第三章受迫振動(dòng)3.5簡(jiǎn)諧力與阻尼力的功3.6等效粘性阻尼3.7系統(tǒng)對(duì)周期激勵(lì)的響應(yīng)·傅里葉級(jí)數(shù)3.5簡(jiǎn)諧力與阻尼力的功有阻尼的系統(tǒng)在振動(dòng)時(shí)，機(jī)械能不斷耗散，而振動(dòng)逐漸衰減.(1)簡(jiǎn)諧激勵(lì)力在一個(gè)周期內(nèi)所做的功。強(qiáng)迫振動(dòng)時(shí)，激勵(lì)對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)做功，不斷輸入能量，當(dāng)輸入與耗散相等時(shí)，振動(dòng)不衰減，振幅保持常值，即穩(wěn)態(tài)振動(dòng).設(shè)簡(jiǎn)諧激勵(lì)力作用在m上，運(yùn)動(dòng)方程的解為：則在一個(gè)周期內(nèi)激勵(lì)所做的功：所做的功與力和振幅有關(guān)，還與相位差有關(guān).共振時(shí)最大。(2)阻尼力在一個(gè)周期內(nèi)耗散的能量，即一個(gè)周期內(nèi)所做的功.對(duì)粘性阻尼力阻尼力在一個(gè)周期內(nèi)所做的功：同樣系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，有粘性阻尼力所做的功與振幅的平方成正比，與頻率也成正比。若激勵(lì)力做功與粘性阻尼力耗散功相等，有發(fā)生共振時(shí)，例3.5-1已知解：可得，求F的功率P.括號(hào)內(nèi)第一項(xiàng)是常量，第二項(xiàng)是頻率2ω的正弦波。若激勵(lì)力做功與粘性阻尼力耗散功相等，有例3.5-2設(shè)解：激勵(lì)力與響應(yīng)的頻率均為求開始6s內(nèi)與開始1/2s內(nèi)所做的功.開始6s內(nèi)有三個(gè)周期，開始1/2s內(nèi)只有1/4周期，所以3.6等效粘性阻尼當(dāng)系統(tǒng)中存在非粘性阻尼時(shí)，一般將使系統(tǒng)成為非線性。等效的原則：令非粘性阻尼在一個(gè)周期內(nèi)耗散的能量與等效粘性阻尼在同一周期內(nèi)耗散的能量相等。系統(tǒng)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)，粘性阻尼在一個(gè)周期內(nèi)耗散的能量：（3.5-2）為便于分析，常將各種非黏性阻尼簡(jiǎn)化為等效黏性阻尼，非粘性阻尼在一個(gè)周期內(nèi)耗散的能量為E，可表示為得非粘性阻尼的等效粘性阻尼：（3.6-1）(1)干摩擦阻尼干摩擦力大小Fd與正壓力成正比，與運(yùn)動(dòng)速度反向：運(yùn)動(dòng)方向不變時(shí)，摩擦力為常值，所作的功等于摩擦力與運(yùn)動(dòng)距離的乘積，每個(gè)周期有四個(gè)階段，總的耗散能量為：代入（3.6-1）式，得到等效粘性阻尼系數(shù)。（3.6-3）等效黏性阻尼系數(shù)與摩擦力成正比，與振幅和頻率成反比。(2)速度平方阻尼阻尼力大小Fd與運(yùn)動(dòng)速度平方成正比，與運(yùn)動(dòng)速度反向：簡(jiǎn)諧振動(dòng)時(shí)：得到等效粘性阻尼系數(shù)：（3.6-3）等效黏性阻尼系數(shù)與振幅和頻率成正比。每振動(dòng)一周耗散能量為：(3)結(jié)構(gòu)阻尼得到等效粘性阻尼系數(shù)：（3.6-8）等效黏性阻尼系數(shù)與頻率成反比。材料本身的內(nèi)摩擦而引起的阻力。0δε加載卸載對(duì)粘彈性材料，加載卸載過程中，應(yīng)力應(yīng)變曲線會(huì)形成滯后回線，因此要耗散能量。對(duì)大多數(shù)金屬材料，在振動(dòng)一周內(nèi)耗散能量與振幅平方成正比實(shí)驗(yàn)指出內(nèi)摩擦引起的阻尼與速度無關(guān)，有了等效粘性阻尼系數(shù)，非粘性阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)的方程可寫為：（3.6-9）其特解的振幅為：事實(shí)上，對(duì)于簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用的振動(dòng)系統(tǒng)，通常都假定振動(dòng)（3.6-10）系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)也是簡(jiǎn)諧振動(dòng)。但對(duì)于有非粘性阻尼的系統(tǒng)，這個(gè)假定不再正確。而在實(shí)際問題中，較小的阻尼不致過分影響強(qiáng)迫振動(dòng)的波形，上述計(jì)算方法可以得出有用的結(jié)果。3.7系統(tǒng)對(duì)周期激勵(lì)的響應(yīng)·傅里葉級(jí)數(shù)

設(shè)質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)受到任意周期力F(t)的激勵(lì)，激勵(lì)力的頻率為ω。利用傅里葉級(jí)數(shù)可將任意周期激勵(lì)力分解為有限個(gè)或可列無限個(gè)諧波分量，則任意周期的激勵(lì)分解為有限個(gè)或可列無限個(gè)諧波分量的簡(jiǎn)諧激勵(lì)，系統(tǒng)的響應(yīng)為對(duì)各個(gè)諧波分量響應(yīng)的疊加。這種分析方法稱為諧波分析。

設(shè)周期力F(t)的頻率為ω，周期為T=2π/ω。將F(t)展開為傅里葉級(jí)數(shù)，以復(fù)數(shù)形式表示為：

其中：實(shí)數(shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)展開：記：n

的偶函數(shù)n

的奇函數(shù)為任一時(shí)刻（3.7-2）（3.7-3）（3.7-4）

其中的常值分量F0僅影響系統(tǒng)的靜平衡位置，只要將坐標(biāo)原點(diǎn)改在靜平衡位置，即可將該項(xiàng)消去。

這樣動(dòng)力學(xué)方程為：（3.7.5）利用線性常微分方程解的可疊加性質(zhì)，不考慮解的暫態(tài)過程，該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)為：則：（3.7.7）（3.7.6）（3.7.8）其中，βn和φn分別為第n次諧波激勵(lì)對(duì)應(yīng)的振幅放大因子和相位差。λn為第n次諧波的無量綱頻率。以各階頻率為橫坐標(biāo)，作出βn和φn的離散圖形，稱為頻譜圖?？捎糜诜治鲋芷诩?lì)力的響應(yīng)狀況。因此，諧波分析也稱為頻譜分析。諧波分析方法也適用于分析任意周期慣性力激勵(lì)的受迫振動(dòng)。例3.6.1設(shè)質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)受到如圖2.10所示的周期方波激勵(lì)：試求此系統(tǒng)的響應(yīng)，令λ=1/6，ζ=0.1，作出頻譜圖。tF(t)O-F0F0T/2T圖2.10方波激勵(lì)力解：將激勵(lì)展開為傅里葉級(jí)數(shù)：（a）動(dòng)力學(xué)方程：解為：其中（b）（c）λ=1/6，ζ=0.1，作出βn和φn的頻譜圖:n=1,2,3,4,5,600.5100.5-0.5例3.6.2發(fā)電機(jī)的振動(dòng)。曲柄、連桿質(zhì)量不計(jì)，發(fā)電機(jī)總質(zhì)量m，活塞質(zhì)量為m1，曲柄轉(zhuǎn)速ω。設(shè)r<<

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