28.2解直角三角形第3課時

1.理解坡度、方位角等概念.（重點）2.掌握數(shù)學建模的方法，解決方位、坡面測量等問題.（重點、難點）解直角三角形應用中的概念1.坡度、坡角的概念：如圖，我們通常把坡面的_____高度h和_____寬度l的比叫做坡度（或坡比），用字母i表示，即i=tanα=，這里，α是坡面與_____面的夾角，這個角叫坡角.垂直水平水平2.方位角：指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的角，叫做方位角.如圖中的目標方向線OA，OB，OC，OD的方位角分別表示為__________，_________，___________，____________.北偏東30°東南方向南偏西80°北偏西60°（打“√”或“×”）(1)坡度是指坡的度數(shù).（）(2)坡度是一個比值.（）(3)若從點A觀察點B的方位角是北偏東50°，那么從點B觀察點A的方位角是南偏西50°.（）××√知識點1與方位角有關(guān)的計算【例1】（2013·黃石中考）高考英語聽力測試期間，需要杜絕考點周圍的噪音.如圖，點A是某市一高考考點，在位于A考點南偏西15°方向距離125m的C點處有一消防隊.在聽力考試期間，消防隊突然接到報警電話，告知在位于C點北偏東75°方向的F點處突發(fā)火災，消防隊必須立即趕往救火.已知消防車的警報聲傳播半徑為100m，若消防車的警報聲對聽力測試造成影響，則消防車必須改道行駛.試問：消防車是否需要改道行駛？說明理由.（取1.732）【思路點撥】作AB⊥CF.先求∠ACB的度數(shù)，再求AB的長，最后比較100與AB的長下結(jié)論.【自主解答】作AB⊥CF,垂足為B，由題意知∠ACF=75°-15°=60°,在Rt△ABC中，∵sin∠ACB=,∴AB=125×sin60°=125×≈125×=108.25（m）,∵108.25＞100,∴消防車不需要改道行駛.【總結(jié)提升】解答與方位角有關(guān)的計算問題的方法1.弄清航行中方位角的含義，根據(jù)題意畫出圖形，畫圖時要先確定方向標，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題是解題的關(guān)鍵所在.2.船在海上航行，在平面上標出船的位置、燈塔或岸上某目標的位置，關(guān)鍵在于確定基準點.當船在航行時，基準點在轉(zhuǎn)移，畫圖時要特別注意.3.常說的東南、西南、東北、西北是特指方向，均與南、北方向成45°角.知識點2與坡度有關(guān)的計算【例2】學校校園內(nèi)有一小山坡AB，經(jīng)測量，坡角∠ABC=30°，斜坡AB長為12m，為方便學生行走，決定開挖小山坡，斜坡BD的坡比是1∶3（即為CD與BC的長度之比），A，D兩點處于同一鉛垂線上，求開挖后小山坡下降的高度AD.【解題探究】（1）在Rt△ACB中如何求AC，BC的長？提示:在Rt△ACB中，∠ABC=30°，AC=AB=6（m），BC=AB·cos∠ABC=12×(m).（2）在Rt△DCB中如何先求CD的長，再求AD的長？提示:∵斜坡BD的坡比是1∶3，∴CD=BC=（m），AD=AC－CD=6－（m）.答：開挖后小山坡下降的高度AD為(6－)m.【總結(jié)提升】解答坡度問題的方法1.坡度問題需明確坡度的概念，即坡度i=tanα，然后根據(jù)具體情況代入計算.當給出的條件是坡面長度和坡度時，根據(jù)定義，構(gòu)建方程來求解.應用時要注意與三角函數(shù)的結(jié)合.2.坡度是坡角的正切值，坡度越大，坡角也越大.3.與坡度有關(guān)的問題常與水壩有關(guān)，即梯形問題，常用的方法一般是過上底的頂點作下底的垂線，構(gòu)造直角三角形和矩形來求解.題組一:與方位角有關(guān)的計算1.如圖，輪船從B處以每小時50nmile的速度沿南偏東30°方向勻速航行，在B處觀測燈塔A位于南偏東75°方向上，輪船航行半小時到達C處，在C處觀測燈塔A位于北偏東60°方向上，則C處與燈塔A的距離是（）A.25nmileB.25nmileC.50nmileD.25nmile 【解析】選D.如圖所示，∠BCA=90°,∠ABC=75°-30°=45°,BC==25（nmile）,∴AC=BC=25nmile.2.在一自助夏令營活動中，小明同學從營地A出發(fā)，要到A地的北偏東60°方向的C處，他先沿正東方向走了200m到達B地，再沿北偏東30°方向走，恰能到達目的地C（如圖），那么，由此可知，B，C兩地相距_____m．【解析】由已知得：∠ABC=90°+30°=120°，∠BAC=90°-60°=30°，∴∠ACB=180°-∠ABC-∠BAC=180°-120°-30°=30°，∴∠ACB=∠BAC，∴BC=AB=200m．答案:2003.