學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)(十)第二章(建議用時(shí)：40分鐘)[學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)]一、選擇題(每小題5分，共20分)1.梯形ABCD中，AB∥CD，若梯形不在平面α內(nèi)，則它在α內(nèi)的正射影是()A.平行四邊形 B.梯形C.一條線(xiàn)段 D.一條線(xiàn)段或梯形【解析】當(dāng)梯形所在的平面平行于投影線(xiàn)時(shí)，梯形在α上的正射影是一條線(xiàn)段.當(dāng)梯形所在的平面與投影線(xiàn)不平行時(shí)，梯形在α上的正射影是一個(gè)梯形.【答案】D2.如果一個(gè)三角形的平行射影仍是一個(gè)三角形，則下列結(jié)論正確的是()A.內(nèi)心的平行射影還是內(nèi)心B.重心的平行射影還是重心C.垂心的平行射影還是垂心D.外心的平行射影還是外心【解析】三角形的平行射影仍是三角形，但三角形的形狀通常會(huì)發(fā)生變化，此時(shí)三角形的各頂點(diǎn)、各邊的位置也會(huì)發(fā)生變化，其中重心、垂心、外心這些由頂點(diǎn)和邊確定的點(diǎn)通常隨著發(fā)生變化，而內(nèi)心則始終是原先角平分線(xiàn)的交點(diǎn)，射影前后相對(duì)的位置關(guān)系不變.【答案】A3.圓錐的頂角為50°，圓錐的截面與軸線(xiàn)所成的角為30°，則截線(xiàn)是()A.圓 B.橢圓C.雙曲線(xiàn) D.拋物線(xiàn)【解析】由已知α＝eq\f(50°,2)＝25°，β＝30°，∴β>α.故截線(xiàn)是橢圓，故選B.【答案】B4.設(shè)平面π與圓柱的軸的夾角為β(0°<β<90°)，現(xiàn)放入Dandelin雙球使之與圓柱面和平面π都相切，若已知Dandelin雙球與平面π的兩切點(diǎn)的距離恰好等于圓柱的底面直徑，則截線(xiàn)橢圓的離心率為()\f(1,2)\f(\r(2),2)\f(\r(3),3)\f(\r(3),2)【解析】Dandelin雙球與平面π的切點(diǎn)恰好是橢圓的焦點(diǎn)，圓柱的底面直徑恰好等于橢圓的短軸長(zhǎng)，由題意知，2b＝2c.∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(c,\r(b2＋c2))＝eq\f(c,\r(2)c)＝eq\f(\r(2),2).【答案】B二、填空題(每小題5分，共10分)5.已知圓錐面的軸截面為等腰直角三角形，用一個(gè)與軸線(xiàn)成30°角的不過(guò)圓錐頂點(diǎn)的平面去截圓錐面時(shí)，所截得的截線(xiàn)的離心率為_(kāi)_______.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：61650026】【解析】∵圓錐的軸截面為等腰直角三角形，所以母線(xiàn)與軸線(xiàn)的夾角α＝45°；又截面與軸線(xiàn)的夾角β＝30°，即β<α，∴截線(xiàn)是雙曲線(xiàn)，其離心率e＝eq\f(cosβ,cosα)＝eq\f(cos30°,cos45°)＝eq\f(\r(3),\r(2))＝eq\f(\r(6),2).【答案】eq\f(\r(6),2)6.一平面與圓柱面的母線(xiàn)成45°角，平面與圓柱面的截線(xiàn)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，則圓柱面內(nèi)切球的半徑為_(kāi)_______.【解析】由2a＝6，得a＝3，又e＝cos45°＝eq\f(\r(2),2)，∴c＝e·a＝eq\f(\r(2),2)×3＝eq\f(3\r(2),2).∴b＝eq\r(a2－c2)＝eq\r(32－\f(9,2))＝eq\f(3\r(2),2).∴圓柱面內(nèi)切球的半徑r＝eq\f(3\r(2),2).【答案】eq\f(3\r(2),2)三、解答題(每小題10分，共30分)7.如圖2-1-7，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是AA1、D1C1的中點(diǎn)，G是正方形BCC1B1的中心，畫(huà)出空間四邊形AEFG在該正方體的面DCC1D1上的正投影.圖2-1-7【解】如圖(1)，點(diǎn)A落在D點(diǎn)上，點(diǎn)G落在CC1的中點(diǎn)G′上，點(diǎn)F在面DCC1D1上的正射影仍為點(diǎn)F，點(diǎn)E落在DD1的中點(diǎn)E′上，擦去命名點(diǎn)，其圖形如圖(2)所示.8.已知點(diǎn)A(1，2)在橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1內(nèi)，F(xiàn)的坐標(biāo)為(2，0)，在橢圓上求一點(diǎn)P，使|PA|＋2|PF|最小.【解】如圖所示，∵a2＝16，b2＝12，∴c2＝4，c＝2.∴F為橢圓的右焦點(diǎn)，并且離心率為eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).設(shè)P到右準(zhǔn)線(xiàn)的距離為d，則|PF|＝eq\f(1,2)d，d＝2|PF|.∴|PA|＋2|PF|＝|PA|＋d.由幾何性質(zhì)可知，當(dāng)P點(diǎn)的縱坐標(biāo)(橫坐標(biāo)大于零)與A點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同時(shí)，|PA|＋d最小.把y＝2代入eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1，得x＝eq\f(4\r(6),3)(x＝－eq\f(4\r(6),3)舍去).即點(diǎn)P(eq\f(4\r(6),3)，2)為所求.[能力提升]9.在空間中，取直線(xiàn)l為軸.直線(xiàn)l′與l相交于O點(diǎn)，夾角為α.l′繞l旋轉(zhuǎn)得到以O(shè)為頂點(diǎn)，l′為母線(xiàn)的圓錐面.任取平面π，若它與軸l的交角為β.試用Dandelin雙球證明：當(dāng)β＝α?xí)r，平面π與圓錐的交線(xiàn)為拋物線(xiàn).【證明】如圖：設(shè)Dandelin球與圓錐面的交線(xiàn)為圓S.記圓所在的平面為π′，π與π′的交線(xiàn)為m.在平面π與圓錐面的交線(xiàn)上任取一點(diǎn)P，設(shè)平面π與Dandelin球的切點(diǎn)為F，連PF.在平面π中過(guò)P作m的垂線(xiàn)，垂足為A，過(guò)P作π′的垂線(xiàn)，垂足為B，連AB，則AB為PA在平面π′上的射影.顯然，m⊥AB，故∠PAB是平面π與平面π′所成的二面角的平面角.在Rt△APB中，∠APB＝β.則PB＝PA·cosβ ①又設(shè)過(guò)點(diǎn)P的母線(xiàn)交圓S于點(diǎn)Q，則PQ＝PF.在Rt△PBQ中，PB＝PQ·cosα∴PB＝PF·cosα ②由①，②得eq\f(PF