第三講函數(shù)與不等式問題的解題技巧【命題趨向】全國高考數(shù)學(xué)科《考試大綱》為走向高考的莘莘學(xué)子指明了復(fù)習(xí)備考的方向.考綱是考試法典，是命題的依據(jù),是備考的總綱．科學(xué)備考的首要任務(wù)，就是要認真學(xué)習(xí)、研究考綱.對照2023年的考綱和高考函數(shù)試題有這樣幾個特點:1.通過選擇題和填空題,全面考察函數(shù)的基本概念,性質(zhì)和圖象．2.在解答題的考察中，與函數(shù)有關(guān)的試題經(jīng)常是以綜合題的形式出現(xiàn)．3．從數(shù)學(xué)具有高度抽象性的特點出發(fā),沒有忽視對抽象函數(shù)的考察.4.一些省市對函數(shù)應(yīng)用題的考察是與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用結(jié)合起來考察的．5．涌現(xiàn)了一些函數(shù)新題型．６.函數(shù)與方程的思想的作用不僅涉及與函數(shù)有關(guān)的試題，并且對于數(shù)列,不等式,解析幾何等也需要用函數(shù)與方程思想作指導(dǎo)．函數(shù)類試題在試題中所占分值一般為22－--３5分．而202３年的不等式試題則有這樣幾個特點:1．在選擇題中會繼續(xù)考察比較大小，也許與函數(shù)、方程、三角等知識結(jié)合出題．2.在選擇題與填空題中注意不等式的解法建立不等式求參數(shù)的取值范圍，以及求最大值和最小值應(yīng)用題.３.解題中注意不等式與函數(shù)、方程、數(shù)列、應(yīng)用題、解幾的綜合、突出滲透數(shù)學(xué)思想和方法．分值在27－－-３２分之間,一般為2個選擇題，１個填空題,1個解答題.可以預(yù)測在202３年的高考試題中,會有一些簡樸求函數(shù)的反函數(shù),與導(dǎo)數(shù)結(jié)合的函數(shù)單調(diào)性－函數(shù)極值-函數(shù)最值問題;選擇題與填空題中會出現(xiàn)一些與函數(shù)、方程、三角等知識結(jié)合的不等式問題,在解答題中會出現(xiàn)一些不等式的解法以及建立不等式求參數(shù)的取值范圍,和求最大值和最小值的應(yīng)用題特別是不等式與函數(shù)、方程、數(shù)列、應(yīng)用題、解幾的綜合題,這些題目會突出滲透數(shù)學(xué)思想和方法，值得注意?！究键c透視】1.了解映射的概念，理解函數(shù)的概念.2.了解函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的概念，掌握判斷一些簡樸函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的方法，并能運用函數(shù)的性質(zhì)簡化函數(shù)圖象的繪制過程．３．了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖象間的關(guān)系,會求一些簡樸函數(shù)的反函數(shù).4.理解分數(shù)指數(shù)的概念，掌握有理指數(shù)冪的運算性質(zhì),掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)．5.理解對數(shù)的概念，掌握對數(shù)的運算性質(zhì)，掌握對數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).6.可以運用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡樸的實際問題．7．在純熟掌握一元一次不等式(組）、一元二次不等式的解法基礎(chǔ)上，掌握其它的一些簡樸不等式的解法．通過不等式解法的復(fù)習(xí),提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力以及計算能力.?８.掌握解不等式的基本思緒,即將分式不等式、絕對值不等式等不等式，化歸為整式不等式(組),會用分類、換元、數(shù)形結(jié)合的方法解不等式． 9．通過復(fù)習(xí)不等式的性質(zhì)及常用的證明方法(比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等)，使學(xué)生較靈活的運用常規(guī)方法(即通性通法)證明不等式的有關(guān)問題． １0.通過證明不等式的過程，培養(yǎng)自覺運用數(shù)形結(jié)合、函數(shù)等基本數(shù)學(xué)思想方法證明不等式的能力． 11．能較靈活的應(yīng)用不等式的基本知識、基本方法，解決有關(guān)不等式的問題. 1２．通過不等式的基本知識、基本方法在代數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何等各部分知識中的應(yīng)用，深化數(shù)學(xué)知識間的融匯貫通,從而提高分析問題解決問題的能力．