（2013·泰安中考）如圖，某海監(jiān)船向正西方向航行，在A處望見一艘正在作業(yè)漁船D在南偏西45°方向，海監(jiān)船航行到B處時望見漁船D在南偏東45°方向，又航行了半小時到達C處，望見漁船D在南偏東60°方向，若海監(jiān)船的速度為50nmile/h，則A，B之間的距離為_____（取≈1.7，結(jié)果精確到0.1nmile）．【解析】∵∠DBA=∠DAB=45°，∴△DAB是等腰直角三角形，過點D作DE⊥AB于點E，則DE=AB.設DE=x，則AB=2x，在Rt△CDE中，∠DCE=30°，則CE=DE=x，在Rt△BDE中，∠DBE=45°，則DE=BE=x，由題意得，CB=CE-BE=x-x=25，解得≈35.7，∴AB=2x=2×35.7=71.4（nmile）.答案:71.4nmile4.某海濱浴場東西走向的海岸線可近似看作直線l（如圖）．救生員甲在A處的瞭望臺上觀察海面情況，發(fā)現(xiàn)其正北方向的B處有人發(fā)出求救信號．他立即沿AB方向徑直前往救援，同時通知正在海岸線上巡邏的救生員乙．乙馬上從C處入海，徑直向B處游去．甲在乙入海10s后趕到海岸線上的D處，再向B處游去．若CD＝40m，B在C的北偏東35°方向，甲、乙的游泳速度都是2m/s．問：誰先到達B處？請說明理由．（參考數(shù)據(jù)：sin55°≈0.82,cos55°≈0.57,tan55°≈1.43）【解析】由題意得，∠BCD＝55°，∠BDC＝90°，∵tan∠BCD=，∴BD=CD·tan∠BCD=40×tan55°≈57.2（m）．∵cos∠BCD=,∴≈70.2（m）．∴t甲=+10=38.6（s），t乙==35.1（s）．∵t甲>t乙，∴乙先到達B處．5.（2013·遂寧中考）釣魚島自古以來就是我國的神圣領(lǐng)土，為維護國家主權(quán)和海洋權(quán)利，我國海監(jiān)和漁政部門對釣魚島海域?qū)崿F(xiàn)了常態(tài)化巡航管理.如圖，某日在我國釣魚島附近海域有兩艘自西向東航行的海監(jiān)船A，B，B船在A船的正東方向，且兩船保持20nmile的距離，某一時刻兩海監(jiān)船同時測得在A的東北方向，B的北偏東15°方向有一我國漁政執(zhí)法船C，求此時船C與船B的距離是多少．（結(jié)果保留根號）【解析】作BD⊥AC于D，由題意可知，∠BAC＝45°，∠ABC＝105°，∴∠ACB＝180°－∠BAC－∠ABC＝30°，在Rt△ABD中，BD=AB·sin∠BAD=20×=10（nmile），在Rt△BCD中，=20（nmile），答：此時船C與船B的距離是20nmile.題組二:與坡度有關(guān)的計算1.如圖，某游樂場一山頂滑梯的高為h，滑梯的坡角為α，那么滑梯長l為（）

B.C.D.【解析】選A．由已知得：sinα＝，∴l(xiāng)＝2.如圖，一個小球由地面沿著坡度i=1∶2的坡面向上前進了10m，此時小球距離地面的高度為()A.5mB.2mC.4mD.m【解析】選B.如圖，∵AB=10m,tanA=設BC=x，則AC=2x,由勾股定理得，AB2=AC2+BC2,即100=4x2+x2,解得x=2∴AC=4m,BC=2m.3.（2013·聊城中考）河堤橫斷面如圖所示，堤高BC=6m，迎水坡AB的坡比為1∶則AB的長為（）A.12mB.4mC.5mD.6m【解析】選A.根據(jù)坡比的意義可知BC∶AC=1∶，即6∶AC=1∶，所以AC=6m.由勾股定理得AB==12（m）.或者根據(jù)tanA=1∶，則∠A=30°，根據(jù)“在直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半”可知AB=2BC=12m.4.某水庫大壩的橫斷面是梯形，壩內(nèi)斜坡的坡度i1=1∶壩外斜坡的坡度i2=1∶1，則兩個坡角的和為____.【解析】設壩內(nèi)斜坡的坡角為α，壩外斜坡的坡角為β.壩內(nèi)斜坡的坡度i1=1∶，說明tanα=，則α=30°，壩外斜坡的坡度i2=1∶1，說明tanβ=1，β=45°，兩角和為75°．答案:75°5.（2013·廣安中考）如圖，廣安市防洪指揮部發(fā)現(xiàn)渠江邊一處長400m，高8m，背水坡的坡角為45°的防洪大堤（橫截面為梯形ABCD）急需加固．經(jīng)調(diào)查論證，防洪指揮部專家組制定的加固方案是：背水坡面用土石進行加固，并使上底加寬2m，加固后，背水坡EF的坡比i=1∶2．（1）求加固后壩底增加的寬度AF的長.（2）求完成這項工程需要土石多少立方米？【解析】（1）分別過點E，D作EG⊥AB，DH⊥AB交AB于G，H，∵四邊形ABCD是梯形，且AB∥CD，∴DH平行且等于EG，故四邊形EGHD是矩形，∴ED=GH.在Rt△ADH中，AH=DH÷tan∠DAH=8÷tan45°=8（m），在Rt△FGE中，i=1∶2=，∴FG=2