山西省長治市縣王坊中學2021-2022學年高一數(shù)學理上學期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.如果集合中只有一個元素，則的值是（

）A.0

B.0或1

C.1

D.不能確定參考答案：B2.函數(shù)f(x)的定義域為D，滿足：①f(x)在D內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在[]D，使得f(x)在[]上的值域為[a，b]，那么就稱函數(shù)y=f(x)為“優(yōu)美函數(shù)”，若函數(shù)f(x)=logc(cx－t)(c＞0，c≠1)是“優(yōu)美函數(shù)”，則t的取值范圍為(

)

A.(0，1) B.(0，) C.(－∞，)

D.(0，)參考答案：D3.若直角坐標平面內(nèi)兩點P,Q滿足條件:①P,Q都在函數(shù)f(x)的圖象上;②P,Q關于原點對稱,則稱點對(P,Q)是函數(shù)f(x)的一個“友好點對”(點對(P,Q)與點對(Q,P)為同一個“友好點對”).已知函數(shù)f(x)=則f(x)的“友好點對”有（

）個.A．0

B．1

C．2

D．4參考答案：C4.三個數(shù)之間的大小關系是

A．.

B．

C．

D．參考答案：D5.已知數(shù)列滿足，且前2014項的和為403，則數(shù)列的前2014項的和為

（

）參考答案：C6.正方體ABCD﹣A′B′C′D′中，AB的中點為M，DD′的中點為N，則異面直線B′M與CN所成角的大小為（）A．0° B．45° C．60° D．90°參考答案：D【分析】利用異面直線所成的角的定義，取A′A的中點為E，則直線B′M與CN所成角就是直線B′M與BE成的角．【解答】解：取A′A的中點為E，連接BE，則直線B′M與CN所成角就是直線B′M與BE成的角，由題意得B′M⊥BE，故異面直線B′M與CN所成角的大小為90°，故選D．7.給出下列四個命題：①函數(shù)的一個對稱中心坐標是；②函數(shù)y=a（3﹣x）+1（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點（3，2）；③函數(shù)f（x）=ln（2x﹣x2）的單調(diào)減區(qū)間是[1，+∞）；④若函數(shù)f（x）的定義域（﹣1，1），則函數(shù)f（x+1）的定義域是（﹣2，0），其中正確的命題個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4參考答案：B【考點】命題的真假判斷與應用．【專題】綜合題；函數(shù)思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應用．【分析】①根據(jù)輔助角公式將函數(shù)進行化簡，結合三角函數(shù)對稱性的性質(zhì)進行判斷即可．②根據(jù)指數(shù)函數(shù)過定點的性質(zhì)進行判斷．③根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性和定義域之間的關系進行判斷．④根據(jù)復合函數(shù)定義域之間的關系進行判斷．【解答】解：①函數(shù)=2sin（x+）+1，當x=﹣，則f（﹣）=1，即函數(shù)的一個對稱中心坐標為（﹣，1），故①錯誤；②當x=3時，y=1+1=2，即函數(shù)y=a（3﹣x）+1（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點（3，2）；故②正確，③由2x﹣x2＞0得0＜x＜2，即函數(shù)的定義域為（0，2），則函數(shù)f（x）=ln（2x﹣x2）的單調(diào)減區(qū)間是[1，+∞）錯誤；故③錯誤，④若函數(shù)f（x）的定義域（﹣1，1），則由﹣1＜x+1＜1得﹣2＜x＜0，則函數(shù)f（x+1）的定義域是（﹣2，0），正確，故④正確，故正確的是②④，故選：B【點評】本題主要考查命題的真假判斷，涉及三角函數(shù)的性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)，復合函數(shù)單調(diào)性，綜合性較強，難度不大．8.已知實數(shù)、滿足約束條件，則的最大值為（）．A． B． C． D．參考答案：B【考點】7C：簡單線性規(guī)劃．【分析】①畫可行域②為目標函數(shù)縱截距四倍③畫直線，平移直線過時有最大值【解答】解：畫可行域如圖，為目標函數(shù)，可看成是直線的縱截距四倍，畫直線，平移直線過點時有最大值，故選．9.在等差數(shù)列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，則a2＋a8的值等于 ()A．45

B．75

C．180

D．300參考答案：C10.（5分）在同一直角坐標系中，函數(shù)f（x）=xa（x＞0），g（x）=logax的圖象可能是（） A． B． C． D． 參考答案：D考點： 函數(shù)的圖象．專題： 函數(shù)的性質(zhì)及應用．分析： 結合對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分當0＜a＜1時和當a＞1時兩種情況，討論函數(shù)f（x）=xa（x≥0），g（x）=logax的圖象，比照后可得答案．解答： 當0＜a＜1時，函數(shù)f（x）=xa（x≥0），g（x）=logax的圖象為：此時答案D滿足要求，當a＞1時，函數(shù)f（x）=xa（x≥0），g（x）=logax的圖象為：無滿足要求的答案，綜上：故選D，故選：D．點評： 本題考查的知識點是函數(shù)的圖象，熟練掌握對數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關鍵．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知三棱錐P－ABC，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝2，AC＝BC＝1，則三棱錐P－ABC外接球的體積為__.參考答案：如圖所示,取PB的中點O，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥BC，又BC⊥AC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥PC.∴OA＝PB，OC＝PB，∴OA＝OB＝OC＝OP，故O為外接球的球心．又PA＝2，AC＝BC＝1，∴AB＝，PB＝，∴外接球的半徑R＝.∴V球＝πR3＝×()3＝,故填.點睛:空間幾何體與球接、切問題的求解方法:(1)求解球與棱柱、棱錐的接、切問題時，一般過球心及接、切點作截面，把空間問題轉化為平面圖形與圓的接、切問題，再利用平面幾何知識尋找?guī)缀沃性亻g的關系求解．(2)若球面上四點P，A，B，C構成的三條線段PA，PB，PC兩兩互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有關元素“補形”成為一個球內(nèi)接長方體，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．12.（4分）Sn=1+2+3+…+n，則sn=