在應(yīng)用不等式的基本知識、方法、思想解決問題的過程中，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)及創(chuàng)新意識.【例題解析】1.函數(shù)的定義域及其求法函數(shù)的定義域及其求法是近幾年高考考察的重點內(nèi)容之一.這里重要幫助考生靈活掌握求定義域的各種方法,并會應(yīng)用用函數(shù)的定義域解決有關(guān)問題．例1.(2０23年廣東卷理）已知函數(shù)的定義域為Ｍ，g(x)=的定義域為N，則M∩Ｎ＝（A)(B）(C）（D)命題意圖:本題重要考察具有分式、無理式和對數(shù)的函數(shù)的定義域的求法.解：函數(shù)的定義域M=g（x)=的定義域N=∴M∩N＝．故選C例2.(20２3年湖南卷）函數(shù)的定義域是(）（Ａ)(3,+∞)（B）［3，+∞)(C）(４,+∞)（Ｄ)[4,+∞)命題意圖：本題重要考察具有無理式和對數(shù)的函數(shù)的定義域的求法.解：由，故選Ｄ.2.求函數(shù)的反函數(shù)求函數(shù)的反函數(shù),有助與培養(yǎng)人的逆向思維能力和深化對函數(shù)的定義域、值域，以及函數(shù)概念的理解.例3.（202３年安徽卷)函數(shù)的反函數(shù)是(）(A）（Ｂ)（C)(D）命題意圖：本題重要考察有關(guān)分段函數(shù)的反函數(shù)的求法.故選C.例4．（2０23年湖北卷理）已知函數(shù)的反函數(shù)是，則；．命題意圖:本題重要考察反函數(shù)的求法及待定系數(shù)法等知識．解：與比較得6,故填３.復(fù)合函數(shù)問題復(fù)合函數(shù)問題，是新課程、新高考的重點．此類題目往往分為兩類:一是結(jié)合函數(shù)解析式的求法來求復(fù)合函數(shù)的值.二是應(yīng)用已知函數(shù)定義域求復(fù)合函數(shù)的定義域．例5．(2023年北京卷文）對于函數(shù)①，②,③,判斷如下兩個命題的真假：命題甲：是偶函數(shù);命題乙：在上是減函數(shù),在上是增函數(shù)；能使命題甲、乙均為真的所有函數(shù)的序號是()A.①② ?Ｂ.①③ C.②?? D．③命題意圖：本題重要考察運用復(fù)合函數(shù)和函數(shù)單調(diào)性等知識解決問題的能力.解:是偶函數(shù)，又函數(shù)開口向上且在上是減函數(shù),在上是增函數(shù).故能使命題甲、乙均為真的函數(shù)僅有.故選C例6．(２０２３年安徽卷）函數(shù)對于任意實數(shù)滿足條件，若則___＿＿_____．命題意圖：本題重要考察代數(shù)式恒等變形和求復(fù)合函數(shù)的值的能力.解：由，得,所以，則.4.函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和周期性是高考的重點內(nèi)容之一,考察內(nèi)容靈活多樣.這里重要幫助讀者深刻理解奇偶性、單調(diào)性和周期性的定義,掌握鑒定方法,對的結(jié)識單調(diào)函數(shù)與奇偶函數(shù)的圖象.例7.(２02３年全國卷）已知函數(shù)，若為奇函數(shù)，則_＿＿_＿___.命題意圖:本題重要考察函數(shù)的解析式的求解以及函數(shù)的奇偶性應(yīng)用．常規(guī)解法：由f（x)為奇函數(shù),所以f(x)+f(-x)=0，即應(yīng)填.巧妙解法：由于f(x)為奇函數(shù)，所以ｆ(0）＝0,即應(yīng)填.點評：巧妙解法巧在運用了f(x）為奇函數(shù),所以f（0）=0，這一重要結(jié)論.例８．（２０2３年全國卷理Ｉ),是定義在上的函數(shù)，，則“,均為偶函數(shù)”是“為偶函數(shù)”的(）A.充要條件?? ??B.充足而不必要的條件Ｃ．必要而不充足的條件? D.既不充足也不必要的條件命題意圖:本題重要考察兩個函數(shù)的加法代數(shù)運算后的單調(diào)性以及充足條件和必要條件的相關(guān)知識.解先證充足性：由于，均為偶函數(shù)，所以，有,所以為偶函數(shù).反過來,若為偶函數(shù),不一定是偶函數(shù).如,,故選B.方法二:可以選取兩個特殊函數(shù)進行驗證.故選Ｂ點評：對充要條件的論證,一定既要證充足性,又要證必要性,二著缺一不可.同時,對于抽象函數(shù)，有時候可以選取特殊函數(shù)進行驗證.5.函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考察的重點內(nèi)容之一,它是研究和記憶函數(shù)性質(zhì)的直觀工具，運用它的直觀性解題，可以起到化繁為簡、化難為易的作用．因此，讀者要掌握繪制函數(shù)圖象的一般方法,掌握函數(shù)圖象變化的一般規(guī)律,能運用函數(shù)的圖象研究函數(shù)的性質(zhì).