且等于實(shí)部和虛部的方差和。

5、獨(dú)立與相關(guān)

這里：

21.5.2復(fù)隨機(jī)過程

1、概率密度函數(shù)復(fù)隨機(jī)過程Z(t)的統(tǒng)計(jì)特性由X(t)和Y(t)的2n維聯(lián)合概率分布描述，其概率密度為：

2、均值

3、方差]))()())(()([(])()([)(2tmtZtmtZEtmtZEtDZZZZ

)()(tDtDYX

4、相關(guān)函數(shù)

自協(xié)方差為：

5、平穩(wěn)性

6、彼此關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差函數(shù)

7、聯(lián)合平穩(wěn)

8、相關(guān)和正交

小結(jié)：求復(fù)隨機(jī)過程的數(shù)字特征時(shí)要留神，其均值為復(fù)數(shù)，方差等二階矩為非負(fù)實(shí)數(shù)，因此，求其二階矩時(shí)（包括方差，相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差）采用一個(gè)復(fù)隨機(jī)過程與其共軛相乘，再求數(shù)學(xué)期望

的方法，其它性質(zhì)和特性與實(shí)隨機(jī)過程類似。

1.6離散時(shí)間隨機(jī)過程

離散時(shí)間隨機(jī)過程的公式概念好多，但均可以從連續(xù)隨機(jī)過程類推出來，一般不要死記公式。

離散時(shí)間隨機(jī)過程的定義前面談到過隨機(jī)過程的分類，隨機(jī)過程可以分為連續(xù)型隨機(jī)過程、離散型隨機(jī)過程、連續(xù)隨機(jī)序列和離散隨機(jī)序列四種，其中，后兩種統(tǒng)稱為離散時(shí)間隨機(jī)過程，它們是對(duì)連續(xù)隨機(jī)過程以等間隔時(shí)間采樣得到的，即采樣時(shí)間是離散的。

11.6.1離散時(shí)間隨機(jī)過程的概率分布離散時(shí)間的隨機(jī)過程的概率分布用隨機(jī)變量序列的概率分布來描述。

1、一維處境

2、二維處境

3、n維處境

4、相互獨(dú)立

5、嚴(yán)平穩(wěn)

推論：

（1）

平穩(wěn)離散隨機(jī)過程的一維概率密度與時(shí)間無關(guān)，即)();(nXnXxFnxF

（2）

平穩(wěn)離散隨機(jī)過程的二維分布函數(shù)與時(shí)間差有關(guān)，即

6、聯(lián)合分布

●定義

●統(tǒng)計(jì)獨(dú)立

●嚴(yán)平穩(wěn)

1.6.2

數(shù)字特征1．均值

●若(.)g為單值函數(shù)，那么dxnxfxgXgEXn);()()]([

●均值的性質(zhì)：

2．線性獨(dú)立和統(tǒng)計(jì)獨(dú)立若，

若，線性獨(dú)立的含義是隨機(jī)序列Xn和Ym中的任意兩個(gè)隨機(jī)變量都互不相關(guān)。

推論：統(tǒng)計(jì)獨(dú)立確定線性獨(dú)立，反之不確定。

3．均方值和方差

鮮明有：

4．自相關(guān)函數(shù)和自協(xié)方差函數(shù)

，也可寫成

5．彼此關(guān)函數(shù)和互協(xié)方差彼此關(guān)函數(shù)描述兩個(gè)不同的隨機(jī)過程之間憑借性的一個(gè)量度，即

6．平穩(wěn)性●若離散時(shí)間隨機(jī)過程平穩(wěn)，那么其均值、均方值和方差與n無關(guān)，為常數(shù)，即：

●若離散時(shí)間隨機(jī)過程平穩(wěn)，那么自相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差只與時(shí)間差有關(guān)，即