．參考答案：考點：數(shù)列的求和．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：利用分組求和法進行求解即可．解答：Sn=1+2+3+…+n=（1+2+3+…+n）+（++…+）=+=，故答案為：點評：本題主要考查數(shù)列求和的計算，利用分組求和法將數(shù)列轉化為等比數(shù)列和等差數(shù)列是解決本題的關鍵．13.命題“若,則”的逆命題是___________參考答案：若，則14.計算：=．參考答案：

【考點】三角函數(shù)的化簡求值．【分析】利用倍角公式、誘導公式即可得出．【解答】解：原式====．故答案為：．【點評】本題考查了倍角公式、誘導公式，屬于基礎題．15.設函數(shù)，若，則=

。參考答案：-6或19略16.已知點P(0，－1)，點Q在直線x－y＋1＝0上，若直線PQ垂直于直線x＋2y－5＝0，則點Q的坐標是________．參考答案：(2,3)

17.某商人將彩電先按原價提高，然后在廣告中寫上“大酬賓，八折優(yōu)惠”，結果是每臺彩電比原價多賺了元，則每臺彩電原價是_____元.參考答案：2250三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，現(xiàn)要在一塊半徑為1，圓心角為的扇形紙板AOB上剪出一個平行四邊形MNPQ，使點P在AB弧上，點Q在OB上，點M、N在OA上，設AOP=，平行四邊形MNPQ的面積為S．

(I)求S關于的函數(shù)關系式；

(II)求S的最大值及相應的值．參考答案：19.（12分）已知A、B、C為△ABC的三內(nèi)角，且其對邊分別為a、b、c，若cosBcosC﹣sinBsinC=．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2，b+c=4，求△ABC的面積．參考答案：考點： 解三角形；三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值．專題： 綜合題．分析： （Ⅰ）根據(jù)兩角和的余弦函數(shù)公式化簡已知的等式，得到cos（B+C）的值，由B+C的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B+C的度數(shù)，然后由三角形的內(nèi)角和定理求出A的度數(shù)；（Ⅱ）根據(jù)余弦定理表示出a的平方，配方變形后，把a，b+c及cosA的值代入即可求出bc的值，然后由bc及sinA的值，利用三角形的面積公式即可求出三角形ABC的面積．解答： （Ⅰ）∵，∴又∵0＜B+C＜π，∴，∵A+B+C=π，∴．（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bc?cosA得即：，∴bc=4，∴．點評： 此題考查了三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，余弦定理及三角形的面積公式，熟練掌握公式及定理是解本題的關鍵．20.在用二分法求方程在區(qū)間(2,3)內(nèi)的近似解時，先將方程變形為，構建，然后通過計算以判斷及的正負號，再按步驟取區(qū)間中點值，計算中點的函數(shù)近似值，如此往復縮小零點所在區(qū)間，計算得部分數(shù)據(jù)列表如下：步驟區(qū)間左端點a區(qū)間右端點ba、b中點c的值中點c的函數(shù)近似值1232.5-0.1022

0.1893

2.6250.04442.52.6252.5625-0.02952.56252.6252.593750.00862.56252.593752.578125-0.01172.5781252.593752.5859375-0.00182.58593752.593752.589843750.00392.58593752.589843752.5878906250.001（1）判斷及的正負號；（2）請完成上述表格，在空白處填上正確的數(shù)字；（3）若給定的精確度為0.1，則到第幾步驟即可求出近似值？此時近似值為多少？（4）若給定的精確度為0.01，則需要到第幾步驟才可求出近似值？近似值為多少？參考答案：（1）<，>

………………3分（2）如下表；

………………6分步驟區(qū)間左端點區(qū)間右端點、中點的值中點的函數(shù)近似值1232.5-0.10222.532.750.18932.52.752.6250.04442.52.6252.5625-0.02952.56252.6252.593750.00862.56252.593752.578125-0.01172.5781252.593752.5859375-0.00182.58593752.593752.589843750.00392.58593752.589843752.5878906250.001（3）直到第5步驟時，考慮到，此時可求出零點的近似值為。（可取區(qū)間內(nèi)任意值）

………………9分（4）直到第8步驟時，考慮到，此時可求出零點的近似值為。（可取內(nèi)任意值）……12分21.已知函數(shù)解析式為.（1）求；（2）畫出這個函數(shù)的圖象,并寫出函數(shù)的值域；（3）若,有兩個不相等的實數(shù)根，求的取值范圍.參考答案：（1）；（2）圖見解析，值域為；（3）.【分析】（1）將-1代入求得即可求；（2）做出圖象，進而得值域；（3）轉化為與有兩個交點即可求解【詳解】（1）=-6，故=-1（2）圖象如圖，值域為（3）原題轉化為與有兩個交點，故【點睛】本題考查分段函數(shù)及性質(zhì)，求值域，函數(shù)零點問題，考查數(shù)形結合思想，中檔題，