山西省忻州市秀容中學(xué)高一數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知球的表面積為64π，則它的體積為（）A．16π B．π C．36π D．π參考答案：B【考點】球的體積和表面積．【分析】根據(jù)球的表面積公式求出球的半徑，然后計算球的體積即可．【解答】解：設(shè)球的半徑為r，∵球的表面積為64π，∴4πr2=64π，即r2=16，解得r=4，∴球的體積為=．故選B．2.下列兩個變量不是相關(guān)關(guān)系的是（

）A．人的身高和體重

B．降雪量和交通事故發(fā)生率C．勻速行駛的車輛的行駛距離和時間

D．每畝施用肥料量和糧食畝產(chǎn)量參考答案：C略3.設(shè)是奇函數(shù)，且在內(nèi)是增函數(shù)，又，則的解集是A． B．C． D．參考答案：C4.（5分）已知函數(shù)f（x）=ax2+（a3﹣a）x+1在（﹣∞，﹣1]上遞增，則a的取值范圍是（） A． a B． C． D． 參考答案：D考點： 函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．專題： 計算題．分析： 函數(shù)f（x）=ax2+（a3﹣a）x+1在（﹣∞，﹣1]上遞增，由二次函數(shù)的圖象知此函數(shù)一定開口向下，且對稱軸在區(qū)間的右側(cè)，由此問題解決方法自明．解答： 由題意，本題可以轉(zhuǎn)化為解得當(dāng)a=0時，函數(shù)f（x）=1不符合題意綜上知，a的取值范圍是故選D點評： 本題考點是函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，考查二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象，本題由二次函數(shù)的圖象轉(zhuǎn)化為關(guān)于參數(shù)的不等式即可，由于二次項的系數(shù)帶著字母，所以一般要對二次系數(shù)為0進行討論，以確定一次函數(shù)時是否滿足題意，此項漏掉討論是此類題失分的一個重點，做題時要注意問題解析的完整性，考慮到每一種情況．5.函數(shù)的定義域是（）A．（1，+∞） B．（1，2] C．（2，+∞） D．（﹣∞，2）參考答案：B【考點】函數(shù)的定義域及其求法．【分析】由根式內(nèi)部的代數(shù)式大于等于0，然后求解對數(shù)不等式得答案．【解答】解：由=，得0＜x﹣1≤1，即1＜x≤2．∴函數(shù)的定義域是（1，2]．故選：B．6.已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且，，則=（

）.A.90 B.125 C.155 D.180參考答案：C【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)，成等比數(shù)列，即可求得，再得出答案.【詳解】因為等比數(shù)列的前項和為，根據(jù)性質(zhì)所以成等比數(shù)列，因為，所以，故故選C【點睛】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，若等比數(shù)列的前項和為，則也成等比數(shù)列，這是解題的關(guān)鍵，屬于較為基礎(chǔ)題.7.在平面直角坐標系中，角α的頂點與原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊過點P（﹣，﹣1），則sin（2α﹣）=（）A． B．﹣ C． D．﹣參考答案：D【考點】任意角的三角函數(shù)的定義．【專題】計算題；三角函數(shù)的求值．【分析】利用三角函數(shù)的定義確定α，再代入計算即可．【解答】解：∵角α的終邊過點P（﹣，﹣1），∴α=+2kπ，∴sin（2α﹣）=sin（4kπ+﹣）=﹣，故選：D．【點評】本題考查求三角函數(shù)值，涉及三角函數(shù)的定義和特殊角的三角函數(shù)，屬基礎(chǔ)題．8.函數(shù)的反函數(shù)為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D略9.根據(jù)有關(guān)資料，圍棋狀態(tài)空間復(fù)雜度的上限M約為，而可觀測宇宙中普通物質(zhì)的原子總數(shù)N約為.則下列各數(shù)中與最接近的是（

