半導(dǎo)體物理與器件陳延湖小結(jié)載流子的分布位置：導(dǎo)電電子處于導(dǎo)帶底導(dǎo)電空穴處于價(jià)帶頂導(dǎo)帶價(jià)帶電子空穴在外加電場(chǎng)下半導(dǎo)體可導(dǎo)電，電流為：其中n，p為載流子濃度求解能帶導(dǎo)電的載流子濃度問(wèn)題，需要知道：1能帶中允許的量子態(tài)按能量如何分布-狀態(tài)密度g(E)2電子在允許的量子態(tài)中如何分布-概率分布函數(shù)f(E)3計(jì)算不同溫度下的載流子濃度（第四章）3.4狀態(tài)密度設(shè)在能帶中能量E與E+dE之間的能量間隔dE內(nèi)有量子態(tài)dZ個(gè)，體積為V，則定義狀態(tài)密度g(E)為：g(E):能量E附近單位體積單位能量間隔的量子態(tài)數(shù)狀態(tài)密度的推導(dǎo)過(guò)程：(1)計(jì)算K空間單位體積的量子態(tài)數(shù)，即K空間的狀態(tài)密度(2)能量間隔dE對(duì)應(yīng)的K空間體積，并與K空間狀態(tài)密度相乘，得到dZ(3)根據(jù)定義計(jì)算g(E)1K空間中量子態(tài)的分布三維晶體，波矢K的取值L為晶體線度（大小），則晶體體積為:一組K取值對(duì)應(yīng)一個(gè)允許的能量狀態(tài)，根據(jù)第一章分析由于受邊界條件限制nx，ny，nz取整數(shù)，K取值是不連續(xù)的，即允帶內(nèi)的能量是不連續(xù)的1K空間中量子態(tài)的分布每一個(gè)K取值在在k空間中對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn)，每個(gè)點(diǎn)由一組整數(shù)（nx,ny,nz）表示。k空間中，每一個(gè)允許的量子態(tài)的k空間代表點(diǎn)分布均勻，且都與一個(gè)8π3/L3的立方體相聯(lián)系，即每一個(gè)8π3/L3的立方體中等效有一個(gè)允許的量子態(tài)K空間狀態(tài)密度：考慮電子自旋，電子的K空間狀態(tài)密度為2V/8π32狀態(tài)密度（單位能量的量子態(tài)數(shù)）考慮能帶極值在k=0，等能面為球面，各向同性E(k）-K關(guān)系為：計(jì)算半導(dǎo)體導(dǎo)帶底附近的狀態(tài)密度因等能面為球面，能量為E和E+dE之間的量子態(tài)數(shù)dZ對(duì)應(yīng)于K空間兩個(gè)球殼之間量子態(tài)數(shù)，球殼體積為則：2狀態(tài)密度根據(jù)E(K)-k關(guān)系將k用能量E表示：及代入dZ得：導(dǎo)帶底附近狀態(tài)密度為:2狀態(tài)密度（單位能量的量子態(tài)數(shù)）與能量E有拋物線關(guān)系，電子能量越大，狀態(tài)密度越大還與有效質(zhì)量有關(guān)，有效質(zhì)量大的能帶中的狀態(tài)密度大。同理可得價(jià)帶頂附近的相應(yīng)公式狀態(tài)密度與能量關(guān)系狀態(tài)密度特征狀態(tài)密度同時(shí)是體積密度和能量密度實(shí)際半導(dǎo)體中，由于有效質(zhì)量可能有方向性，等能面不為球面，則有效質(zhì)量采用平均的有效質(zhì)量來(lái)計(jì)算，稱為狀態(tài)密度有效質(zhì)量等能面不是球面（是？），各向異性的有效質(zhì)量mn導(dǎo)帶底極值不在K=0處，而且有多個(gè)對(duì)稱的導(dǎo)帶底狀態(tài)實(shí)際的硅、鍺半導(dǎo)體導(dǎo)帶底狀態(tài)密度由硅，鍺導(dǎo)帶底E(K)-K關(guān)系：可得導(dǎo)帶底狀態(tài)密度為：mdn為導(dǎo)帶底電子狀態(tài)密度有效質(zhì)量S為對(duì)稱的導(dǎo)帶底狀態(tài)數(shù)，si為6，ge為4能帶特點(diǎn)2狀態(tài)密度（單位能量的量子態(tài)數(shù)）起作用的能帶是極值相重合的兩個(gè)能帶，分別對(duì)應(yīng)輕空穴和重空穴極值在K=0處，等能面為球形。實(shí)際的硅、鍺半導(dǎo)體價(jià)帶頂狀態(tài)密度由球形等能面狀態(tài)密度：可得價(jià)帶定狀態(tài)密度為：mdp為價(jià)帶頂空穴狀態(tài)密度有效質(zhì)量能帶特點(diǎn)3.5統(tǒng)計(jì)力學(xué)費(fèi)米-狄拉克概率分布函數(shù)從微觀上講，每個(gè)電子所具有的能量時(shí)大時(shí)小，但從宏觀上看，在熱平衡狀態(tài)下，多個(gè)電子按能量大小具有一定的統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律性根據(jù)量子統(tǒng)計(jì)理論，晶體中的電子服從泡利不相容原理（每個(gè)量子態(tài)只允許存在一個(gè)微觀粒子），遵循費(fèi)米-狄拉克統(tǒng)計(jì)規(guī)律，為：

