建筑力學(xué)第六章超靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算第一頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日6.1概述6.2力法

6.3位移法

6.4力矩分配法

本章內(nèi)容第二頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日6.1概述6.1.1超靜定結(jié)構(gòu)的概念超靜定結(jié)構(gòu)是工程中廣泛采用的一類結(jié)構(gòu)，為了全面認(rèn)識(shí)超靜定結(jié)構(gòu)，我們把它與靜定結(jié)構(gòu)作一比較。第三頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日

圖（a）所示的剛架是一個(gè)靜定結(jié)構(gòu)，它的支座反力和各截面的內(nèi)力都可以由靜力平衡條件唯一確定。圖（b）所示的剛架是一個(gè)超靜定結(jié)構(gòu)，有四個(gè)反力，卻只能列出三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，它的支座反力和各截面的內(nèi)力不能完全由靜力平衡條件唯一確定。（a）（b）FFByFAxFAyFFByMAFAxFAy第四頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日再?gòu)膸缀谓M成方面來分析，圖（a）所示剛架和圖（b）所示剛架都是幾何不變的。若從圖（a）所示的剛架中去掉支桿B，其就變成了幾何可變體系。而從圖（b）所示剛架中去掉支桿B，則其仍是幾何不變的，從幾何組成上看支桿B是多余約束，所以，該體系有一個(gè)多余約束，是一次超靜定結(jié)構(gòu)。（a）（b）FFByFAxFAyFFByMAFAxFAy第五頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日綜上所述，存在多余約束，單靠靜力平衡方程不能確定所有支座反力和內(nèi)力，這就是超靜定結(jié)構(gòu)與靜定結(jié)構(gòu)的根本區(qū)別。第六頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日6.1.2超靜定次數(shù)的確定超靜定次數(shù)就是結(jié)構(gòu)的多余約束的個(gè)數(shù)，也就是多余未知力的個(gè)數(shù)。所以，確定結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)的方法，就是把原結(jié)構(gòu)中的多余約束去掉，使之變成靜定結(jié)構(gòu)，所去掉的多余約束的個(gè)數(shù)即為結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)。第七頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日通常情況下，從超靜定結(jié)構(gòu)中去掉多余約束的方式有如下幾種：

1.切斷體系內(nèi)部的一根鏈桿或去掉支座處的一根支桿，相當(dāng)于去掉一個(gè)約束，如圖所示。X1(a)(b)X1X2第八頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日2.去掉一個(gè)鉸支座或一個(gè)單鉸，相當(dāng)于去掉兩個(gè)約束，如圖所示。

(a)(b)X1X2X1X2X1X2第九頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日3.去掉一個(gè)固定支座或切斷一根梁式桿，相當(dāng)于去掉三個(gè)約束，如圖所示。

(a)(b)cX1X2MAX1X2X1X2X3X3第十頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日4.將一剛結(jié)點(diǎn)改為單鉸聯(lián)結(jié)或?qū)⒁粋€(gè)固定支座改為鉸支座，相當(dāng)于去掉一個(gè)約束，如圖所示。

X1(a)(b)(c)X1第十一頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日6.2力法力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)，是以靜定結(jié)構(gòu)為計(jì)算對(duì)象，把多余未知力作為基本未知量，根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件建立力法方程，從而把計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)多余未知力的問題轉(zhuǎn)化為計(jì)算靜定結(jié)構(gòu)的問題。6.2.1力法的基本原理第十二頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日下面通過對(duì)一次超靜定結(jié)構(gòu)的分析，闡述力法的基本原理。如圖所示一端固定、另一端鉸支的梁，該梁有一個(gè)多余約束，是一次超靜定結(jié)構(gòu)。第十三頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日

如果把支桿B作為多余約束去掉，并代之以多余未知力X1，則原結(jié)構(gòu)就轉(zhuǎn)化為圖（b）所示的靜定梁。它承受著與圖（a）所示原結(jié)構(gòu)相同的荷載和多余未知力。我們把這種去掉多余約束用多余未知力來代替后的靜定結(jié)構(gòu)稱為按力法計(jì)算的基本結(jié)構(gòu)。(b)基本結(jié)構(gòu)X1第十四頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日只要能夠求出多余未知力X1，原結(jié)構(gòu)的計(jì)算問題就轉(zhuǎn)變?yōu)殪o定的基本結(jié)構(gòu)在荷載q及多余未知力X1共同作用下的靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算問題了。我們把多余未知力稱為力法計(jì)算的基本未知量。(b)基本結(jié)構(gòu)X1第十五頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日在圖(b)所示的基本結(jié)構(gòu)上，多余未知力X1是代替原結(jié)構(gòu)支座B的作用。因此，基本結(jié)構(gòu)的受力和變形應(yīng)與原結(jié)構(gòu)完全相同。設(shè)基本結(jié)構(gòu)在B點(diǎn)沿X1方向上的位移為Δ1。由于在原結(jié)構(gòu)圖(a)中，支座B處的豎向位移等于零。所以，在基本結(jié)構(gòu)圖(b)中，B點(diǎn)由荷載q與多余未知力X1共同作用下在X1方向上的位移Δ1也應(yīng)該為零，即

