最概然分布最概然分布2/5/2023111最概然分布根據(jù)等概率假設(shè)，系統(tǒng)的任一分布出現(xiàn)的概率正比于該分布對應(yīng)的微觀態(tài)數(shù)，稱之為熱力學(xué)概率。熱力學(xué)概率最大的分布叫做最概然分布。最概然分布以及與之相近的一系列分布所對應(yīng)的微觀態(tài)數(shù)遠(yuǎn)大于所有其余分布對應(yīng)的微觀態(tài)數(shù)之和。從統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的角度看，系統(tǒng)達(dá)到宏觀上的平衡態(tài)就是指系統(tǒng)取最概然分布及其相近的一系列分布。平衡態(tài)統(tǒng)計(jì)物理學(xué)的一個重要任務(wù)是，以等概率假設(shè)為基礎(chǔ)，在一定的宏觀條件下，尋找系統(tǒng)的最概然分布。三類系統(tǒng)的最概然分布分別被稱為玻爾茲曼分布、玻色分布和費(fèi)米分布。玻爾茲曼系統(tǒng)往往涉及大量的微觀粒子，它的最概然分布可以用近似計(jì)算得到。2/5/2023211玻爾茲曼系統(tǒng)的微觀態(tài)的改變由于玻爾茲曼系統(tǒng)的微觀粒子數(shù)目巨大，斯特林公式有效，可以用來近似計(jì)算系統(tǒng)的最概然分布。把斯特林公式用到玻爾茲曼系統(tǒng)中設(shè)想在總粒子數(shù)不變的前提下，各個能級上的粒子數(shù)有微小的變化，由此導(dǎo)致微觀態(tài)數(shù)發(fā)生改變：與最概然分布對應(yīng)的微觀態(tài)數(shù)滿足各能級上的粒子數(shù)的改變并不完全獨(dú)立，受總粒子數(shù)和總能量不變的約束，獨(dú)立的改變比能級數(shù)少兩個。2/5/2023311玻爾茲曼分布由此得到一組三個聯(lián)立方程：引入兩個叫做拉格朗日乘子的待定參數(shù)，將三個方程組合成一個方程：適當(dāng)選取乘子的數(shù)值，使求和的各項(xiàng)中有兩項(xiàng)等于零，就去除了多余的兩個dNi

，而其余的dNi

就是獨(dú)立的。于是，對求和的所有項(xiàng)都有：由此得到了玻爾茲曼分布：兩個拉格朗日乘子由宏觀約束條件確定：半經(jīng)典對應(yīng)：2/5/2023411量子系統(tǒng)的最概然分布量子系統(tǒng)的粒子數(shù)通常不滿足斯特林公式的條件。它們的最概然分布需要用更嚴(yán)格的方法得到。由玻色子組成的系統(tǒng)，其最概然分布叫做玻色分布：兩個拉格朗日乘子由以下宏觀約束條件確定：由費(fèi)米子組成的系統(tǒng)，其最概然分布叫做費(fèi)米分布：兩個拉格朗日乘子由以下宏觀約束條件確定：2/5/2023511經(jīng)典極限條件如果拉格朗日乘子滿足條件，則兩種量子分布都過渡到玻爾茲曼分布：在這種情況下，各個能級上的粒子數(shù)遠(yuǎn)小于該能級的簡并度經(jīng)典極限條件滿足經(jīng)典極限條件的量子系統(tǒng)雖然遵從玻爾茲曼分布，但它們的粒子仍然是不可分辨的。因此，對于同一種分布，量子系統(tǒng)與經(jīng)典系統(tǒng)對應(yīng)的微觀態(tài)數(shù)并不一樣：由于這個原因，對于那些與微觀態(tài)數(shù)直接有關(guān)的熱力學(xué)量，兩種系統(tǒng)有不同的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式。當(dāng)然，對于那些直接由分布函數(shù)導(dǎo)出的熱力學(xué)量，無論是經(jīng)典系統(tǒng)還是量子系統(tǒng)，都有相同的表達(dá)式。2/5/2023611怎樣滿足經(jīng)典極限條件考察一個有確定粒子數(shù)的量子系統(tǒng)。