第五章ABCDO1234鄰補(bǔ)角的定義：∠1和∠2有一條公共邊OA，它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線（∠1和∠2互補(bǔ)），具有這種關(guān)系的兩個(gè)角，互為鄰補(bǔ)角.對(duì)頂角的定義：∠1和∠3有一個(gè)公共頂點(diǎn)O，并且∠1的兩邊分別是∠3的兩邊的反向延長(zhǎng)線，具有這種位置關(guān)系的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角.對(duì)頂角相等兩個(gè)鄰補(bǔ)角的和是180°例

1（1）下列各圖中，∠1和∠2是鄰補(bǔ)角嗎？為什么？

（1）

（2）

（3）1211222．細(xì)心觀察，歸納定義12（2）（3）（4）21（1）12（5）12122．細(xì)心觀察，歸納定義例

1（2）下列各圖中，∠1和∠2是對(duì)頂角嗎？為什么？

例

1(3)請(qǐng)分別畫出圖中∠1的對(duì)頂角和∠2的鄰補(bǔ)角．2．細(xì)心觀察，歸納定義21例

1(4)如圖，三條直線AB

，CD，EF相交于點(diǎn)O，∠AOE的對(duì)頂角是

，∠EOD的鄰補(bǔ)角是

．ABFCDEO2．細(xì)心觀察，歸納定義∠FOB∠FOD、∠COE1234ab如圖，∠2是∠1的3倍，分別求∠1、∠2、∠3、∠4的度數(shù)。解：因?yàn)椤?是∠1的3倍，設(shè)∠1為x°,則∠2為3x°。因?yàn)椤?+∠2=180°所以x°+3x°=180°4x°=180°x°=45°所以∠1為45°，∠2為135°由對(duì)頂角相等得∠3=∠1=45°

∠4=∠2=135°（1）垂直概念：兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，叫做這兩條直線互相垂直．兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫做垂足．如圖，AB⊥CD，垂足為Ｏ．記作：AB⊥CD于點(diǎn)Ｏ．（2）符號(hào)語(yǔ)言：

因?yàn)锳B⊥CD，

所以∠AOC=90°．

反之，因?yàn)椤螦OC=90°，

所以AB⊥CD．問(wèn)題2：（1）兩條直線垂直和相交是什么關(guān)系？（2）能否認(rèn)為在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系

有3種：相交，平行，垂直？垂直是相交的特殊情況不能，因?yàn)榇怪笔窍嘟坏奶厥馇闆r問(wèn)題2：（3）如何判定兩條射線垂直？?jī)蓷l線段呢？（4）你能舉出一些生活中與垂直有關(guān)的實(shí)例嗎？?jī)蓷l線段垂直、兩條射線垂直、線段與射線垂直、線段與直線垂直、射線與直線垂直，都是指它們所在的直線垂直．問(wèn)題3：用三角尺或量角器畫已知直線l的垂線（１）用三角尺或量角器畫已知直線l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？（２）經(jīng)過(guò)一點(diǎn)畫已知直線l的垂線，這樣的垂線能畫出幾條？經(jīng)過(guò)一點(diǎn)畫已知直線l的垂線有幾種情況？無(wú)數(shù)條垂線性質(zhì)1：在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．垂線性質(zhì)1：在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直．垂線性質(zhì)2：連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短．簡(jiǎn)單說(shuō)成：垂線段最短．點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫點(diǎn)到直線的距離．對(duì)三條直線相交按交點(diǎn)的個(gè)數(shù)分為三種情況：同位角：兩個(gè)角分別在被截線的同一方，并且都在截線的同側(cè)．具有這種位置關(guān)系的一對(duì)角叫做同位角．直線AB和直線CD被直線EF所截被截線：直線AB和直線CD截線：直線EF

如∠1和∠5

，∠2和∠6

，∠3和∠7，

∠4和∠5

內(nèi)錯(cuò)角：兩個(gè)角都在被截線之間，并且分別在截線兩側(cè)．具有這種位置關(guān)系的一對(duì)角叫做內(nèi)錯(cuò)角．如∠3和∠5∠4和∠6同旁內(nèi)角：兩個(gè)角都在被截線之間，并且都在截線的同一旁．具有這種位置關(guān)系的一對(duì)角叫做同旁內(nèi)角．如∠3和∠6∠4和∠5練習(xí)：分別指出下列圖中的同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角．同位角：∠l與∠5，

∠2與∠6．內(nèi)錯(cuò)角：∠4與∠6，

∠3與∠5．同旁內(nèi)角：∠4與∠5，

∠3與∠6．同位角：∠l與∠3，

∠2與∠4．內(nèi)錯(cuò)角：無(wú)．同旁內(nèi)角：∠2與∠3．平行概念：同一平面內(nèi),存在一條直線a與直線b不相交的位置,這時(shí)直線a與b互相平行．換言之,同一平面內(nèi),不相交的兩條直線叫做平行線．直線a與b是平行線,記作a∥b．平行公理：經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線與這條直線平行．平行公理推論：如果兩條直線都與第三條直線平行,那么這條直線也互相平行．如果b∥a，c∥a，那么b∥c.