2)()(XXXmmRmK

●判別平穩(wěn)性（寬平穩(wěn)）的方法

7．聯(lián)合平穩(wěn)（前提是兩個(gè)隨機(jī)過程各自平穩(wěn)）

1.6.3

遍歷性11、遍歷性的定義

●嚴(yán)遍歷：

●寬遍歷：

設(shè))(nX是一個(gè)平穩(wěn)隨機(jī)序列，若

含義：對(duì)于遍歷序列，其時(shí)間均值和時(shí)間自相關(guān)（m固定）均為確定量（非隨機(jī)量），幾乎全體可能的取樣序列的時(shí)間平均量都是一致的，因此，遍歷序列的時(shí)間平均可以用任一序列的時(shí)間平均來表示，也即可以用遍歷序列的任一取樣序列的時(shí)間平均代替對(duì)整個(gè)序列求統(tǒng)計(jì)平均。

對(duì)隨機(jī)序列的遍歷性的判斷，先假設(shè)其遍歷，看其時(shí)間平均是否幾乎四處等于統(tǒng)計(jì)平均即可。

所以有：（下面的)(nx表示任意一個(gè)樣本序列）

實(shí)際上一般不求極限，工程上使用它們的估計(jì)量，只要N足夠大即可：

11計(jì)算機(jī)仿真

采用的仿真工具一般為MATLAB語(yǔ)言。在通信中往往需要計(jì)算接收機(jī)接收端輸入的信噪比（信號(hào)功率/噪聲功率）。假設(shè)隨機(jī)序列是遍歷的，只要對(duì)計(jì)算機(jī)模擬產(chǎn)生的任意一條信號(hào)和噪聲的樣本序列中每個(gè)樣點(diǎn)值的平方求時(shí)間平均，就可以分別得到信號(hào)和噪聲的平均功率（估計(jì)的統(tǒng)計(jì)值），從而求出信噪比。

22平穩(wěn)離散隨機(jī)過程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)

平穩(wěn)離散隨機(jī)過程相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)與連續(xù)平穩(wěn)隨機(jī)過程的性質(zhì)類似，此處只給出相應(yīng)的結(jié)論。

性質(zhì)77．相關(guān)系數(shù)

鮮明，1)0(Xr，1)(mrX；同理，彼此關(guān)系數(shù)為：

1.7正態(tài)隨機(jī)過程

正態(tài)分布的隨機(jī)過程（也叫高斯過程）是實(shí)際工作中最常遇到的隨機(jī)過程，中心極限定理報(bào)告我們，大量獨(dú)立的、微小的隨機(jī)變量的和近似按照正態(tài)分布。通信信道中的熱噪聲和干擾，多按照正態(tài)分布。后面我們將談到，一個(gè)寬帶信號(hào)通過一個(gè)窄帶濾波器后，按照正態(tài)分布，而通信中廣泛應(yīng)用濾波器來濾出有用信號(hào)帶外的噪聲。因此，研究正態(tài)隨機(jī)過程特別必要。

11.7.1正態(tài)隨機(jī)過程的一般概念隨機(jī)過程可以看成一族樣本函數(shù)的集合，也可看成一族隨機(jī)變量

的集合，這些隨機(jī)變量可記為：

，也

1、正態(tài)隨機(jī)過程的定義假設(shè)隨機(jī)過程X(t)的任意n維概率分布都是正態(tài)分布，那么稱它為正態(tài)隨機(jī)過程或高斯隨機(jī)過程，簡(jiǎn)稱正態(tài)過程或高斯過程。

2、概率密度函數(shù)正態(tài)隨機(jī)過程的概率密度函數(shù)即n維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)，即

其中，kikiXikttKr),(

，（留神下面的上畫線表示均值，即im）

性質(zhì)1：正態(tài)隨機(jī)過程的概率密度函數(shù)由它的一、二階矩（均值、方差和相關(guān)系數(shù)完全抉擇）。

推論：若復(fù)正態(tài)隨機(jī)過程Z(t)的n個(gè)采樣時(shí)刻得到n個(gè)復(fù)隨機(jī)變量，即

21.7.2平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)過程1、平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)過程的定義若正態(tài)隨機(jī)過程得志以下條件，那么它是寬平穩(wěn)（平穩(wěn)）正態(tài)隨機(jī)過程。