Δ1=0第十六頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日

上式稱為基本結(jié)構(gòu)應(yīng)滿足的原結(jié)構(gòu)的位移條件，設(shè)Δ1F[圖(c)]和Δ11[圖(d)]分別表示荷載q與多余末知力X1單獨(dú)作用于基本結(jié)構(gòu)上時(shí)，引起的B點(diǎn)沿X1方向上的位移。由疊加原理，有

Δ1=Δ11+Δ1F=0=+(c)(d)(b)基本結(jié)構(gòu)X1X1第十七頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日由于X1是末知力，若以δ11表示X1＝1單獨(dú)作用于基本結(jié)構(gòu)時(shí)引起的B點(diǎn)沿X1方向上的位移，即Δ11=δ11·

X1

，則

δ11·

X1+Δ1F=0上式稱為力法方程，而δ11稱為方程的系數(shù)，Δ1F稱為方程的自由項(xiàng)。第十八頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日因?yàn)棣?1和Δ1F均為已知力作于靜定結(jié)構(gòu)時(shí)，引起的B點(diǎn)沿X1方向上的位移，所以由靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算方法可以求得。因此解力法方程可求出多余未知力X1。第十九頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日

為了具體計(jì)算位移δ11和Δ1F，可分別繪出基本結(jié)構(gòu)在荷載q和X1＝1單獨(dú)作用下的MF圖和圖[圖(a，b)]，然后用圖乘法計(jì)算。

(a)MF

圖X1第二十頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日(a)MF

圖

由于MF圖和圖分別是基本結(jié)構(gòu)在X1＝1和荷載q作用下的彎矩圖，同時(shí)圖又可理解成為求B點(diǎn)的豎向位移而繪制的單位荷載作用下的彎矩圖。所以，可用圖乘圖，即圖自乘，則有X1第二十一頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日同理可用圖乘MF圖計(jì)算Δ1F

將δ11和Δ1F代入力法方程，可解得多余未知力X1。所得末知力X1為正號(hào)，表示反力X1的方向與所設(shè)的方向相同。

(a)MF

圖X1第二十二頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日多余未知力X1求出后，將已求得的多余力X1與荷載q共同作用在基本結(jié)構(gòu)上,就可以按求解靜定結(jié)構(gòu)的方法，求出原結(jié)構(gòu)的其余反力和內(nèi)力，最后繪出原結(jié)構(gòu)的彎矩圖，如圖（c）所示。ABM圖超靜定結(jié)構(gòu)的最后彎矩圖M，也可利用已經(jīng)繪出的圖和MF圖按疊加原理繪出，即。（c）第二十三頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日

綜上所述，力法是以多余未知力作為基本未知量，以去掉多余約束后的靜定結(jié)構(gòu)作為基本結(jié)構(gòu)，根據(jù)基本結(jié)構(gòu)在多余約束處與原結(jié)構(gòu)完全相同的位移條件建立力法方程，求解多余未知力，從而把超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算問題。第二十四頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日6.2.2力法典型方程

前面用一次超靜定結(jié)構(gòu)說明了力法計(jì)算的基本原理，下面以一個(gè)三次超靜定結(jié)構(gòu)為例進(jìn)一步說明力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的基本原理和力法的典型方程。圖(a)所示為一個(gè)三次超靜定剛架，荷載作用下結(jié)構(gòu)的變形如圖中虛線所示。（a）第二十五頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日這里我們?nèi)サ艄潭ㄖё鵆處的多余約束，用多余未知力

X1、X2

、X3代替，得到如圖(b)所示的基本結(jié)構(gòu)。X2X1X3（a）（b）第二十六頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日

由于原結(jié)構(gòu)C處為固定支座，其線位移和角位移都為零。所以，基本結(jié)構(gòu)在荷載q及X1、X2

、X3共同作用下，C點(diǎn)沿X1、X2

、X3方向的位移都等于零，即基本結(jié)構(gòu)應(yīng)滿足的位移條件為

Δ1=0Δ2=0Δ3=0X2X1X3（a）（b）第二十七頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日

上式就是三次超靜定結(jié)構(gòu)的力法方程。根據(jù)疊加原理，上面的位移條件可以表示為第二十八頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日=+++X2X1X3（b）X2（d）（e）X3（f）1F3F2F（c）X1第二十九頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日

