第三節(jié)(1) 格林公式

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格林公式及其應(yīng)用一、格林公式二、格林公式的應(yīng)用第三節(jié)(1)第十一章微積分學(xué)基本公式Newton-Leibnitz

公式:一個(gè)重要的數(shù)學(xué)關(guān)系區(qū)域內(nèi)部與邊界的問題問題之間的聯(lián)系Green公式:P,Q在D

上有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù);L

是D

的正向邊界曲線.單連通區(qū)域1.單(復(fù))連通區(qū)域及其正向邊界復(fù)連通區(qū)域單連通區(qū)域就是沒有“洞”的區(qū)域.一、格林公式L1L2L當(dāng)觀察者沿邊界行走時(shí),區(qū)域D

總在他的左邊.2.格林公式上述公式稱為格林公式,是英國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家格林在1825年發(fā)現(xiàn)的,是微積分基本公式在二重積分情形下的推廣.定理1.

設(shè)區(qū)域D

是由分段光滑正向曲線

圍成,則有函數(shù)在D上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),L證:情形1.X-型xOy

xabDABCEoy

xabDABCEY-型0y

xDAEBCcd情形2.

若D不滿足以上條件,則可通過加輔助線將其分割為有限個(gè)上述形式的區(qū)域,如圖ABCNPM情形3.

若D為復(fù)連通區(qū)域,則將D

沿輔助線AB

割開,得到以為正向邊界的單連通區(qū)域.L1L2DAB證畢.1.計(jì)算平面區(qū)域的面積二、格林公式的應(yīng)用例1．解：2.計(jì)算曲線積分例2.解:y=0y=1-

xx例3.解:La-a不能直接應(yīng)用格林公式!原式=解:例4.LabD在D內(nèi)作圓周取順時(shí)針方向.記L和

所圍的區(qū)域?yàn)閘r則令=0.LabDlr例5.

計(jì)算其中L為上半從A(4,0)

到O(0,0).解:添加輔助線段它與L

所圍區(qū)域?yàn)镈,

則原式圓周L不是閉曲線!例6.解:LL的方向是負(fù)方向!L的逆方向是正方向!3.計(jì)算二重積分例7.解:DC(2,4)DC(2,4)例8.解:D故D11根據(jù)格林公式得思考

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