第四講方差分析

兩總體平均數(shù)間的差異顯著性可用t檢驗(yàn),但實(shí)際中常遇到比較多個(gè)總體(處理)平均數(shù)的問(wèn)題,這時(shí)若仍用t檢驗(yàn)就不適宜了。這是因?yàn)椋?.1緒言(1)檢驗(yàn)過(guò)程煩瑣例如，一試驗(yàn)包含5個(gè)處理，采用t檢驗(yàn)法要進(jìn)行C52=10次兩兩平均數(shù)的差異顯著性檢驗(yàn)；若有k個(gè)處理，則要作q=Ck2=k(k-1)/2次類(lèi)似的檢驗(yàn)。(2)無(wú)統(tǒng)一的試驗(yàn)誤差對(duì)同一試驗(yàn)的多個(gè)處理進(jìn)行比較時(shí)，應(yīng)該有一個(gè)統(tǒng)一的試驗(yàn)誤差。若用t檢驗(yàn)作兩兩比較，由于每次比較需計(jì)算一個(gè)，故使得各次比較誤差不統(tǒng)一，同時(shí)沒(méi)有充分利用資料信息而使誤差估計(jì)的精確性降低，從而降低檢驗(yàn)的靈敏性。(3)推斷的可靠性低，犯I型錯(cuò)誤的概率增大

若用t檢驗(yàn)進(jìn)行多個(gè)處理平均數(shù)間的差異檢驗(yàn)，會(huì)增大犯I型錯(cuò)誤的概率(1-(1-)q)，降低推斷的可靠性。

由于上述原因，多個(gè)平均數(shù)的檢驗(yàn)不宜用t檢驗(yàn)，須采用方差分析法。

這種方法是將k個(gè)處理的觀測(cè)值作為一個(gè)整體看待，把觀測(cè)值總變異的平方和及自由度分解為相應(yīng)于不同變異來(lái)源的平方和及自由度，獲得不同變異來(lái)源總體方差的估計(jì)值；通過(guò)計(jì)算總體方差的估計(jì)值的適當(dāng)比值，檢驗(yàn)各樣本所屬總體平均數(shù)是否相等。

“方差分析法是一種在若干能相互比較的資料組中，把產(chǎn)生變異的原因加以區(qū)分開(kāi)來(lái)的方法與技術(shù)”，方差分析實(shí)質(zhì)上是關(guān)于觀測(cè)值變異原因的數(shù)量分析。

幾個(gè)常用術(shù)語(yǔ):1、試驗(yàn)指標(biāo)(experimentalresponseorindex)

為衡量試驗(yàn)結(jié)果的好壞或處理效應(yīng)的高低，在試驗(yàn)中具體測(cè)定的性狀或觀測(cè)的項(xiàng)目稱為試驗(yàn)指標(biāo)。由于試驗(yàn)?zāi)康牟煌?，選擇的試驗(yàn)指標(biāo)也不相同。在畜禽、水產(chǎn)試驗(yàn)中常用的試驗(yàn)指標(biāo)有：日增重、產(chǎn)仔數(shù)、產(chǎn)奶量、產(chǎn)蛋率、瘦肉率、某些生理生化和體型指標(biāo)(如血糖含量、體高、體重)等。下一張

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2、試驗(yàn)因素(experimentalfactor)

試驗(yàn)中所研究的影響試驗(yàn)指標(biāo)的因素叫試驗(yàn)因素。如研究如何提高豬的日增重時(shí)，飼料的配方、豬的品種、飼養(yǎng)方式、環(huán)境溫濕度等都對(duì)日增重有影響，均可作為試驗(yàn)因素來(lái)考慮。當(dāng)試驗(yàn)中考察的因素只有一個(gè)時(shí)，稱為單因素試驗(yàn)；若同時(shí)研究?jī)蓚€(gè)或兩個(gè)以上的因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)的影響時(shí)，則稱為兩因素或多因素試驗(yàn)。試驗(yàn)因素常用大寫(xiě)字母A、B、C、…等表示。下一張

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3、因素水平(leveloffactor)