式中：δ11、δ21、δ31——當(dāng)X1＝1時(shí)引起的基本結(jié)構(gòu)上沿

X1

、X2

、X3方向上的位移[圖(c)]；

δ12、δ22、δ32——當(dāng)X2＝1時(shí)引起的基本結(jié)構(gòu)上沿X1

、X2

、X3方向上的位移[圖(d)]；

δ13、δ23、δ33——當(dāng)X3＝1時(shí)引起的基本結(jié)構(gòu)上沿X1

、X2

、X3方向上的位移[圖(e)]；

Δ1F、Δ2F、Δ3F——荷載引起的基本結(jié)構(gòu)上沿X1

、X2

、X3方向上的位移[圖(f)]。第三十頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日對(duì)于n次超靜定結(jié)構(gòu)，用力法分析時(shí)，去掉n個(gè)多余約束，代之以n個(gè)多余未知力，當(dāng)原結(jié)構(gòu)在去掉多余約束處的已知位移為零時(shí)，采用上面同樣的方法可以得到n個(gè)方程，稱為力法典型方程。具體形式如下：第三十一頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日

在力法典型方程的前面n項(xiàng)中，位于從左上方至右下方的一條主對(duì)角線上的系數(shù)δii稱為主系數(shù)，它表示Xi=1時(shí)，引起的基本結(jié)構(gòu)上沿Xi方向上的位移，它可利用圖自乘求得,其值恒為正值；主對(duì)角線兩側(cè)的系數(shù)δij(i≠j)稱為副系數(shù)，它表示Xj=1時(shí)，引起的基本結(jié)構(gòu)上沿Xi方向上的位移，它可利用圖與圖互乘求得。第三十二頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日根據(jù)位移互等定理可知副系數(shù)δij與δji相等；方程組中最后一項(xiàng)△iF不含未知力，稱為自由項(xiàng)。它是由荷載單獨(dú)作用在基本結(jié)構(gòu)上時(shí)，引起的沿多余力Xi方向上的位移，它可通過MF圖與圖互乘求得。副系數(shù)和自由項(xiàng)可能為正值，可能為負(fù)值，也可能為零。第三十三頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日

由于基本結(jié)構(gòu)是靜定的，所以力法典型方程中各系數(shù)和自由項(xiàng)都可按上一章位移計(jì)算的方法求出。解力法方程求出多余未知力Xi

(i=1，2，…，n)后，就可以按靜定結(jié)構(gòu)的分析方法求其余反力和內(nèi)力。原結(jié)構(gòu)的彎矩可由下面的疊加公式求出：原結(jié)構(gòu)的剪力和軸力可以根據(jù)平衡條件確定。第三十四頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日6.2.3力法的計(jì)算步驟和舉例

根據(jù)以上所述，用力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)的步驟可歸納如下：

（1）選取基本結(jié)構(gòu)。去掉原結(jié)構(gòu)的多余約束，以相應(yīng)的未知力代替多余約束的作用。

（2）建立力法典型方程。根據(jù)基本結(jié)構(gòu)在去掉多余約束處的位移與原結(jié)構(gòu)相應(yīng)位置的位移相同的條件，建立力法方程。第三十五頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日

（3）計(jì)算力法方程的系數(shù)和自由項(xiàng)。利用靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算公式，或分別繪出基本結(jié)構(gòu)在單位多余力Xi和荷載作用下的彎矩圖，然后用圖乘法計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)。（4）解方程求多余未知力。將所得各系數(shù)和自由項(xiàng)代入力法方程，解出多余未知力Xi。

第三十六頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日（5）繪制原結(jié)構(gòu)的內(nèi)力圖。用疊加法繪制原結(jié)構(gòu)的彎矩圖，進(jìn)而根據(jù)平衡條件確定剪力圖和軸力圖。1．超靜定梁和超靜定剛架用力法計(jì)算超靜定梁和剛架時(shí)，通常忽略剪力和軸力對(duì)位移的影響，因此，在計(jì)算力法方程的系數(shù)和自由項(xiàng)時(shí)只考慮彎矩的影響。第三十七頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日6.3位移法力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)是以多余未知力為基本未知量，當(dāng)結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)較高時(shí)，用力法計(jì)算比較麻煩。而位移法則是以獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)位移為基本未知量，未知量個(gè)數(shù)與超靜定次數(shù)無(wú)關(guān)，故一些高次超靜定結(jié)構(gòu)用位移法計(jì)算比較簡(jiǎn)便。第三十八頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日6.3.1位移法的基本概念位移法是以結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)位移作為基本未知量，由平衡條件建立位移法方程求解結(jié)點(diǎn)位移，利用桿端位移和桿端內(nèi)力之間的關(guān)系計(jì)算桿件和結(jié)構(gòu)的內(nèi)力，從而把超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算問題轉(zhuǎn)化為單跨超靜定梁的計(jì)算問題。第三十九頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日。