經(jīng)典極限條件意味著平均每個量子態(tài)或相格中的粒子數(shù)遠(yuǎn)小于1?；蛘叻催^來說，平均每個粒子占據(jù)的相格數(shù)非常多。于是，整個系統(tǒng)占據(jù)的相體積就很大，而相體積與系統(tǒng)的空間體積和總能量有正的依賴關(guān)系：這顯示系統(tǒng)的空間體積和總能量都很大，對于有確定粒子數(shù)的系統(tǒng)，這意味著密度很低而溫度則很高。因此，氣體越稀薄，溫度越高，就越滿足經(jīng)典極限條件常溫下的普通氣體都滿足經(jīng)典極限條件。通常將滿足經(jīng)典極限條件的氣體稱為弱簡并氣體，反之則稱為強(qiáng)簡并氣體。這里的簡并不是指能量簡并，而是指由全同性導(dǎo)致微觀態(tài)數(shù)變少。2/5/2023711求和轉(zhuǎn)化為積分的條件在經(jīng)典力學(xué)中，粒子的能量的可能值是連續(xù)的，在應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法討論系統(tǒng)的性質(zhì)時要對能量做積分。微觀粒子服從量子規(guī)律，能量的可能值是分立的。在應(yīng)用統(tǒng)計(jì)方法時必須對能級或量子態(tài)求和：對大量能級或量子態(tài)求和將是一件困難的事情，在什么條件下才能將求和轉(zhuǎn)化為積分，使問題變得簡單？在求和中總是出現(xiàn)單粒子能量的指數(shù)因子能夠?qū)⑶蠛娃D(zhuǎn)化為積分的關(guān)鍵是，這個因子能用一個光滑的連續(xù)函數(shù)近似地表示。這就要求相鄰能級對應(yīng)的因子差別很?。?/5/2023811能量連續(xù)條件這意味著。由進(jìn)一步的討論得能級的間隔能量連續(xù)條件如果粒子的能級分布非常稠密，以致任意兩個能級之間的能量差遠(yuǎn)小于系統(tǒng)的特征熱能，則可以把粒子的能量看做是近似連續(xù)的，從而將求和轉(zhuǎn)變成積分。對不同的運(yùn)動自由度，相鄰能級的間隔差別很大，在同一溫度下，不同的自由度不一定都滿足能量連續(xù)條件。一個簡單的例子是室溫下的氫氣，系統(tǒng)的特征熱能為平動自由度：轉(zhuǎn)動自由度：振動自由度：2/5/2023911能級間隔對熱容的影響氫分子的三種自由度的能級間隔差別如此之大，給氣體的熱容帶來不尋常的可觀測效應(yīng)。在室溫下，溫度的微小變化足以影響氣體的平動狀態(tài)，但是對轉(zhuǎn)動狀態(tài)和振動狀態(tài)不產(chǎn)生任何影響。這時，只有平動自由度對熱容有貢獻(xiàn)，而轉(zhuǎn)動與振動自由度好像被“凍結(jié)”了一樣，對氣體的熱容沒有貢獻(xiàn)。當(dāng)溫度升高到特征熱能大于轉(zhuǎn)動能級之間的間隔時，轉(zhuǎn)動自由度“解凍”，開始對熱容有貢獻(xiàn)，熱容迅速增大。這段時期，振動自由度仍然被“凍結(jié)”，在一段較寬的溫度范圍內(nèi)對熱容沒有貢獻(xiàn)。當(dāng)溫度進(jìn)一步升高到足以讓振動自由度“解凍”時，熱容再次迅速增大。2/5/20231011經(jīng)典方法與量子方法的條件一般地說，粒子的能級與普朗克常數(shù)有正的依賴關(guān)系。如果能量連續(xù)條件得以滿足，粒子的波動性可以忽略。在這種情況下，可以采用半經(jīng)典近似，用廣義坐標(biāo)和廣義動量描寫粒子的運(yùn)動狀態(tài)。如果玻爾茲曼系統(tǒng)滿足能量連續(xù)條件，就可以用經(jīng)典的玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)理論處理，否則就要用量子玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)理論處理；對于量子系統(tǒng)，即使不滿足經(jīng)典極限條件，