試驗(yàn)因素所處的某種特定狀態(tài)或數(shù)量等級(jí)稱為因素水平，簡(jiǎn)稱水平。如比較3個(gè)品種奶牛產(chǎn)奶量的高低，這3個(gè)品種就是奶牛品種這個(gè)試驗(yàn)因素的3個(gè)水平；研究某種飼料中4種不同能量水平對(duì)肥育豬瘦肉率的影響，這4種特定的能量水平就是飼料能量這一試驗(yàn)因素的4個(gè)水平。下一張

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因素水平用代表該因素的字母加添足標(biāo)1，2，…，來(lái)表示。如A1、A2、…，B1、B2、…，等。

4、試驗(yàn)處理(treatment)

事先設(shè)計(jì)好的實(shí)施在試驗(yàn)單位上的具體項(xiàng)目叫試驗(yàn)處理，簡(jiǎn)稱處理。在單因素試驗(yàn)中，實(shí)施在試驗(yàn)單位上的具體項(xiàng)目就是試驗(yàn)因素的某一水平。例如進(jìn)行飼料的比較試驗(yàn)時(shí)，實(shí)施在試驗(yàn)單位(某種畜禽)上的具體項(xiàng)目就是喂飼某一種飼料。所以進(jìn)行單因素試驗(yàn)時(shí)，試驗(yàn)因素的一個(gè)水平就是一個(gè)處理。下一張

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在多因素試驗(yàn)中，實(shí)施在試驗(yàn)單位上的具體項(xiàng)目是各因素的某一水平組合。例如進(jìn)行3種飼料和3個(gè)品種對(duì)豬日增重影響的兩因素試驗(yàn)，整個(gè)試驗(yàn)共有3×3=9個(gè)水平組合，實(shí)施在試驗(yàn)單位(試驗(yàn)豬)上的具體項(xiàng)目就是某品種與某種飼料的結(jié)合。所以，在多因素試驗(yàn)時(shí)，試驗(yàn)因素的一個(gè)水平組合就是一個(gè)處理。下一張

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5、試驗(yàn)單位(experimentalunitorplot)

在試驗(yàn)中能接受不同試驗(yàn)處理的獨(dú)立的試驗(yàn)載體叫試驗(yàn)單位。在畜禽、水產(chǎn)試驗(yàn)中，一只家禽、一頭家畜、一只小白鼠、一尾魚(yú)，即一個(gè)動(dòng)物；或幾只家禽、幾頭家畜、幾只小白鼠、幾尾魚(yú)，即一組動(dòng)物都可作為試驗(yàn)單位。試驗(yàn)單位往往也是觀測(cè)數(shù)據(jù)的單位。

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6、重復(fù)(repetitionorreplication)

在試驗(yàn)中，將一個(gè)處理實(shí)施在兩個(gè)或兩個(gè)以上的試驗(yàn)單位上，稱為處理有重復(fù)；一處理實(shí)施的試驗(yàn)單位數(shù)稱為處理的重復(fù)數(shù)。例如，用某種飼料喂4頭豬，就說(shuō)這個(gè)處理(飼料)有4次重復(fù)。試驗(yàn)設(shè)計(jì)三原則：randomization，replication，portionofcontrol下一張

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4.2方差分析的基本原理4.2.1基本原理為便于理解方差分析的基本原理，先看一個(gè)例子。例7.1

小麥品種對(duì)比試驗(yàn)，6個(gè)品種，4次重復(fù)，單因素完全隨機(jī)設(shè)計(jì)，得產(chǎn)量(kg/小區(qū))結(jié)果如下表:處理和yi.處理平均處理品種觀察值（重復(fù)）1234A15854504921152.75A24238413615739.25A33236293513233.00A44645434618045.00A53531343413433.50A64442363816040.0024個(gè)小區(qū)的產(chǎn)量有高有低存在差異,稱為變異；處理和yi.處理平均處理品種觀察值（重復(fù)）1234A15854504921152.75A24238413615739.25A33236293513233.00A44645434618045.00A53531343413433.50A64442363816040.00