為了說明位移法的基本概念，我們來研究圖（a）所示的等截面連續(xù)梁。此梁在均布荷載作用下的變形情況如圖虛線所示。由于B點(diǎn)為剛性結(jié)點(diǎn)，所以，匯交于此點(diǎn)的各桿在該端將發(fā)生相同的轉(zhuǎn)角

。第四十頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日在分析上述連續(xù)梁時(shí)，我們可以這樣考慮：把桿AB看作是兩端固定的梁在B端發(fā)生了轉(zhuǎn)角；把桿BC看作是B端固定C端鉸支的梁，在梁上受均布荷載作用，并在B端發(fā)生轉(zhuǎn)角

，如圖（b）所示。第四十一頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日因此，如把結(jié)點(diǎn)B的轉(zhuǎn)角作為支座移動(dòng)看待，則上述連續(xù)梁可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)單跨超靜定梁。只要能夠計(jì)算出轉(zhuǎn)角的大小，就可以用力法計(jì)算出這兩個(gè)單跨超靜定梁的全部反力和內(nèi)力。第四十二頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日下面分為四步討論如何計(jì)算轉(zhuǎn)角的問題。第一步，增加約束，將結(jié)點(diǎn)B鎖住。假設(shè)在結(jié)點(diǎn)B處加入一附加剛臂[圖(a)]，附加剛臂的作用是約束B點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)，而不能約束移動(dòng)，即相當(dāng)于固定端。A(a)基本結(jié)構(gòu)BC第四十三頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日于是圖（a）所示的等截面連續(xù)梁變成了由AB和BC兩個(gè)單跨超靜定梁組成的組合體。我們把加入附加剛臂后的結(jié)構(gòu)稱為位移法計(jì)算的基本結(jié)構(gòu)。在基本結(jié)構(gòu)上受外荷載作用，并使B點(diǎn)附加剛臂轉(zhuǎn)過與實(shí)際變形相同的轉(zhuǎn)角Z1=

，使基本結(jié)構(gòu)的受力和變形與原結(jié)構(gòu)取得一致[圖(a)]，進(jìn)而用基本結(jié)構(gòu)代替原結(jié)構(gòu)的計(jì)算。第四十四頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日第二步，在基本結(jié)構(gòu)中，只有荷載q的作用，無(wú)轉(zhuǎn)角Z1影響，如圖(b)所示。其彎矩圖可由力法計(jì)算如圖(b)所示，在附加剛臂上產(chǎn)生的約束力矩為R1F。(b)第四十五頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日第三步，施加力偶，使基本結(jié)構(gòu)的結(jié)點(diǎn)B產(chǎn)生角位移Z1如圖(c)所示。在B端發(fā)生轉(zhuǎn)角Z1的支座移動(dòng)，其彎矩圖可由力法計(jì)算得到，如圖(c)所示，在附加剛臂上產(chǎn)生的約束力矩為R11

。（c）第四十六頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日第四步，把基本結(jié)構(gòu)的兩種情況疊加，計(jì)算轉(zhuǎn)角Z1。由疊加原理可得基本結(jié)構(gòu)在兩種情況下引起的約束力矩為R11+R1F。由于基本結(jié)構(gòu)的受力和變形與原結(jié)構(gòu)相同，在原結(jié)構(gòu)上沒有附加剛臂，故基本結(jié)構(gòu)中附加剛臂上的約束力矩應(yīng)為零。即R11+R1F=0。第四十七頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日如在圖(c)中令r11表示當(dāng)Z1=1時(shí)附加剛臂上的約束力矩，即R11=r11·Z1

，則上式改寫為

r11·Z1+R1F=0上式稱為位移法方程。式中的r11稱為系數(shù)；R1F稱為自由項(xiàng)。它們的方向規(guī)定與Z1方向相同為正，反之為負(fù)。第四十八頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日

為了由位移法方程求解Z1，可由圖(b)中取結(jié)點(diǎn)B為隔離體，由力矩平衡條件得出；由圖(c)中取結(jié)點(diǎn)B為隔離體，并令Z1=1，由力矩平衡條件得出

