數(shù)學概念、方法、題型、易誤點技巧總結(jié)——圓錐曲線（一)湖南省常德市安鄉(xiāng)縣第五中學龔光勇收集整理1．圓錐曲線的兩個定義:（1）第一定義中要重視“括號”內(nèi)的限制條件：橢圓中，與兩個定點F，F(xiàn)的距離的和等于常數(shù)，且此常數(shù)一定要大于,當常數(shù)等于時,軌跡是線段FF,當常數(shù)小于時，無軌跡;雙曲線中，與兩定點F，Ｆ的距離的差的絕對值等于常數(shù),且此常數(shù)一定要小于|FＦ|,定義中的“絕對值”與<|FF｜不可忽視。若=|ＦF｜,則軌跡是以F,Ｆ為端點的兩條射線,若﹥|ＦF|,則軌跡不存在。若去掉定義中的絕對值則軌跡僅表達雙曲線的一支。比如:①已知定點，在滿足下列條件的平面上動點P的軌跡中是橢圓的是A．B.Ｃ.D.(答：Ｃ）；②方程表達的曲線是__＿__（答:雙曲線的左支)（２）第二定義中要注意定點和定直線是相應的焦點和準線，且“點點距為分子、點線距為分母”，其商即是離心率。圓錐曲線的第二定義,給出了圓錐曲線上的點到焦點距離與此點到相應準線距離間的關(guān)系,要善于運用第二定義對它們進行互相轉(zhuǎn)化。如已知點及拋物線上一動點P(ｘ，ｙ）,則y+|PQ|的最小值是_＿___(答：2)2.圓錐曲線的標準方程（標準方程是指中心（頂點)在原點,坐標軸為對稱軸時的標準位置的方程):（1）橢圓:焦點在軸上時(）(參數(shù)方程，其中為參數(shù)），焦點在軸上時=1（)。方程表達橢圓的充要條件是什么?（ABC≠0，且A,B,C同號,A≠B)。比如:①已知方程表達橢圓,則的取值范圍為_＿__(答:)；②若,且,則的最大值是_＿＿_，的最小值是___(答：)（2)雙曲線:焦點在軸上:＝1，焦點在軸上：=1（）。方程表達雙曲線的充要條件是什么?（ABＣ≠0，且A,Ｂ異號）。比如：①雙曲線的離心率等于,且與橢圓有公共焦點，則該雙曲線的方程_＿_____(答：)；②設中心在坐標原點，焦點、在坐標軸上,離心率的雙曲線C過點，則C的方程為__＿＿___(答：）（3)拋物線：開口向右時，開口向左時，開口向上時,開口向下時。3.圓錐曲線焦點位置的判斷（一方面化成標準方程,然后再判斷）:（1)橢圓:由,分母的大小決定,焦點在分母大的坐標軸上。如已知方程表達焦點在y軸上的橢圓，則ｍ的取值范圍是＿_（答：)(２）雙曲線：由,項系數(shù)的正負決定,焦點在系數(shù)為正的坐標軸上；（3）拋物線：焦點在一次項的坐標軸上,一次項的符號決定開口方向。特別提醒：（1)在求解橢圓、雙曲線問題時，一方面要判斷焦點位置，焦點F,F的位置，是橢圓、雙曲線的定位條件，它決定橢圓、雙曲線標準方程的類型,而方程中的兩個參數(shù),擬定橢圓、雙曲線的形狀和大小,是橢圓、雙曲線的定形條件；在求解拋物線問題時，一方面要判斷開口方向；(２)在橢圓中,最大，，在雙曲線中，最大,。４.圓錐曲線的幾何性質(zhì):（１)橢圓(以（）為例):①范圍:；②焦點:兩個焦點；③對稱性:兩條對稱軸,一個對稱中心（０,0),四個頂點,其中長軸長為2，短軸長為2；④準線：兩條準線;⑤離心率:，橢圓，越小,橢圓越圓；越大，橢圓越扁。比如:①若橢圓的離心率,則的值是＿＿（答：3或);②以橢圓上一點和橢圓兩焦點為頂點的三角形的面積最大值為１時，則橢圓長軸的最小值為__(答：)（2)雙曲線(以（)為例):①范圍：或；②焦點:兩個焦點;③對稱性:兩條對稱軸，一個對稱中心(０,0）,兩個頂點，其中實軸長為2,虛軸長為2，特別地，當實軸和虛軸的長相等時,稱為等軸雙曲線，其方程可設為；④準線:兩條準線；⑤離心率:，雙曲線,等軸雙曲線,越小,開口越小，越大，開口越大;⑥兩條漸近線:。比如：①雙曲線的漸近線方程是，則該雙曲線的離心率等于__＿___(答:或）；②雙曲線的離心率為，則=（答：4或）;③設雙曲線(ａ>0，b>0)中,離心率e∈[,2]，則兩條漸近線夾角θ的取值范圍是_____＿__（答:）;（3）拋物線(認為例）:①范圍：；②焦點:一個焦點,其中的幾何意義是：焦點到準線的距離；③對稱性：一條對稱軸,沒有對稱中心,只有一個頂點(0,0）;④準線:一條準線；⑤離心率：，拋物線。