各處理平均產(chǎn)量之間也存在差異,看作不同品種間生產(chǎn)能力的差異；

同一品種不同重復(fù)之間的產(chǎn)量也不相同，是由隨機(jī)誤差造成的；試驗(yàn)結(jié)果的總變異是由兩類(lèi)原因引起:(1)由施加試驗(yàn)條件的影響引起試驗(yàn)指標(biāo)的變異,稱處理間(組間)變異；(2)由隨機(jī)因素引起的變異,稱處理內(nèi)(組內(nèi))變異。

即：總變異=處理間變異+處理內(nèi)變異

用方差作為衡量各種變異量的尺度。

總方差ST2表示總變異,處理間方差St2表示處理間變異,處理內(nèi)方差Se2表示處理內(nèi)變異(作為誤差)。

把處理方差和誤差方差在一定意義下比較，當(dāng)處理間方差顯著地大于誤差方差時(shí)，表明處理因素對(duì)試驗(yàn)指標(biāo)有顯著影響，這就是方差分析解決問(wèn)題的基本思路。4.2.2方差分析的一般步驟

(1)平方和與自由度的分解

重復(fù)處理12…j…nyi.A1A2…Ai…Ak

y11

y12…y1j

…y1ny21

y22…y1j…y2n……………….

yi1

yi2…yij…yin………………yk1

yk2…ykj…ykny1.y2.…yi.…yk.……

假設(shè)單因素A有k個(gè)處理(水平）A1，A2，…，Ak，完全隨機(jī)化設(shè)計(jì)，每個(gè)處理有n次重復(fù)，共有nk個(gè)觀測(cè)值。這類(lèi)試驗(yàn)資料的數(shù)據(jù)模式如下表所示。

重復(fù)處理12…j…nyi.A1A2…Ai…Ak

y11

y12…y1j

…y1ny21

y22…y1j…y2n……………….

yi1

yi2…yij…yin………………yk1

yk2…ykj…ykny1.y2.…yi.…yk.……其中：表示第i個(gè)處理n個(gè)觀察值的和；表示第i個(gè)處理的平均數(shù)；表示全部觀察值的總和；表示全部觀察值的總平均數(shù)。

平方和分解總平方和是各觀測(cè)值yij與總平均數(shù)的離差平方和，記為SST。即其中所以稱為處理間平方和；稱為處理內(nèi)平方和或誤差平方和。易證平方和的計(jì)算公式如下：其中，C=y2··/(kn)稱為矯正數(shù)。處理間自由度，DFt=k–1;處理內(nèi)(誤差)自由度，DFe=nk

-k=k(n

-

1)。自由度分解總自由度，DFT=nk

–1;顯然,DFT=

DFt

+DFe計(jì)算均方

各部分平方和除以相應(yīng)的自由度便得到總均方、處理間均方和處理內(nèi)均方，分別記為MST

(或ST2)、MSt(或St2)和MSe(或Se2)。即(2)F檢驗(yàn)

在單因素試驗(yàn)結(jié)果的方差分析中，記i為第i處理(總體)的期望值(平均值),則假設(shè)為

H0：1=2=…=k，HA：各i不全相等在H0成立的條件下，

當(dāng)F≥F(DFt,DFe)時(shí),否定H0,即認(rèn)為k個(gè)處理平均值之間差異顯著。然后進(jìn)行多重比較；

當(dāng)F<F(DFt，DFe)時(shí)，接受H0，即認(rèn)為k個(gè)處理平均值之間差異不顯著，計(jì)算結(jié)束。列方差分析表：方差來(lái)源自由度平方和均方F值F臨界值處理誤差k-1k(n-1)SStSSeMStMSeF=MSt/MSeFα(DFt，DFe)總和nk-1SST

當(dāng)F≥F(DFt,DFe)時(shí),否定H0,即認(rèn)為k個(gè)處理平均值之間差異顯著。然后進(jìn)行多重比較；

當(dāng)F<Fα(DFt，DFe)時(shí)，接受H0，即認(rèn)為k個(gè)處理平均值之間差異不顯著，計(jì)算結(jié)束。對(duì)例7.1k=6，n=4處理和yi.處理平均處理品種觀察值（重復(fù)）1234A15854504921152.75A24238413615739.25A33236293513233.00A44645434618045.00A53531343413433.50A64442363816040.00處理和yi.處理平均處理品種觀察值（重復(fù)）1234A15854504921152.75A24238413615739.25A33236293513233.00A44645434618045.00A53531343413433.50A64442363816040.00DFT=nk–1=4×6–1=23;DFt=k–1=6-1=5;DFe=DFT