。代入位移法方程，得（c）（b）第四十九頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日求出Z1后，將圖(b，c)兩種情況疊加，即得原結(jié)構(gòu)的彎矩圖如圖(d)所示。ABC(d)第五十頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日總結(jié)以上分析過程，可以把位移法計(jì)算的解題思路歸納如下：（1）以獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)位移作為位移法的基本未知量。（2）以增加附加約束后的一系列單跨超靜定梁的組合體作為位移法的基本結(jié)構(gòu)。（3）以基本結(jié)構(gòu)在附加約束處的受力與原結(jié)構(gòu)一致的平衡條件建立位移法方程。第五十一頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日（4）原結(jié)構(gòu)的內(nèi)力是荷載和結(jié)點(diǎn)位移共同下，在基本結(jié)構(gòu)中產(chǎn)生的內(nèi)力。在位移法計(jì)算中，要用力法對(duì)每個(gè)單跨超靜定梁的桿端彎矩和桿端剪力進(jìn)行計(jì)算。為了使用方便，對(duì)各種約束的單跨超靜定梁由荷載及支座移動(dòng)引起的桿端彎矩和桿端剪力數(shù)值均列于表9.1中，以備查用。第五十二頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日在表9.1中，i=EI/l，稱為桿件的線剛度。表9.1中桿端彎矩的正、負(fù)號(hào)規(guī)定為：對(duì)桿端而言彎矩以順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎▽?duì)支座或結(jié)點(diǎn)而言，則以逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，反之為?fù)[如圖所示]。至于剪力的正、負(fù)號(hào)仍與以前規(guī)定相同。轉(zhuǎn)角以順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之為負(fù)。第五十三頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日表6.1等截面直桿的桿端彎矩和剪力

第五十四頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日續(xù)表6.1等截面直桿的桿端彎矩和剪力

第五十五頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日續(xù)表6.1等截面直桿的桿端彎矩和剪力

第五十六頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日續(xù)表6.1等截面直桿的桿端彎矩和剪力

第五十七頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日續(xù)表6.1等截面直桿的桿端彎矩和剪力

第五十八頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日續(xù)表6.1等截面直桿的桿端彎矩和剪力

第五十九頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日6.3.2位移法基本未知量與基本體系1．位移法的基本未知量在力法計(jì)算中，是以超靜定結(jié)構(gòu)的多余未知力為基本未知量，而在位移法計(jì)算中，則是以結(jié)構(gòu)中剛結(jié)點(diǎn)的角位移（鉸結(jié)點(diǎn)的角位移可由桿件另一端的位移求出，故不作為基本位知量）和獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移作為基本未知量。第六十頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日在結(jié)構(gòu)中，一般情況下剛結(jié)點(diǎn)的角位移數(shù)目和剛結(jié)點(diǎn)的數(shù)目相同，但結(jié)構(gòu)獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移的數(shù)目則需要分析判斷后才能確定。下面舉例說明如何確定位移法的基本未知量。第六十一頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D（a）所示剛架有兩個(gè)剛結(jié)點(diǎn)，現(xiàn)在兩個(gè)剛結(jié)點(diǎn)都發(fā)生了角位移和線位移，但在忽略桿件的軸向變形時(shí)，這兩個(gè)線位移相等，即獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移只有一個(gè)，因此用位移法求解時(shí)，該結(jié)構(gòu)的基本未知量是兩個(gè)角位移和以及一個(gè)線位移Δ。

第六十二頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日(b)同理，圖（b）所示排架有三個(gè)鉸結(jié)點(diǎn)，其水平線位移相同，故該結(jié)構(gòu)的基本未知量是一個(gè)線位移Δ。

第六十三頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日當(dāng)結(jié)構(gòu)的獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移的數(shù)目由直觀的方法難以判斷時(shí)，則可以采用“鉸化結(jié)點(diǎn)、增加鏈桿”的方法判斷。即在確定結(jié)構(gòu)獨(dú)立的結(jié)點(diǎn)線位移時(shí)，先把所有的結(jié)點(diǎn)和支座都換成鉸結(jié)點(diǎn)和鉸支座，得到一個(gè)鉸結(jié)體系。第六十四頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日若此體系是幾何不變體系，則由此知道結(jié)構(gòu)的所有結(jié)點(diǎn)均無(wú)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移。如果此體系是幾何可變體系或瞬變體系，則可以通過增加鏈桿使其變?yōu)閹缀尾蛔凅w系，所增加的最少鏈桿的數(shù)目，就是原結(jié)構(gòu)的獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移的數(shù)目。第六十五頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日例如圖(a)所示結(jié)構(gòu)，鉸化結(jié)點(diǎn)后增加一根鏈桿可變?yōu)閹缀尾蛔凅w系[圖(b)]，所以結(jié)點(diǎn)獨(dú)立線位移的數(shù)目為一，整個(gè)結(jié)構(gòu)的基本未知量為兩個(gè)角位移和一個(gè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移。第六十六頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日2.位移法基本結(jié)構(gòu)由前述可知，用位移法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)時(shí)，是以一系列單跨超靜定梁的組合體作為基本結(jié)構(gòu)的。因此，在確定了基本未知量后，就要增加附加約束以限制所有結(jié)點(diǎn)的位移，把原結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為一系列相互獨(dú)立的單跨超靜定梁的組合體。即在產(chǎn)生角位移的剛結(jié)點(diǎn)處附加剛臂約束轉(zhuǎn)動(dòng)；在產(chǎn)生線位移的結(jié)點(diǎn)處附加支座鏈桿約束其線位移。第六十七頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D(a)所示剛架有兩個(gè)剛結(jié)點(diǎn)D和E，在忽略各桿件自身軸向變形的情況下，兩結(jié)點(diǎn)有相同的線位移，所以只要在結(jié)點(diǎn)D和E處附加兩個(gè)剛臂，以阻止兩個(gè)剛結(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)，在結(jié)點(diǎn)E處附加支座鏈桿以限制其線位移。(b)基本結(jié)構(gòu)(a)原結(jié)構(gòu)第六十八頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日這樣就使得原結(jié)構(gòu)變成為無(wú)結(jié)點(diǎn)線位移及角位移的一系列單跨超靜定梁的組合體，即位移法的基本結(jié)構(gòu)[圖(b)]。(b)基本結(jié)構(gòu)(a)原結(jié)構(gòu)第六十九頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日需要強(qiáng)調(diào)說明：力法中的基本結(jié)構(gòu)是從原結(jié)構(gòu)中拆除多余約束而代之以多余未知力的靜定結(jié)構(gòu)。而位移法的基本結(jié)構(gòu)是在原結(jié)構(gòu)上增加約束構(gòu)成若干個(gè)單跨超靜定梁的組合體。雖然它們的形式不同，但都是原結(jié)構(gòu)的代表，其受力和變形與原結(jié)構(gòu)是一致的。第七十頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日6.3.3位移法典型方程及計(jì)算舉例