此類題目還很好的考察了數(shù)形結(jié)合的解題思想．例９．(2023年山東卷)函數(shù)ｙ=１+ax(0<a＜1）的反函數(shù)的圖象大體是()（A）(Ｂ）（C)（D）命題意圖:本題重要考核對數(shù)函數(shù)的圖象，互為反函數(shù)圖象間關(guān)系及對數(shù)的運算性質(zhì)等知識.解：∵y＝1+aｘ(0<a＜１),∴.此函數(shù)圖象是由函數(shù)向右平移一個單位得到的．故選A.6.函數(shù)綜合問題函數(shù)綜合問題是歷年高考的熱點和重點內(nèi)容之一，一般難度較大,考察內(nèi)容和形式靈活多樣.這里重要幫助考生在掌握有關(guān)函數(shù)知識的基礎(chǔ)上進一步深化綜合運用知識的能力,掌握基本解題技巧和方法，并培養(yǎng)讀者的思維和創(chuàng)新能力．例10．（２023年浙江卷文)已知（Ⅰ）若k=2，求方程的解;（Ⅱ）若關(guān)于x的方程在(0，2）上有兩個解x1,x2,求k的取值范圍,并證明命題意圖：本題重要考察函數(shù)的基本性質(zhì)、方程與函數(shù)的關(guān)系等基礎(chǔ)知識,以及綜合運用所學(xué)知識、分類討論等思想方法分析和解決問題的能力。滿分１5分。（I)解:當分兩種情況討論：①當，方程化為②當，方程化為１+2x=0,解得,由①②得,（II）解：不妨設(shè),由于所以是單調(diào)遞函數(shù)，故上至多一個解,方法一：方法二：由于;?①由于，?②由①②消去ｋ，得7.以集合為背景的不等式以集合為背景的不等式，以考察不等式的解法和集合的有關(guān)概念與運算為目的,解題時應(yīng)注意將不等式的解法與集合的有關(guān)概念和運算相結(jié)合,準確解題.例1１.（202３年北京卷文)記關(guān)于的不等式的解集為，不等式的解集為．(=1＼*ROMANI）若,求;（=２\*ＲＯMANII）若，求正數(shù)的取值范圍.命題意圖：本題重要考察集合的有關(guān)概念和運算及分式不等式和含絕對值的不等式的解法．解：(=1\*ROMAＮI)由,得.(=2\*ROＭAＮＩI）．由,得,又，所以,即的取值范圍是.8.以線性規(guī)劃形式出現(xiàn)的不等式以線性規(guī)劃形式出現(xiàn)的不等式,重在考察數(shù)形結(jié)合的解題能力.這種題目解題時要注意根據(jù)已知不等式組作出圖形,分析求解.例12.(2023年遼寧卷）雙曲線的兩條漸近線與直線圍成一個三角形區(qū)域,表達該區(qū)域的不等式組是（A)?(Ｂ)?(C） （D）命題意圖:本題重要考察運用雙曲線的圖象性質(zhì)和線性規(guī)劃的知識,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合能力.解：作圖可知三角形區(qū)域在第一象限.即滿足故選(A）9..以簡易邏輯為背景的不等式以簡易邏輯為背景的不等式,解題時往往以不等式為工具,來擬定命題,用簡易邏輯知識解決問題．例１3．（２023年山東卷）設(shè),則是的(Ａ）充足不必要條件 ? (Ｂ)必要不充足條件(C）充要條件?????(Ｄ)既不充足也不必要條件命題意圖:本題重要考察運用不等式和簡易邏輯知識解決問題的能力.解:由題設(shè)可得:故選(A)10..與函數(shù)知識結(jié)合的不等式與函數(shù)知識結(jié)合的不等式，解題時往往以不等式為工具,結(jié)合函數(shù)知識,通過推理來解決問題．例14.（2023年山東卷)設(shè)（Ａ)0 ?（B)1???（C）2????(D)3命題意圖:本題重要考察運用不等式和函數(shù)知識解決問題的能力．解：故選(C)12.．與平面向量知識結(jié)合的不等式與平面向量知識結(jié)合的不等式，解題時往往以不等式為工具,結(jié)合平面向量知識和坐標運算,通過和坐標運算和推理來解決問題.例1５.（20２３年遼寧卷)設(shè),,,點是線段上的一個動點,，若,則實數(shù)的取值范圍是(A） ? ? ?（Ｂ）（C）? ? (Ｄ）命題意圖：本題重要考察運用不等式和平面向量知識解決問題的能力.解:設(shè)P（x,ｙ)，則由得，又點是線段上的一個動點,故選（Ｂ)13..與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)知識結(jié)合的不等式.與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)知識結(jié)合的不等式,解題時往往以不等式和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為工具,結(jié)合函數(shù)知識，通過推理來解決問題.例１６.（20２３年江西卷)已知函數(shù)在與時都取得極值.求、的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;若對,不等式恒成立,求的取值范圍.