理解：由平穩(wěn)隨機(jī)過程的三大條件（均值為常數(shù)，相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間差有關(guān)，均方值有界）可知，那么)0()]([2XRtXE為確定值，而方差＝2)0(XXmR必為常數(shù)，顯然，方差為常數(shù)那么222)]([XXmtXE也為常數(shù)，物理意義是總平均功率等于交

流平均功率與直流平均功率之和。

2、平穩(wěn)正態(tài)過程的n維概率密度根據(jù)前面論述，正態(tài)隨機(jī)過程的n維概率密度由它的一、二階矩完全確定，其表達(dá)式見2.7.1式。對(duì)于平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)過程，其概率密度表達(dá)式可以簡(jiǎn)化。

平穩(wěn)正態(tài)過程一、二維概率密度表達(dá)式如下：

平穩(wěn)正態(tài)過程n維概率密度表達(dá)式如下：

回想：逆矩陣的求法：，設(shè)有一矩陣A，那么

3、平穩(wěn)正態(tài)過程的n維特征函數(shù)

一維和二維特征函數(shù)：

31.7.3正態(tài)隨機(jī)過程的性質(zhì)性質(zhì)2：正態(tài)過程的嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)等價(jià)證明：由于嚴(yán)平穩(wěn)正態(tài)過程的均方值有界，嚴(yán)平穩(wěn)正態(tài)過程確定是寬平穩(wěn)的。現(xiàn)在證明寬平穩(wěn)正態(tài)過程也是嚴(yán)平穩(wěn)的。

那么其一維概率密度：

也與時(shí)間t無關(guān)。對(duì)二維概率密度

現(xiàn)在看n維概率密度，即

它由均值，方差和相關(guān)系數(shù)唯一確定，而均值和方差是常數(shù)，相關(guān)系數(shù)22)()(XikkiikikmRKr只與時(shí)間差有關(guān)，因

此n維概率密度函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，由嚴(yán)平穩(wěn)定義，可知寬平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)過程是嚴(yán)平穩(wěn)的。

因此，正態(tài)過程的嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)等價(jià)。

性質(zhì)3：正態(tài)過程的不相關(guān)與相互獨(dú)立等價(jià)，即

證明：（1）假設(shè)Xn（n＝1，2，.）兩兩之間相互獨(dú)立，那么kimXEmXEmXmXEttKkkiikkiikiX0)][()][()])([(),(

所以，兩兩互不相關(guān)。

（2）假設(shè)Xn（n＝1，2，.）兩兩之間互不相關(guān)，由式，

＝kikii20所以，2210...0...nK

那么2210...0...1－－－nK，22221nK，帶入式得：

即兩兩相互獨(dú)立。

性質(zhì)4：平穩(wěn)正態(tài)過程與確定信號(hào)之和仍為正態(tài)分布，但不確定平穩(wěn)。

證明：設(shè)X(t)為平穩(wěn)正態(tài)過程，S(t)為確定性信號(hào)，Y(t)=X(t)+s(t),那么，對(duì)于任意時(shí)刻t，Y(t)=X(t)+s(t)為隨機(jī)變量，這時(shí)，s(t)具有確定值，由隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度求法，的Y(t)的一維概率密度函數(shù)為：

));(());(();(ttsyfdxdyttsyftyfXXY，即在)(txfX；的表達(dá)式變量變換即可（s(t)可以理解為確定值（當(dāng)t固定）），由于為正態(tài)分布，所以)(tyfY；鮮明是正態(tài)分布。

對(duì)于隨機(jī)變量Y(t1)，Y(t2)二維概率密度，用二維隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度求法，由于雅可比行列式的值為1，所以：