-DFt

=23–5=18MSt=SSt/DFt=1109.33/5=221.87MSe=SSe/DFe=158.50/18=8.81F=MSt/MSe=221.87/8.81=25.18；查F表F0.01(5,18)=4.25

因?yàn)镕=25.18＞F0.01(5，18)=4.25，所以則否定H0，接受HA，這表明不同處理平均值間差異顯著。即6個(gè)不同品種的平均產(chǎn)量間差異顯著。方差分析表方差來(lái)源自由度平方和均方F值F臨界值品種誤差5181109.33158.50221.878.8125.18**F0.01(5,18)=4.25總和231267.83

表中的F值應(yīng)與相應(yīng)的被檢驗(yàn)因素齊行。經(jīng)F檢驗(yàn)差異極顯著，故在F值25.18右上方標(biāo)記“**”（若

=0.05水平顯著，標(biāo)記“*”）。

因?yàn)镕=25.18＞F0.01(5，18)=4.25,所以則否定H0，接受HA，這表明不同處理平均值間差異顯著。即6個(gè)不同品種的平均產(chǎn)量間差異顯著。

設(shè)有k個(gè)處理，第i個(gè)處理有ni次重復(fù)，試驗(yàn)結(jié)果yij表示第i個(gè)處理的第j個(gè)觀察值(i=1,2,…,k；j=1,2,…,ni)。

N=n1+n2+…+nk為全部試驗(yàn)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，C=y..2/N

為矯正數(shù)，則平方和與自由度的計(jì)算公式為

重復(fù)數(shù)不等的情況DFT=N–1;DFt=k–1;DFe=DFT

–DFt均方與F值的計(jì)算公式不變。

例4.2

在食品衛(wèi)生檢驗(yàn)中，對(duì)4種不同品牌臘肉的酸價(jià)進(jìn)行了隨機(jī)抽樣檢測(cè)，得結(jié)果如下表，試分析4種不同品牌臘肉的酸價(jià)指標(biāo)有無(wú)顯著差異？品牌酸價(jià)(yij)yi

.

niA1A2A3A41.61.52.01.91.31.01.21.41.71.92.02.52.71.80.91.01.31.11.91.61.51.82.01.72.11.52.52.211.612.69.313.81.4982.1061.3371.977k=4,y..=11.6+12.6+9.3+13.8=47.6,N=28C=47.62/28=80.9200,SST=(1.62+…+2.22)-C=5.8800SSt=(11.62/8+12.62/6+9.32/7+13.82/7)-C=2.8027SSe=SST-SSt=5.8800-2.8027=3.0773DFT=N-1=28-1=27,DFt=k-1=4-1=3,DFe=DFT-DFt=27-3=24F=7.287>4.72,即4種不同品牌臘肉之酸價(jià)差異極顯著。方差分析表方差來(lái)源DFSSMSFF臨界值品牌間誤差3242.80273.07730.93420.12827.287**F0.01(3,24)=4.72總變異275.8800SST=5.8800，SSt=2.8027，SSe=3.0773MSt=SSt

/DFt=2.8027/3=0.9342,MSe=3.0073

/24=0.1282

4.3線性模型、期望均方與效應(yīng)模型4.3.1線性可加模型、期望均方單因素完全隨機(jī)設(shè)計(jì)試驗(yàn)的方差分析模型:

yij=+i+ij，i=1，2，…，k；j=1，2，…，n其中:—總均值;i—第i處理效應(yīng)值,且1+…+k=0；

ij—隨機(jī)誤差且獨(dú)立同分布N(0,2)?；騳ij=i+ij，i=1，2，…，k；j=1，2，…，n其中：i—第i處理均值；

ij—隨機(jī)誤差且獨(dú)立同分布N(0,2)