判定方法1兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.ABCD判定方法2兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行.判定方法3兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行.判定方法1

同位角相等，兩直線平行．判定方法2

內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．判定方法3

同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．平行線的判定（1）由∠CBE=∠A可以判定哪兩條直線平行？

根據(jù)是什么？例2

如圖，

BE是AB的延長(zhǎng)線.答：

AD∥BC.根據(jù)同位角相等，兩直線平行.（2）由∠CBE=∠C可以判定哪兩條直線平行？

根據(jù)是什么？例2

如圖，

BE是AB的延長(zhǎng)線.答：

AE∥CD.根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.（3）由∠D+∠A=180°可以判定哪兩條直線平

行？根據(jù)是什么？例2

如圖，

BE是AB的延長(zhǎng)線.答：

AE∥CD.根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.性質(zhì)1兩直線平行，同位角相等．性質(zhì)2兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．性質(zhì)3兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．（2）結(jié)合圖形回答問(wèn)題：答：相等.根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.1．梳理舊知，歸納方法①如果AB∥CD,∠1與∠2相等嗎？為什么？（2）結(jié)合圖形回答問(wèn)題：答：∠1=∠3．根據(jù)兩直線平行，同位角相等．1．梳理舊知，歸納方法②如果DE∥FB,能得到∠1與∠3的關(guān)系嗎？為什么？（2）結(jié)合圖形回答問(wèn)題：答：

AD∥CB．根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．1．梳理舊知，歸納方法③根據(jù)哪兩條直線平行可以得到∠A+∠ABC=180o

？為什么？對(duì)比平行線的性質(zhì)和判定方法條件結(jié)論判定同位角相等兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等同旁內(nèi)角互補(bǔ)性質(zhì)兩直線平行同位角相等內(nèi)錯(cuò)角相等同旁內(nèi)角互補(bǔ)理由如下：∵

CE∥BF，∴∠1=∠B（兩直線平行，同位角相等）∵∠1=∠2，∴∠2=∠B．（等量代換）∵∠2和∠B是內(nèi)錯(cuò)角，∴

AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．問(wèn)題1已知，如圖，∠1=∠2，CE∥BF，試說(shuō)明：

AB∥CD．答：AB∥CD問(wèn)題2

已知：如圖，∠AGD=∠ACB，∠1=∠2，CD與EF平行嗎？為什么？答：CD∥EF．理由如下：∵

∠AGD=∠ACB，∴

GD∥BC.（同位角相等，兩直線平行）

∵∠1和∠3是內(nèi)錯(cuò)角，∴∠1=∠3（兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等）.∵∠1=∠2，∴∠2=∠3.（等量代換）∵∠2和∠3是同位角，∴

CD∥EF（同位角相等，兩直線平行）.3（1）如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行；（2）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（3）對(duì)頂角相等；（4）等式兩邊都加同一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍是等式．像這樣判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題。

問(wèn)題判斷下列語(yǔ)句是不是命題？（1）兩點(diǎn)之間，線段最短；（）（2）請(qǐng)畫出兩條互相平行的直線；（）（3）過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線；（）（4）如果兩個(gè)角的和是90o，那么這兩個(gè)角互余．（）

√

√命題的結(jié)構(gòu)命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成.題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)．許多數(shù)學(xué)命題常可以寫成“如果……，那么……”的形式．“如果”后面連接的部分是題設(shè)，“那么”后面連接的部分就是結(jié)論．問(wèn)題5

下列語(yǔ)句是命題嗎？如果是，請(qǐng)將它們改寫成“如果……，那么……”的形式.（1）兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（2）等式兩邊都加同一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍是等式；（3）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0；（4）同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（5）對(duì)頂角相等．如果兩條直線被第三條直線所截，那么同旁內(nèi)角互補(bǔ)；如果等式兩邊都加同一個(gè)數(shù)，那么結(jié)果仍是等式；如果兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)相加得0；如果兩個(gè)角是同旁內(nèi)角，那么這兩個(gè)角互補(bǔ)；如果兩個(gè)角互為對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等．問(wèn)題問(wèn)題中哪些命題是正確的，哪些命題是錯(cuò)誤的？（1）兩條直線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（2）等式兩邊都加同一個(gè)數(shù)，結(jié)果仍是等式；（3）互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0；（4）同旁內(nèi)角互補(bǔ)；（5）對(duì)頂角相等．

√

√

√命題的真假真命題：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做真命題．

假命題：如果題設(shè)成立時(shí)，不能保證結(jié)論一定成立，這樣的命題叫做假命題．問(wèn)題1

請(qǐng)同學(xué)們判斷下列命題哪些是真命題？哪些是假命題？（1）在同一平面內(nèi)，如果一條直線垂直于兩條平行線中的一條，那么也垂直于另一條；（2）如果兩個(gè)角互補(bǔ)，那么它們是鄰補(bǔ)角；（3）如果

，那么a=b；（4）經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行；（5）兩點(diǎn)確定一條直線．歸納：（1）把一個(gè)圖形整體沿某一直線方