）（參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.30）（A）1030（B）1028

（C）1036

（D）1093參考答案：B10.有下列說法：(1)0與{0}表示同一個集合；(2)由1，2，3組成的集合可表示為{1，2，3}或{3，2，1}；(3)方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示為{1，1，2}；(4)集合{x|4<x<5}是有限集．其中正確的說法是()A．只有(1)和(4) B．只有(2)和(3)C．只有(2)

D．以上四種說法都不對參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.通過觀察所給兩等式的規(guī)律，①②請你寫出一個（包含上面兩命題）一般性的命題：

．參考答案：12.已知函數(shù)，若且，則的取值范圍是___________．參考答案：作出函數(shù)的圖象，如圖所示．∵時，，∴，即，則，∴，且，∴，即的取值范圍是，故答案為.13.函數(shù)的值域為

．參考答案：(0，3］14.若OA∥O1A1，OB∥O1B1，則∠AOB與∠A1O1B1的關(guān)系是________．參考答案：相等或互補15.狄利克雷是德國著名數(shù)學(xué)家，函數(shù)D（x）=被稱為狄利克雷函數(shù)，下面給出關(guān)于狄利克雷函數(shù)D（x）的五個結(jié)論：①若x是無理數(shù)，則D（D（x））=0；②函數(shù)D（x）的值域是[0，1]；③函數(shù)D（x）偶函數(shù)；④若T≠0且T為有理數(shù)，則D（x+T）=D（x）對任意的x∈R恒成立；⑤存在不同的三個點A（x1，D（x1）），B（x2，D（x2）），C（x3，D（x3）），使得△ABC為等邊角形．其中正確結(jié)論的序號是

．參考答案：②③④【考點】分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】①，根據(jù)函數(shù)的對應(yīng)法則，可得不管x是有理數(shù)還是無理數(shù)，均有f（f（x））=1，從而可判斷①；②，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義，可得f（x）是偶函數(shù)，可判斷②；③，根據(jù)函數(shù)的表達式，結(jié)合有理數(shù)和無理數(shù)的性質(zhì)，得f（x+T）=f（x），可判斷③；④，取x1=﹣，x2=0，x3=，可得A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC為等邊三角形恰好構(gòu)成等邊三角形，可判斷④．【解答】解：①∵當(dāng)x為有理數(shù)時，D（x）=1；當(dāng)x為無理數(shù)時，D（x）=0，∴當(dāng)x為有理數(shù)時，D（D（x））=D（1）=1；當(dāng)x為無理數(shù)時，D（D（x））=D（0）=1，即不管x是有理數(shù)還是無理數(shù)，均有D（D（x））=1，故①不正確；②∵有理數(shù)的相反數(shù)還是有理數(shù)，無理數(shù)的相反數(shù)還是無理數(shù)，∴對任意x∈R，都有D（﹣x）=D（x），故②正確；③若x是有理數(shù)，則x+T也是有理數(shù)；若x是無理數(shù)，則x+T也是無理數(shù)，∴根據(jù)函數(shù)的表達式，任取一個不為零的有理數(shù)T，D（x+T）=D（x）對x∈R恒成立，故③正確；④取x1=﹣，x2=0，x3=，可得D（x1）=0，D（x2）=1，D（x3）=0，∴A（，0），B（0，1），C（﹣，0），恰好△ABC為等邊三角形，故④正確．即真命題是②③④，故答案為：②③④．16.（5分）閱讀下列一段材料，然后解答問題：對于任意實數(shù)x，符號[x]表示“不超過x的最大整數(shù)”，在數(shù)軸上，當(dāng)x是整數(shù)，[x]就是x，當(dāng)x不是整數(shù)時，[x]是點x左側(cè)的第一個整數(shù)點，這個函數(shù)叫做“取整函數(shù)”，也叫高斯（Gauss）函數(shù)；如[﹣2]=﹣2，[﹣1.5]=﹣2，[2.5]=2；則的值為