為正態(tài)過程。

同理，可證明合成信號(hào)的n維概率密度也是正態(tài)過程。

而：

)()]()([)]([tsmtstXEtYEX與t有關(guān)，不是常數(shù)，所以不是平穩(wěn)的。

推論：正態(tài)過程的線性變換仍為正態(tài)分布。

性質(zhì)5和性質(zhì)6：

證明略。

性質(zhì)7:正態(tài)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)后的輸出仍為正態(tài)過程。

推論：正態(tài)過程的線性變換仍為正態(tài)過程。

解：可得（2）

1.8馬爾可夫過程

馬爾可夫過程是由前蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家A.A.Markov首先提出和研究的一類隨機(jī)過程，現(xiàn)在已經(jīng)成為內(nèi)容豐富、理論完善、應(yīng)用廣泛的一門數(shù)學(xué)分支，應(yīng)用領(lǐng)域包括計(jì)算機(jī)、通信、自動(dòng)操縱、隨機(jī)服務(wù)、穩(wěn)當(dāng)性、生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)、管理、教導(dǎo)、氣象、物理、化學(xué)等等。

馬爾可夫過程按時(shí)間和狀態(tài)是否連續(xù)可分為四類（同一般隨機(jī)過程分類）。生活中，我們所查看到的大量物理過程可以近似看成馬爾可夫過程。這里我們只研究狀態(tài)和時(shí)間參數(shù)都離散的馬爾可夫過程――馬爾可夫鏈，且狀態(tài)數(shù)是可列或可數(shù)的。

馬爾可夫過程具有如下特性：當(dāng)隨機(jī)過程在時(shí)刻it所處的狀態(tài)為已知的條件下，過程在itt時(shí)刻所處的狀態(tài)，與過程在it時(shí)刻以前所處狀態(tài)無關(guān)，而僅與過程在it時(shí)刻的狀態(tài)有關(guān)。這個(gè)特性稱為隨機(jī)過程的無后效性或馬爾可夫性。

例如生物基因遺傳從這一代到下一代的轉(zhuǎn)移中僅憑借與這一代而與以往各代無關(guān)。

11.8.1馬爾可夫鏈的定義定義：假定隨機(jī)過程X(t)在每一個(gè)時(shí)刻nt(n=1,2,,..)的采樣為

)(nntXX，nX可能取的狀態(tài)為Naaa,...,2,1中任意一個(gè)，而且過程X(t)在kmt時(shí)刻變成任一狀態(tài)),...,2,1(Niakmi的概率，只與過程在mt時(shí)刻的狀態(tài)有關(guān)，而與過程在mt時(shí)刻以前的狀態(tài)無關(guān)。

1111,...,,iimimikmaXaXaXaXPmmkm＝mkmimikmaXaXP那么稱此隨機(jī)序列nX為馬爾可夫鏈，簡(jiǎn)稱馬氏鏈。

1.8.2

馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率及其矩陣1．馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率馬氏鏈的轉(zhuǎn)移概率),(kmmPij：在mt時(shí)刻展現(xiàn)imaX的條件下，kmt時(shí)刻出現(xiàn)jkmaX的條件概率。

即

),(kmmPij＝imjkmaXaXP。式中Nji,...3,2,1,；m，k皆為正整數(shù)。

齊次馬氏鏈：

),(kmmPij與m無關(guān)。這里只議論齊次馬氏鏈。

2．一步轉(zhuǎn)移概率及其矩陣一步轉(zhuǎn)移概率：若),(kmmPij中k＝1，簡(jiǎn)記為ijP，即：

ijP＝)1,(mmPij＝imjmaXaXP1表示馬氏鏈由狀態(tài)ia經(jīng)過一次轉(zhuǎn)移到狀態(tài)ja的轉(zhuǎn)移概率，即一步轉(zhuǎn)移概率。

