第七章系統(tǒng)函數(shù)連續(xù)系統(tǒng)離散系統(tǒng)§7.1系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)特性連續(xù)系統(tǒng)零點(diǎn)極點(diǎn)一、H(s)的零、極點(diǎn)與時(shí)域響應(yīng)sjw0ε(t)e-t

ε(t)et

ε(t)1-1111sjw0-11sin(t)e-tε(t)sin(t)etε(t)sin(t)ε(t)1-1H(s)的極點(diǎn)分布與時(shí)域函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系LTI連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)的函數(shù)形式由H(s)的極點(diǎn)確定。(1)若H(s)的極點(diǎn)位于s左半平面,則沖激響應(yīng)的模式為衰減指數(shù)或衰減振蕩,當(dāng)t→∞時(shí),它們趨于零,系統(tǒng)屬于穩(wěn)定系統(tǒng)。(2)若H(s)的極點(diǎn)位于s右半平面,則沖激響應(yīng)的模式為增長(zhǎng)指數(shù)或增長(zhǎng)振蕩,當(dāng)t→∞時(shí),它們趨于無限大,系統(tǒng)屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)。(3)若H(s)的單極點(diǎn)位于虛軸（包括原點(diǎn)）,則沖激響應(yīng)的模式為等幅振蕩或階躍函數(shù),系統(tǒng)屬于臨界穩(wěn)定系統(tǒng)。(4)若位于虛軸（包括原點(diǎn)）的極點(diǎn)為n重極點(diǎn)(n≥2),則沖激響應(yīng)的模式呈增長(zhǎng)形式,系統(tǒng)也屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)。二、

H(s)與系統(tǒng)的頻率特性若系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)的極點(diǎn)全部在左半平面，即H(s)的收斂域包含jω軸，則令則式又可以表示為幅頻響應(yīng)相頻響應(yīng)例：已知二階線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為式中，α＞0,ω0＞0,ω0＞α

。粗略畫出系統(tǒng)的幅頻和相頻特性曲線。

解

H(s)有一個(gè)零點(diǎn)s1=α;有兩個(gè)極點(diǎn)，分別為式中，。于是H(s)又可表示為由于H(s)的極點(diǎn)p1和p2都在左半平面，因此，系統(tǒng)的頻率特性為令則H(jω)又可表示為幅頻特性和相頻特性分別為(a)H(s)零、極點(diǎn)的矢量和差矢量表示；(b)系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性一般情況下,可以認(rèn)為,若系統(tǒng)函數(shù)有一對(duì)非常靠近虛軸的共軛極點(diǎn)p1,2=-α±jβ

，則在ω=β附近處,幅頻特性出現(xiàn)峰值,相頻特性迅速減小。類似地，若系統(tǒng)函數(shù)有一對(duì)非?？拷撦S的共軛零點(diǎn)s1,2=-a±jb，則在ω=b附近處,幅頻特性出現(xiàn)谷值,相頻特性迅速上升。全通函數(shù)系統(tǒng)位于極點(diǎn)左半平面，零點(diǎn)位于右半平面，且零點(diǎn)極點(diǎn)對(duì)于jω軸互為鏡象對(duì)稱則，這種系統(tǒng)函數(shù)成為全通函數(shù)，此系統(tǒng)成為全通系統(tǒng)，或全通網(wǎng)絡(luò)。全通，即幅頻特性為常數(shù)，對(duì)所有頻率的信號(hào)都一律平等的傳輸。從對(duì)稱零點(diǎn)極點(diǎn)之和為180度逐漸減少最后為-360度最小相移函數(shù)非最小相移網(wǎng)絡(luò)可以看成最小相移網(wǎng)絡(luò)和全通網(wǎng)絡(luò)的極聯(lián)零點(diǎn)位于右半平面，矢量夾角的絕對(duì)值較大零點(diǎn)為于左半平面，矢量夾角的絕對(duì)值較小定義：零點(diǎn)僅位于左半平面或虛軸上的系統(tǒng)函數(shù)稱為最小相移函數(shù)，相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)稱為“最小相移網(wǎng)絡(luò)”相互抵消乘§7.2系統(tǒng)的因果性與穩(wěn)定性一、系統(tǒng)的因果性因果系統(tǒng)是指響應(yīng)不出現(xiàn)于激勵(lì)之前的系統(tǒng)。即：對(duì)于系統(tǒng)：若t<t0或k<k0時(shí)，f(?)=0則t<t0或k<k0時(shí)，yf(?)=0連續(xù)因果系統(tǒng)的充要條件為：沖激響應(yīng)：h(t)=0，t<0

或系統(tǒng)函數(shù)H(s)的收斂域?yàn)椋篟e[s]>σ0離散因果系統(tǒng)的充要條件為：?jiǎn)挝粯又淀憫?yīng)：h(k)=0，k<0