．參考答案：﹣1考點： 函數(shù)的值．專題： 計算題；新定義．分析： 先求出各對數(shù)值或所處的范圍，再用取整函數(shù)求解．解答： ∵，，，log21=0，log22=1，0＜log23＜1，log24=2∴=﹣2+（﹣2）﹣1+0+1+1+2=﹣1故答案為：﹣1點評： 本題是一道新定義題，這類題目要嚴格按照定義操作，轉(zhuǎn)化為已知的知識和方法求解，還考查了對數(shù)的運算及性質(zhì)．17.用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的，要使存留的污垢不超過1%，則至少要清洗的次數(shù)是

次。參考答案：4次三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.一條河自西向東流淌，某人在河南岸處看到河北岸兩個目標、分別在東偏北和東偏北方向，此人向東走米到達處之后，再看、，則分別在西偏北和西偏北方向，求目標、之間的距離．（12分）參考答案：略19.（本題滿分12分）已知函數(shù)，其中、為非零實數(shù)，，（1）判斷函數(shù)的奇偶性，并求、的值；（2）用定義證明在上是增函數(shù)。參考答案：20.已知關(guān)于x的二次函數(shù)f（x）=ax2﹣4bx+1．（Ⅰ）設(shè)集合A={﹣1，1，2，3，4，5}和B={﹣2，﹣1，1，2，3，4}，分別從集合A，B中隨機取一個數(shù)作為a和b，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率．（Ⅱ）設(shè)點（a，b）是區(qū)域內(nèi)的隨機點，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)的概率．參考答案：【考點】CF：幾何概型；CB：古典概型及其概率計算公式．【分析】（Ⅰ）分a=1，2，3，4，5這五種情況來研究a＞0，且≤1的取法共有16種，而所有的取法共有6×6=36種，從而求得所求事件的概率．（Ⅱ）由條件可得，實驗的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的面積等于S△OMN=×8×8=32，滿足條件的區(qū)域的面積為S△POM=×8×=，故所求的事件的概率為P=，運算求得結(jié)果．【解答】解：要使函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，則a＞0且，即a＞0且2b≤a．（Ⅰ）所有（a，b）的取法總數(shù)為6×6=36個，滿足條件的（a，b）有（1，﹣2），（1，﹣1），（2，﹣2），（2，﹣1），（2，1），（3，﹣2），（3，﹣1），（3，1），（4，﹣2），（4，﹣1），（4，1），（4，2），（5，﹣2），（5，﹣1），（5，1），（5，2）共16個，所以，所求概率．…（6分）（Ⅱ）如圖，求得區(qū)域的面積為．由，求得所以區(qū)域內(nèi)滿足a＞0且2b≤a的面積為．所以，所求概率．【點評】本題考查了等可能事件的概率與二次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及簡單的線性規(guī)劃問題相結(jié)合的問題，畫出實驗的所有結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，Ⅰ是古典概型的概率求法，Ⅱ是幾何概型的概率求法．21.（本小題滿分14分）已知函數(shù)（，，）的圖像如圖所示(1)求出函數(shù)的解析式；(2)若將函數(shù)的圖像向右移動個單位得到函數(shù)的圖像，求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間及對稱中心.參考答案：（1）

（2）增區(qū)間

；增區(qū)間；對稱中心22.（14分）若f（x）是定義在（0，+∞）上的增函數(shù)，且對一切x，y＞0，滿足f（）=f（x）﹣f（y）（1）求f（1）的值，（2）若f（6）=1，解不等式f（x+3）﹣f（）＜2．參考答案：【考點】抽象函數(shù)及其應(yīng)用；函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)．【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】（1）利用賦值法即可求f（1）的值，（2）若f（6）=1，結(jié)合抽象函數(shù)將不等式f（x+3）﹣f（）＜2進行轉(zhuǎn)化，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可．【解答】解：（1）在f（）=f