方差分析是在效應(yīng)線性可加，誤差獨(dú)立正態(tài)等方差條件下進(jìn)行的，這些條件稱為方差分析的基本假定。對(duì)模型中的參數(shù)進(jìn)行估計(jì)。

分別是i和的無(wú)偏估計(jì);其差值ti為i的無(wú)偏估計(jì)量。

檢驗(yàn)H0：1=…=k

等價(jià)于H0：1=…=k=0對(duì)單因素完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的方差分析有SST

=SSt+SSe，其中可以證明：DFt=k–1，因?yàn)镈Fe=k(n

-

1)，所以誤差均方及處理均方的數(shù)學(xué)期望：DFt=k–1，因?yàn)镈Fe=k(n

-

1)，所以誤差均方及處理均方的數(shù)學(xué)期望：其中稱為效應(yīng)方差。所以MSe是2的無(wú)偏估計(jì),MSt是n2+2的無(wú)偏估計(jì)量.

當(dāng)處理效應(yīng)方差2=0，即各i(i=1,…,k)相等(H0成立)時(shí)，MSt與MSe一樣，方差分析是通過(guò)MSt

與MSe的比較進(jìn)行推斷的。在H0成立下,由Cochran定理及第4章得

當(dāng)處理效應(yīng)方差2=0，即各i(i=1,…,k)相等(H0成立)時(shí)，MSt與MSe一樣，方差分析是通過(guò)MSt

與MSe的比較進(jìn)行推斷的。在H0成立下,由Cochran定理及第4章得

當(dāng)給定顯著水平,當(dāng)F

F(k-1,nk-k)時(shí),否定H0，即不同處理平均值間差異顯著；否則，則接受H0，即不同處理平均值間差異不顯著。4.3.2效應(yīng)模型固定模型

i為常數(shù)的線性模型。一般栽培試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑楣潭Ｐ汀ｋS機(jī)模型

i為隨機(jī)變量的線性模型。一般育種試驗(yàn)?zāi)Ｐ蜑殡S機(jī)模型。混合模型

對(duì)多因素而言,有的因素效應(yīng)是隨機(jī)的,有的因素效應(yīng)是固定的，這樣的線性模型是混合模型。

在數(shù)量遺傳學(xué)中把2記作g2

，稱遺傳型方差；而2記作e2,稱為環(huán)境方差，兩者之和p2=g2+e2稱為表現(xiàn)型方差。把g2與p2

的比值

在數(shù)量遺傳學(xué)中把2記作g2

，稱遺傳型方差；而2記作e2,稱為環(huán)境方差，兩者之和p2=g2+e2稱為表現(xiàn)型方差。把g2與p2

的比值稱為遺傳力。稱為遺傳變異系數(shù)。gcv％愈大，選得優(yōu)良遺傳型的潛力愈大。這個(gè)指標(biāo)可作為育種工作的參考。4.4處理平均數(shù)間的多重比較

因而須進(jìn)行兩兩處理平均數(shù)間的比較，以判斷平均數(shù)間的差異顯著性。把多個(gè)平均數(shù)兩兩間的相互比較稱為多重比較。

多重比較方法甚多,常用的有:Fisher’s最小顯著差數(shù)(LSD)法、Tukey’s固定極差法和Dunnett’s最小顯著差數(shù)法。F檢驗(yàn)否定H0,表明總變異主要來(lái)源于處理間變異，各處理平均數(shù)間存在顯著差異；但并不意味著每?jī)蓛善骄鶖?shù)間都差異顯著，也不能具體說(shuō)明哪些有顯著差異，哪些無(wú)差異顯著。4.4.1Fisher's最小顯著差數(shù)法

若＞LSD時(shí)，則處理Ai與Aj的平均值之間在水平上差異顯著；反之，則差異不顯著。最小顯著差數(shù)計(jì)算公式為：

基本做法是:在F檢驗(yàn)顯著的前提下,先計(jì)算出顯著水平為的最小顯著差數(shù)LSD，然后將任意兩個(gè)處理平均數(shù)的差數(shù)的絕對(duì)值與其比較。