fF(E)就稱作費(fèi)米－狄拉克統(tǒng)計(jì)分布函數(shù)，簡(jiǎn)稱費(fèi)米分布，它反映的是能量為E的一個(gè)量子態(tài)被一個(gè)電子占據(jù)的幾率。而EF則稱為費(fèi)米能級(jí)。1費(fèi)米分布函數(shù)費(fèi)米（Fermi）能級(jí)是費(fèi)米分布函數(shù)的重要參數(shù)，確定了費(fèi)米能級(jí)即可確定電子在各個(gè)能態(tài)的分布幾率，它與溫度，半導(dǎo)體材料類型等有關(guān)。費(fèi)米能級(jí)就是系統(tǒng)的化學(xué)勢(shì)，處于熱平衡的系統(tǒng)具有統(tǒng)一的化學(xué)勢(shì)，也即具有統(tǒng)一的費(fèi)米能級(jí)。電子的費(fèi)米分布函數(shù)：為玻爾茲曼常數(shù)為絕對(duì)溫度為費(fèi)米能級(jí)1費(fèi)米分布函數(shù)討論不同溫度下的費(fèi)米分布函數(shù)特性T=0K時(shí)：比費(fèi)米能級(jí)高的能級(jí)上沒(méi)有電子，費(fèi)米能級(jí)低的能級(jí)上有電子。絕對(duì)零度時(shí)費(fèi)米能級(jí)可看作量子態(tài)是否被電子占據(jù)的能量界限1費(fèi)米分布函數(shù)T>0K時(shí)：例如：當(dāng)能量比費(fèi)米能級(jí)高或低時(shí)：可見(jiàn)一般溫度情況下：費(fèi)米能級(jí)以上的量子態(tài)基本是空的，費(fèi)米能級(jí)以下的量子態(tài)基本被電子所占據(jù)。而費(fèi)米能級(jí)處的幾率總是1/2此外，隨著溫度升高，電子占據(jù)高能態(tài)的幾率增加，而占據(jù)低能態(tài)的幾率下降1費(fèi)米分布函數(shù)費(fèi)米能級(jí)EF的意義：EF的位置比較直觀地反映了電子占據(jù)量子態(tài)的情況。即標(biāo)志了電子填充能級(jí)的水平。一般溫度下費(fèi)米能級(jí)以上的量子態(tài)基本是空的，而費(fèi)米能級(jí)以下的量子態(tài)基本被電子所占據(jù)EF越高，說(shuō)明有較多的能量較高的量子態(tài)上有電子占據(jù)。

考慮量子態(tài)密度g(E)是能

量E的連續(xù)函數(shù)，如左圖中的

曲線所示，假設(shè)系統(tǒng)中的電

子總數(shù)為N0，在T=0K時(shí)，電

子在這些量子態(tài)上的分布情

況如圖中虛線所示。電子首

先從低能級(jí)開(kāi)始往上填充，

最后使得費(fèi)米能級(jí)EF以下的

能級(jí)全部填滿，而EF以上的

能級(jí)全部為空。只要已知g(E)

和N0

，則可以很方便地確定

費(fèi)米能級(jí)EF。2費(fèi)米-狄拉克分布的玻爾茲曼近似所以：令：當(dāng)時(shí)則：稱為電子的玻爾茲曼分布函數(shù)2玻爾茲曼分布函數(shù)

所以，導(dǎo)帶底電子滿足玻爾茲曼統(tǒng)計(jì)規(guī)律。在室溫時(shí)對(duì)本征硅：量子態(tài)被空穴占據(jù)幾率上式為空穴的玻爾茲曼分布函數(shù)，其中：當(dāng)

時(shí)表示能量為E的量子態(tài)被電子占據(jù)的幾率，所以就是能量為E的量子態(tài)被空穴占據(jù)的幾率:量子態(tài)被空穴占據(jù)幾率能量E增加，空穴的占有幾率增加。費(fèi)米能級(jí)EF增加，空穴占有幾率下降，電子填充水平增加。電子和空穴的分布幾率相對(duì)費(fèi)米能級(jí)是對(duì)稱的簡(jiǎn)并與非簡(jiǎn)并半導(dǎo)體因?qū)е械碾娮又饕植荚趯?dǎo)帶底，價(jià)帶中的空穴主要分布在價(jià)帶頂在半導(dǎo)體中，最常見(jiàn)的是費(fèi)米能級(jí)位于禁帶內(nèi)，且滿足EcEvEF服從玻爾茲曼分布的電子系統(tǒng)稱為非簡(jiǎn)并系統(tǒng)，相應(yīng)的半導(dǎo)體稱為非簡(jiǎn)并半導(dǎo)體；所以導(dǎo)帶中的電子分布，及價(jià)帶中的空穴分布可以用玻