命題意圖：本小題考察函數(shù)的導(dǎo)數(shù),函數(shù)，函數(shù)極值的鑒定,給定區(qū)間上二次函數(shù)的最值等基礎(chǔ)知識的綜合運用,考察就數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想分析問題,解決問題的能力．解:極大值極小值所以函數(shù)的遞增區(qū)間為與;遞減區(qū)間為．14..與數(shù)列知識結(jié)合的不等式與數(shù)列知識結(jié)合的不等式,解題時往往以不等式和數(shù)列知識結(jié)合為工具,結(jié)合函數(shù)知識,通過計算和推理來解決問題.例17.(2０２３年湖北卷）設(shè)數(shù)列的前項和為，點均在函數(shù)的圖像上.（Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;（Ⅱ）設(shè),是數(shù)列的前項和,求使得對所有都成立的最小正整數(shù).命題意圖：本小題重要是考察等差數(shù)列、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識和基本的運算技能,考察分析問題能力和推理能力.解：（Ｉ）依題意得,即.當n≥２時,;當n=1時，×-2×1-１-6×1-5.所以．（II）由(Ｉ）得，故=.因此，使得﹤成立的ｍ必須滿足≤，即ｍ≥１0,故滿足規(guī)定的最小整數(shù)m為10．15.．不等式的實際應(yīng)用不等式的實際應(yīng)用題，解題時往往以不等式為工具,結(jié)合函數(shù)知識和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，通過建立不等式模型,運用計算和推理來解決問題．例18．(2023年重慶卷文)(本小題滿分12分）用長為18m的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，規(guī)定長方體的長與寬之比為2：1,問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？命題意圖:本小題重要考察運用函數(shù)的最大值和最小值的基礎(chǔ)知識,以及運用不等式知識解決實際問題的能力.解:設(shè)長方體的寬為x（m),則長為，高為故長方體的體積為從而令(舍去）或x=1，因此x=１．當,故在x=１處取得極大值，并且這個極大值就是的最大值.從而最大體積此時長方體的長為2m,高為１.５ｍ答:當長體的長為2m，寬為1m,高為1.5ｍ時,體積最大，最大體積為3m3．【專題訓(xùn)練與高考預(yù)測】一.選擇題1.y=的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A.（-∞，-３)B.(－∞,-1）C.[１,＋∞]D.[－３,－1］2.下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，1)上是增函數(shù)的是(）Ａ．y=-Ｂ.y=C.y=3-2xD．ｙ=-x2＋2x+13.設(shè)f(x）是定義在Ａ上的減函數(shù)，且f(x)>0，則下列函數(shù):y＝３-2f(x),y=1+,y=ｆ2（x),ｙ=1-，其中增函數(shù)的個數(shù)為()A.１ B．2 Ｃ．3 D.４4．關(guān)于x的方程9x+(a+4）·3ｘ+4=0有解,則實數(shù)ａ的取值范圍是（)A.（-∞，－8］∪[0，+∞)B、（－∞，-4）［-8，4）D、（-∞,-8]5．若ａ>0,b>0，且2ａ＋ｂ=１，則S＝2-４ａ２-b2的最大值是（)A．?B、C、?D、６．已知不等式m2+(cos2θ－5）m+4sｉn2θ≥0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是()

A.0≤m≤4B.1≤m≤4Ｃ．m≥4或x≤０Ｄ.m≥1或m≤0二．填空題7.設(shè)ｆ（ｘ)=ｘ2-１(x≤-2）,則ｆ-１(４）＝＿_＿＿_＿____．8.已知f(x)=3x-2,則f－1(3x-2)=_____＿____.9.已知f(x)是奇函數(shù)，當x∈(０，１）時,ｆ（ｘ)＝lg，那么當ｘ∈(-１,0）時，f（x)的表達式是_＿___.10.記Ｓ=，則S與1的大小關(guān)系是．1１.當時，函數(shù)的最小值是__＿_＿__＿＿.12.實數(shù)滿足,則的取值范圍是___＿_＿_＿＿＿.三．解答題13.設(shè)函數(shù)f(ｘ）=ｌｏg2(x+1)，當點(x，y）在y=f（x）的反函數(shù)圖象上運動時，相應(yīng)的點()在y=g(x)的圖象上．(1)求ｇ（x）的表達式;（2)當g（x）—ｆ—１(x)０時,求u(x）=ｇ(ｘ）—ｆ—1（ｘ)的最小值．14.在某產(chǎn)品的制造過程中，次品率p依賴于日產(chǎn)量x，已知其中x為正整數(shù),又該廠每生產(chǎn)一正品可贏利A元,但每生產(chǎn)出一件次品就要損失元.(1)將該廠的日贏利額Ｔ（元）表達為日產(chǎn)量x(個）的函