按平均數(shù)從大到小自上而下排列出多重比較表,將平均數(shù)多重比較表中兩兩平均數(shù)的差數(shù)與LSD比較，作出統(tǒng)計(jì)推斷。對(duì)例7.1,MSe=8.81,DFe=18,n=4.多重比較表（LSD法）平均數(shù)處理-33.0-33.5-39.25-40.0-45.0A152.7519.75*19.25*13.5*12.75*7.75*A445.0012.00*11.50*5.75*5.00*A640.007.00*6.50*0.75A239.256.25*5.75*A533.500.50A333.00小于4.41者不顯著;大于4.41者顯著，在差數(shù)的右上方標(biāo)記“*”。4.4.2Tukey法在F檢驗(yàn)顯著下，計(jì)算出顯著水平為的最小顯著差數(shù)TFR

，然后將任意兩個(gè)處理平均數(shù)的差數(shù)的絕對(duì)值與其比較。

若＞TFR

時(shí),則Ai與Aj的平均值之間在水平上差異顯著;反之不顯著。TFR

計(jì)算公式為：其中：k—處理數(shù)；q

(k，DFe)—查q表。上例,k=6;DFe=18;MSe=8.81;n=4;q0.05(6,18)=4.49.多重比較表（Tukey法）平均數(shù)處理-33.0-33.5-39.25-40.0-45.0A152.7519.75*19.25*13.5*12.75*7.75*A445.0012.00*11.50*5.755.00A640.007.00*6.500.75A239.256.255.75A533.500.50A333.00

品種A1的平均產(chǎn)量與其它5個(gè)品種有顯著差異；A4與A5和A3有顯著差異；A6與A3有顯著差異；其它無(wú)差異。上例,k=6;DFe=18;MSe=8.81;n=4;q0.05(6,18)=4.49.4.4.3Dunnett's最小顯著差數(shù)法其中：Dt(k-1，DFe)—查附表；

在F檢驗(yàn)顯著下,計(jì)算顯著水平為的最小顯著差數(shù)DLSD，然后將兩個(gè)處理平均數(shù)的差數(shù)的絕對(duì)值與其比較。該方法主要應(yīng)用于各處理平均值與對(duì)照處理平均值之間的比較。如例7.1中A1~A5是國(guó)內(nèi)自己培育的，要與國(guó)外引進(jìn)的品種A6進(jìn)行比較。對(duì)例7.1,MSe=8.81,DFe=18,n=4,k=6.對(duì)例7.1,MSe=8.81,DFe=18,n=4,k=6.品種A1~A5與對(duì)照品種A6的平均產(chǎn)量多重比較表(Dunnett法）比較A1-A612.7512.75*A4-A65.005.00A2-A6-0.750.75A5-A6-6.506.50*A3-A6-7.007.00*A1的平均產(chǎn)量顯著地高于對(duì)照品種A6；A5、A3顯著地低于對(duì)照品種A6;品種A4和A2的平均產(chǎn)量與品種A6無(wú)顯著差異。4.4.4多重比較方法的選擇

上述三種方法，當(dāng)k=2時(shí)比較結(jié)果一致。當(dāng)k>2時(shí)，LSD法、DLSD法和Tukey法的值從小到大，即LSD法最“松”（易顯著），Tukey法最“嚴(yán)”。具體選擇哪種方法視具體情況而定。注意：當(dāng)處理重復(fù)數(shù)不等時(shí)n的估計(jì)為式中k為處理數(shù),ni(i=1,…,k)為第i個(gè)處理的重復(fù)數(shù)。對(duì)例4.2

用LSD法,DFe=24,MSe=0.1282,k=4,N=28處理平均值差值=0.05=0.01A2A4A1A32.101.971.471.330.130.63**0.50*0.77**0.64**0.14

aAaABbBCbC多重比較表（LSD法）

4.4.5多重比較結(jié)果的表示方法

(1)三角形表示法上述方法即為三角形表示法。優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)便直觀。缺點(diǎn)：占篇幅較大。

(2)標(biāo)記字母法將各處理平均數(shù)由大到小自上而下排列；在最大