如設,則拋物線的焦點坐標為___＿＿＿__(答:）；５、點和橢圓()的關(guān)系：（１）點在橢圓外；（2）點在橢圓上＝1；(3)點在橢圓內(nèi)6.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：(1）相交：直線與橢圓相交；直線與雙曲線相交,但直線與雙曲線相交不一定有，當直線與雙曲線的漸近線平行時,直線與雙曲線相交且只有一個交點,故是直線與雙曲線相交的充足條件，但不是必要條件;直線與拋物線相交，但直線與拋物線相交不一定有,當直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線相交且只有一個交點，故也僅是直線與拋物線相交的充足條件，但不是必要條件。比如：①若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2＝6的右支有兩個不同的交點,則k的取值范圍是＿______（答：(-,-1)）；②直線y―kｘ―１＝0與橢圓恒有公共點,則ｍ的取值范圍是_______（答：[１，5）∪（5,+∞））；③過雙曲線的右焦點直線交雙曲線于A、B兩點，若│AB︱=4,則這樣的直線有_____條（答:3）;(２）相切:直線與橢圓相切；直線與雙曲線相切;直線與拋物線相切;(３)相離:直線與橢圓相離；直線與雙曲線相離；直線與拋物線相離。特別提醒:（1)直線與雙曲線、拋物線只有一個公共點時的位置關(guān)系有兩種情形:相切和相交。假如直線與雙曲線的漸近線平行時,直線與雙曲線相交，但只有一個交點;假如直線與拋物線的軸平行時,直線與拋物線相交,也只有一個交點;（2)過雙曲線＝１外一點的直線與雙曲線只有一個公共點的情況如下：①Ｐ點在兩條漸近線之間且不含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時，有兩條與漸近線平行的直線和分別與雙曲線兩支相切的兩條切線，共四條；②Ｐ點在兩條漸近線之間且包含雙曲線的區(qū)域內(nèi)時,有兩條與漸近線平行的直線和只與雙曲線一支相切的兩條切線，共四條;③P在兩條漸近線上但非原點,只有兩條：一條是與另一漸近線平行的直線,一條是切線;④P為原點時不存在這樣的直線;（3)過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點:兩條切線和一條平行于對稱軸的直線。比如:①過點作直線與拋物線只有一個公共點,這樣的直線有＿__＿__(答：2）;②過點(０,2)與雙曲線有且僅有一個公共點的直線的斜率的取值范圍為______(答:);③過雙曲線的右焦點作直線交雙曲線于A、B兩點，若4，則滿足條件的直線有_＿__條(答：3）;④對于拋物線C:，我們稱滿足的點在拋物線的內(nèi)部,若點在拋物線的內(nèi)部，則直線:與拋物線C的位置關(guān)系是_______(答：相離)；⑤過拋物線的焦點作一直線交拋物線于P、Q兩點,若線段PF與FQ的長分別是、,則______＿（答：1）;⑥設雙曲線的右焦點為,右準線為,設某直線交其左支、右支和右準線分別于，則和的大小關(guān)系為_＿_____＿＿__(填大于、小于或等于）(答：等于）;⑦求橢圓上的點到直線的最短距離(答：）;⑧直線與雙曲線交于、兩點。①當為什么值時，、分別在雙曲線的兩支上？②當為什么值時，以AB為直徑的圓過坐標原點？(答:①;②)；７、焦半徑(圓錐曲線上的點P到焦點F的距離）的計算方法:運用圓錐曲線的第二定義,轉(zhuǎn)化到相應準線的距離，即焦半徑，其中表達P到與F所相應的準線的距離。比如：①已知橢圓上一點P到橢圓左焦點的距離為３,則點P到右準線的距離為_＿＿_（答:)；②已知拋物線方程為,若拋物線上一點到軸的距離等于5,則它到拋物線的焦點的距離等于＿_＿_;③若該拋物線上的點到焦點的距離是4,則點的坐標為_＿__