或系統(tǒng)函數(shù)H(z)的收斂域?yàn)椋簗z|>R0二、系統(tǒng)的穩(wěn)定性一個(gè)系統(tǒng)，若對(duì)有界的激勵(lì)f(?)所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)yf(?)也是有界時(shí)，則稱該系統(tǒng)為有界輸入有界輸出穩(wěn)定，簡(jiǎn)稱穩(wěn)定。即，則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。LTI連續(xù)系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件是：M為有限正實(shí)數(shù)系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)絕對(duì)可積。即充分性：設(shè)線性連續(xù)系統(tǒng)的輸入f(t)有界，即|f(t)|≤Mf。系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yf(t)為證明：若h(t)絕對(duì)可積，由于因此必要性：所謂式對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定是必要的，是當(dāng)h(t)不滿足絕對(duì)可積條件時(shí)，則至少有某個(gè)有界輸入f(t)產(chǎn)生無界輸出yf(t)。為此，設(shè)f(t)有界，則f(-t)也有界，并且表示為h(t)＞0h(t)=0h(t)＜0于是有因?yàn)槿鬶(t)不絕對(duì)可積，即令t=0,根據(jù)則有則yf(0)=∞所以，h(t)絕對(duì)可積是必要的。如果系統(tǒng)是因果系統(tǒng)，則穩(wěn)定性的充要條件為：s域的穩(wěn)定條件：特別指出：在jω軸上的一階極點(diǎn)也會(huì)使得系統(tǒng)不穩(wěn)定。這類系統(tǒng)成為邊界（臨界）穩(wěn)定系統(tǒng)。系統(tǒng)函數(shù)H(s)的全部極點(diǎn)位于的左半s平面。例：判斷下述因果系統(tǒng)是否穩(wěn)定（1）極點(diǎn)為s=-1和s=-2，都在s左半平面。 解:顯然輸出也有界，所以系統(tǒng)穩(wěn)定。若激勵(lì)為有界輸入ε(t)，則其輸出為（2）極點(diǎn)為±j0，是虛軸上的一對(duì)共軛極點(diǎn)。顯然，輸出不是有界信號(hào)，所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。若激勵(lì)為有界輸入sin(0t)ε(t)，則其輸出為穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(s)的特點(diǎn)對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)，H(s)的極點(diǎn)位于左半s平面，即A(s)的根的實(shí)部應(yīng)為負(fù)數(shù)若有實(shí)根，A(s)中分解因子為(s+α),其中α>0若有共軛復(fù)根，A(s)中分解因子為(s+α＋jβ)(s+α－jβ),其中α>0對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)，多項(xiàng)式A(s)的系數(shù)ai都是正實(shí)數(shù)，且無缺項(xiàng)。是必要條件，但不是充分條件如羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則H(s)的分母多項(xiàng)式為H(s)的極點(diǎn)就是A(s)=0的根。若A(s)=0的根全部在左半平面，則A(s)稱為霍爾維茲多項(xiàng)式。判斷多項(xiàng)式為霍爾維茲多項(xiàng)式的準(zhǔn)則，稱為羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則。羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則包括兩部分，一部分是羅斯陣列，一部分是羅斯判據(jù)(羅斯準(zhǔn)則)羅斯陣列羅斯判據(jù)(羅斯準(zhǔn)則)指出：多項(xiàng)式A(s)是霍爾維茲多項(xiàng)式的充分和必要條件是羅斯陣列中第一列元素全為正值。若第一列元素的值不是全為正值，則表明A(s)=0在右半平面有根，元素值的符號(hào)改變的次數(shù)(從正值到負(fù)值或從負(fù)值到正值的次數(shù))等于A(s)=0在右半平面根的數(shù)目。根據(jù)羅斯準(zhǔn)則和霍爾維茲多項(xiàng)式的定義，若羅斯陣列第一列元素值的符號(hào)相同(全為正值)，則H(s)的極點(diǎn)全部在左半平面，因而系統(tǒng)是穩(wěn)定系統(tǒng)。若羅斯陣列第一列元素值的符號(hào)不完全相同，則系統(tǒng)是不穩(wěn)定系統(tǒng)。若A(s)的系數(shù)ai無缺項(xiàng)并且符號(hào)相同，則A(s)滿足霍爾維茲多項(xiàng)式的必要條件，然后進(jìn)一步再利用羅斯-霍爾維茲準(zhǔn)則判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。判斷線性連續(xù)系統(tǒng)穩(wěn)定的方法：根據(jù)霍爾維茲多項(xiàng)式的必要條件檢查A(s)的系數(shù)ai(i=0,1,2,…,n)。若ai中有缺項(xiàng)(至少一項(xiàng)為零)，或者ai的符號(hào)不完全相同，則A(s)不是霍爾維茲多項(xiàng)式，故系統(tǒng)不是穩(wěn)定系統(tǒng)。例已知三個(gè)線性連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)分別為判斷三個(gè)系統(tǒng)是否為穩(wěn)定系統(tǒng)。不穩(wěn)定不穩(wěn)定H3(s)的分母為A3(s)的系數(shù)組成的羅斯陣列為因?yàn)锳3(s)系數(shù)的羅斯陣列第一列元素全大于零，所以根據(jù)R-H準(zhǔn)則，H3(s)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。例圖所示為線性連續(xù)系統(tǒng)的S域方框圖表示。圖中，H1(s)為K取何值時(shí)系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。解:

令加法器的輸出為X(s)，則有由上式得根據(jù)H(s)的分母構(gòu)成羅斯陣列，得根據(jù)R-H準(zhǔn)則，若