1.位移法典型方程在前面我們以只有一個(gè)基本未知量的結(jié)構(gòu)介紹了位移法的基本概念，對(duì)于具有多個(gè)基本未知量的結(jié)構(gòu)，仍然應(yīng)用上述思路，建立位移法方程的典型形式。第七十一頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日?qǐng)D(a)所示剛架有兩個(gè)基本未知量，即結(jié)點(diǎn)B的轉(zhuǎn)角Z1和結(jié)點(diǎn)C的水平位移Z2。在結(jié)點(diǎn)B處施加限制轉(zhuǎn)動(dòng)的約束——附加剛臂，在結(jié)點(diǎn)C加一控制水平線位移的約束——附加支座鏈桿，得到的基本結(jié)構(gòu)如圖(b)所示。(b)基本結(jié)構(gòu)(a)原結(jié)構(gòu)第七十二頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日下面利用疊加原理建立位移法方程。(1)計(jì)算基本結(jié)構(gòu)在荷載單獨(dú)作用時(shí)各附加約束上的約束力。先求出各桿的桿端力，然后求約束中存在的約束力R1F、R2F[圖(a)]。

圖(a)FR1FR2FF第七十三頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日（2）計(jì)算基本結(jié)構(gòu)在結(jié)點(diǎn)B發(fā)生轉(zhuǎn)角Z1時(shí)各附加約束上的約束力。使基本結(jié)構(gòu)在結(jié)點(diǎn)B發(fā)生單位轉(zhuǎn)角Z1=1，但結(jié)點(diǎn)C仍被鎖住。這時(shí)，可求出基本結(jié)構(gòu)在桿件AB、BC和CD的桿端力，以及在兩個(gè)約束中分別存在的約束力r11和r21[圖(b)]。于是我們把圖(b)擴(kuò)大Z1倍，即乘以Z1

。(b)第七十四頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日(c)（3）計(jì)算基本結(jié)構(gòu)在結(jié)點(diǎn)C發(fā)生水平位移Z2時(shí)各附加約束上的約束力。使基本結(jié)構(gòu)在結(jié)點(diǎn)C發(fā)生單位水平位移Z2=1，但結(jié)點(diǎn)B仍被鎖住。這時(shí)，可求出基本結(jié)構(gòu)在桿件AB、BC和CD的桿端力，以及在兩個(gè)約束中分別存在的約束力r12和r22[圖(c)]。于是我們把圖(c)擴(kuò)大Z2倍，即乘以Z2。第七十五頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日疊加以上三種情況，得基本結(jié)構(gòu)在荷載和結(jié)點(diǎn)位移Z1、Z2共同作用下的結(jié)果。根據(jù)以上各種因素引起的附加約束上的約束力疊加后應(yīng)與原結(jié)構(gòu)一致，即各附加約束上的總約束力應(yīng)等于零的條件?？闪谐鰞蓚€(gè)位移法方程