轉(zhuǎn)移概率矩陣：

練習(xí)題

1-1兩班半隨機(jī)二進(jìn)過程定義為

()XtA或-A,(n－1)TtnT0,1,2,n

其中值A(chǔ)與-A等概率展現(xiàn)，T為一正常數(shù)，0,1,2,n

（1）畫出典型的樣本函數(shù)圖形；（2）將此過程規(guī)類；（3）該過程是確定性過程么？

1－2離散隨機(jī)過程的樣本函數(shù)皆為常數(shù)，即(){}(0,)!ktktPKkPtek()XtC可變常數(shù)，式中C為一隨即變量，其可能值為11,2233ccc及，且他們分別以概率0.6，0.3及0.1展現(xiàn)。（1）X（t）是確定過程么？（2）求：在任意時(shí)刻t，X(t)的一維概率密度。

1－3設(shè)隨機(jī)過程X(t)=Vt，其中V是在（0，1）是平勻分布的隨機(jī)變量，求過程X（t）的均值和自相關(guān)函數(shù)。

1－4設(shè)隨機(jī)過程2X(t)=At+Bt，式中A,B為兩個(gè)互不相關(guān)的隨機(jī)變量，且有E[A]=4,E[B]=7,D[A]=0.1,D[B]=2.求過程X（t）的均值，相關(guān)函數(shù)，協(xié)方差函數(shù)和方差。

1－5程X(t)的數(shù)學(xué)期望2E[X(t)]=t+4。求另一隨機(jī)過程2Y(t)=tX(t)+t的數(shù)學(xué)期望。

1－6信號(hào)X(t)=Vcos3t，其中V是均值為1，方差為1的隨機(jī)變量。設(shè)新的隨機(jī)信號(hào)

t01Y(t)=

X()dt

求Y（t）的均值，相關(guān)函數(shù)，協(xié)方差函數(shù)和方差。

1－7個(gè)隨機(jī)過程X(t),Y(t)都是非平穩(wěn)過程()()cosXtAtt

,Y(t)=B(t)sint其中()At，B(t)為相互獨(dú)立，各自平穩(wěn)的隨機(jī)過程，且他們的均值均為0，自相關(guān)函數(shù)相等。試證明這兩個(gè)過程之和()()ZtXtY(t)是寬平穩(wěn)的。

1－8設(shè)隨機(jī)信號(hào)0()sin()Xtat，式中a,0均為正的常數(shù)；為正態(tài)隨機(jī)變量，其概率密度為

2/21()2fe

試議論X(t)的平穩(wěn)行。

1－9已知隨機(jī)過程00()cosXtAt+Bsint

，式中0為常數(shù)；而A與B是具有不同概率密度，但有一致方差2，均值為零的不相關(guān)的隨機(jī)變量。證明X(t)是寬平穩(wěn)而不是嚴(yán)平穩(wěn)的隨機(jī)過程。

1－10

已知兩個(gè)隨機(jī)過程

()cossin,()cossinXtAtBtYtBtAt

其中A，B是均值為0，方差為5的不相關(guān)的兩個(gè)隨機(jī)變量，試證過程X（t）、Y（t）各自平穩(wěn)，而且是聯(lián)合平穩(wěn)的；并求出他們的彼此關(guān)系數(shù)。

1－11

設(shè)隨機(jī)信號(hào)()cos()Xtat，其中a可以是、也可以不是隨機(jī)變量，是在（0，2）上平勻分布的隨機(jī)變量；并且

a為隨機(jī)變量時(shí)，它與統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。求：（1）時(shí)間自相關(guān)函數(shù)

和集自相關(guān)函數(shù)；（2）a具備什么條件時(shí)兩種自相關(guān)函數(shù)相

等。

1－12

設(shè)隨即過程()cosXtAsint+Bt,其中A、B均為零均值的隨機(jī)變量。試證：X(t)是均值遍歷的，而方差無遍歷性。

1－13

設(shè)隨機(jī)過程()cos()XtAQt

,式中A、Q和為統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的隨機(jī)變量；而且，A的均值為2、方差為4，在

（－，）上平勻分布，Q在（－5，5）上平勻分