r11Z1+r12Z2+r13Z3+R1F=0

r21Z1+r22Z2+r23Z3+R2F=0第七十六頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日式中的系數(shù)和自由項(xiàng)，是由荷載和結(jié)點(diǎn)位移Z1、Z2共同作用下，在附加約束上引起的約束力?？捎山Y(jié)點(diǎn)隔離體和桿件隔離體的平衡條件確定，得到各系數(shù)及自由項(xiàng)后，代入位移法方程中，即可解出各結(jié)點(diǎn)位移Z1、Z2的值。最后可按下式疊加繪出最后彎矩圖：第七十七頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日式中：、和MF——結(jié)點(diǎn)位移Z1=1、Z2=1和荷載單獨(dú)作用于下，基本結(jié)構(gòu)的彎矩。對(duì)于具有n個(gè)基本未知量的結(jié)構(gòu)，則附加約束（附加剛臂或附加鏈桿）也有n個(gè)，由n個(gè)附加約束上的受力與原結(jié)構(gòu)一致的平衡條件，可建立n個(gè)位移法方程:第七十八頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日r11Z1+r12Z2+…+r1nZn+R1F=0r21Z1+r22Z2+…+r2nZn+R2F=0…rn1Z1+rn2Z2+…+rnnZn+RnF=0上式稱為位移法的典型方程。第七十九頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日式中的rii>0稱為主系數(shù)，其物理意義為Zi=1時(shí)，基本結(jié)構(gòu)中附加約束i上的反力，它恒為正值；rij稱為副系數(shù)，其物理意義為Zj=1時(shí)，基本結(jié)構(gòu)中附加約束i上的反力，副系數(shù)可為正、可為負(fù)或?yàn)榱?；由反力互等定理且有rij=rji；RiF為自由項(xiàng)，其物理意義為荷載作用于基本結(jié)構(gòu)上時(shí)，附加約束i上的反力，自由項(xiàng)可為正、為負(fù)或?yàn)榱恪?/p>

第八十頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日2．位移法計(jì)算舉例上面討論了用位移法典型方程解算超靜定結(jié)構(gòu)的解題思路和方法，根據(jù)前面所述，用位移法解超靜定結(jié)構(gòu)的步驟可歸納如下：（1）首先確定基本未知量，增加阻止剛結(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)和結(jié)點(diǎn)移動(dòng)的附加約束，從而形成基本結(jié)構(gòu)；第八十一頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日（2）使基本結(jié)構(gòu)承受原荷載，并令附加約束發(fā)生與原結(jié)構(gòu)相同的位移，根據(jù)附加約束上的反力矩或反力等于零的條件，建立位移法的典型方程；（3）繪出基本結(jié)構(gòu)的單位彎矩圖圖與荷載彎矩圖MF圖，利用平衡條件求系數(shù)和自由項(xiàng)；（4）解算典型方程，求出各基本未知量；第八十二頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日（5）按疊加公式繪出最后彎矩圖，然后根據(jù)最后彎矩圖作出剪力圖并根據(jù)剪力圖繪出軸力圖。（6）校核。在位移法計(jì)算中，由于位移條件自然滿足，所以只需校核平衡條件。第八十三頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日

1.無(wú)結(jié)點(diǎn)線位移結(jié)構(gòu)的計(jì)算當(dāng)剛架的結(jié)點(diǎn)上只有角位移、無(wú)線位移時(shí)，稱為無(wú)側(cè)移剛架。對(duì)于超靜定梁和無(wú)側(cè)移剛架這類無(wú)結(jié)點(diǎn)線位移結(jié)構(gòu)用位移法求解最為方便。第八十四頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日力矩分配法的基本概念一、力矩分配法的基本參數(shù)

1、轉(zhuǎn)動(dòng)剛度SAB:使AB桿的A端（也稱近端）產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角時(shí)所需施加的力矩。ABABABAB=θ=1θ=1θ=1θ=1SAB=4iSAB=iSAB=3i轉(zhuǎn)動(dòng)剛度的大小不僅與該梁的線剛度i有關(guān)（i=EI/L），而且與遠(yuǎn)端的支承情況有關(guān)。轉(zhuǎn)動(dòng)剛度反映了桿端抵抗轉(zhuǎn)動(dòng)的能力。轉(zhuǎn)動(dòng)剛度越大，表示桿端產(chǎn)生單位轉(zhuǎn)角所需施加的力矩越大。當(dāng)θ≠1時(shí):MAB=SABθ第八十五頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日2、分配系數(shù)令：μAk=SAk∑SAAμAk稱為分配系數(shù)3、傳遞系數(shù)C表示當(dāng)桿件近端有轉(zhuǎn)角時(shí)，桿件遠(yuǎn)端彎矩與近端彎矩的比值。它的大小與遠(yuǎn)端的支承情況有關(guān)。遠(yuǎn)端固定：C=0.5遠(yuǎn)端鉸支：C=0遠(yuǎn)端定向支座：C=－1匯交于同一結(jié)點(diǎn)各桿的分配系數(shù)之和等于1，即：=μAB＋μAC＋μAD=1∑μA第八十六頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日ABCDmθAθAθA把上述問題歸納如下：當(dāng)結(jié)點(diǎn)A作用有力偶荷載m時(shí)，結(jié)點(diǎn)A上各桿近端得到按各桿的分配系數(shù)乘以m的近端彎矩，也稱分配彎矩。以上是用力矩的分配和傳遞的概念解決結(jié)點(diǎn)力偶荷載作用下的計(jì)算問題，故稱為力矩分配法。遠(yuǎn)端支承情況轉(zhuǎn)動(dòng)剛度傳遞系數(shù)固定4i0.5鉸支3i0滑動(dòng)i－1各桿的遠(yuǎn)端則有傳遞系數(shù)乘以近端彎矩（或分配彎矩）的遠(yuǎn)端彎矩，也稱傳遞彎矩。第八十七頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日單結(jié)點(diǎn)連續(xù)梁或剛架跨間有荷載作用時(shí)例：32kN20kN/mABCMBMFBAMFBCMBBABCMB＋解：1、先在B點(diǎn)加上阻止轉(zhuǎn)動(dòng)的約束力矩MB，這時(shí)B點(diǎn)相當(dāng)于固端，查表6-1求得各固端彎矩。MFBA=qL2/12=60kNmMFAB=－qL2/12=－60kNmMFBC=－3PL/16=－36kNmMFCB=0所以：MB=60－36=24kNm2、放松結(jié)點(diǎn)B，這相當(dāng)于在結(jié)點(diǎn)B上加一個(gè)外力偶（－

MB），按分配系數(shù)分配于兩桿的B端，并使兩桿的遠(yuǎn)端產(chǎn)生傳遞彎矩。具體計(jì)算如下：32kN20kN/m3m3m6mABCEIEI設(shè)i=EI/6第八十八頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日AC32kN20kN/m3m3m6mABCEIEISBA=4iSBC=3i分配系數(shù)：μBA=4/7=0.571μBC=3/7=0.429分配彎矩：MBA=0.571×(－24)=－13.7kNmμMBC=0.429×(－24)=－10.3kNmμ傳遞彎矩：MAB=0.5×(－13.7)=－6.85kNmcMCB=0c最后桿端彎矩：MAB=MFAB＋MCAB=－66.85kNmMBA=MFBA＋MμBA=46.3kNmMBC=MFBC＋MμBC=－46.3kNmMCB=0－6060－3600.5710.429－13.7－10.3－6.85046.3－66.85－46.3066.8546.39033.434824.85AM圖（kNm）第八十九頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日多結(jié)點(diǎn)的力矩分配32kN20kN/mABCD步驟：1、先鎖：加約束鎖緊全部剛結(jié)點(diǎn)，計(jì)算各桿的固端彎矩和結(jié)點(diǎn)的約束力矩。約束力矩MB=∑MfBj2、逐次放松：每次放松一個(gè)結(jié)點(diǎn)（鄰近結(jié)點(diǎn)仍鎖?。┻M(jìn)行單結(jié)點(diǎn)的力矩分配和傳遞。輪流放松各結(jié)點(diǎn)，經(jīng)多次循環(huán)后各結(jié)點(diǎn)漸趨平衡。實(shí)際計(jì)算一般進(jìn)行2~3個(gè)循環(huán)就可獲得足夠的精度。3、疊加：將各次計(jì)算所得桿端彎矩相加（代數(shù)和）就得到桿端彎矩，即：M=Mf＋∑M分配＋∑M傳遞第九十頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日1、力矩分配法的適用條件：無(wú)側(cè)移剛架和連續(xù)梁。力矩分配法要點(diǎn)2、力矩分配法的基本參數(shù)（1）、轉(zhuǎn)動(dòng)剛度SAB*固4i*鉸支3i滑i其中i=EI/L（2）、分配系數(shù)μAB

μAB=SAB∑SAA（3）、傳遞系數(shù)CAB*固定CAB=0.5*鉸支CAB=0第九十一頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日重點(diǎn)：掌握三跨連續(xù)梁兩節(jié)點(diǎn)的分配如：6m30kNABCD4kN/m8m3m3mA40kN10kN/mBCD4m4m8m8mi=1i=1i=1EI3EI2EI注意：各段的線剛度第九十二頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日題型5、用力矩分配法繪制圖示連續(xù)梁的彎矩圖。EI為常數(shù)。

6m30kNABCD4kN/m8m3m3m注意：查表時(shí)對(duì)應(yīng)符號(hào)第九十三頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日APBABPAB注意：BA第九十四頁(yè)，共一百頁(yè)，2022年，8月28日1、計(jì)算各桿的固端彎矩MfMfAB=0=1/8×4×62=18MfBC=-1/8PL=-1/8×30×6=-22.5