PAGEPAGE5第二十一章一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.探索一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.2.不解方程利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決問題.重點：探索一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系.難點：利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系解決問題.自主學(xué)習(xí)自主學(xué)習(xí)一、知識鏈接1.一元二次方程的求根公式是什么？2.如何用判別式b2－4ac來判斷一元二次方程根的情況？課堂探究課堂探究二、要點探究探究點1：探索一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系算一算解下列方程并完成填空.(1)x2+3x－4=0；(2)x2－5x+6=0；(3)2x2+3x+1=0.想一想方程的兩根x1，x2與系數(shù)a，b，c有什么關(guān)系？一元二次方程兩根關(guān)系x1x2x2+3x－4=0x2－5x+6=02x2+3x+1=0猜一猜1.若一元二次方程的兩根為x1，x2，則有x－x1=0，且x－x2=0，那么方程(x－x1)(x－x2)=0(x1，x2為已知數(shù))的兩根是什么？將方程化為x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2與p，q之間的關(guān)系嗎？2.通過上表猜想，如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根分別是x1、x2，那么，你可以發(fā)現(xiàn)什么結(jié)論？要點歸納：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系(韋達定理)如果ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根為x1、x2，那么，.(前提條件是b2－4ac≥0)探究點2：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用典例精析例1(教材P16例4)利用根與系數(shù)的關(guān)系，求下列方程的兩根之和、兩根之積.(1)x2–6x–15=0；(2)3x2+7x－9=0；(3)5x–1=4x2.方法總結(jié)：在運用韋達定理求兩根之和、兩根之積時，先把方程化為一般式，再分別代入a、b、c的值即可.例2已知方程5x2+kx－6=0的一個根是2，求它的另一個根及k的值.變式題已知方程3x2－18x+m=0的一個根是1，求它的另一個根及m的值.例3不解方程，求方程2x2+3x－1=0的兩根的平方和、倒數(shù)和.練一練設(shè)x1，x2為方程x2－4x+1=0的兩個根，則：(1)，(2)，(3)，(4).方法總結(jié)：求與方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值時，一般先將所求的代數(shù)式化成含兩根之和，兩根之積的形式，再整體代入.例4設(shè)x1，x2是方程x2－2(k－1)x+k2=0的兩個實數(shù)根，且4，求k的值.方法總結(jié)：根據(jù)一元二次方程兩實數(shù)根滿足的條件，求待定字母的值時，務(wù)必要注意方程有兩實數(shù)根的條件，即所求的字母應(yīng)該滿足△≥0.三、課堂小結(jié)根與系數(shù)的關(guān)系的內(nèi)容如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個根為x1、x2，那么，.根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用當(dāng)堂檢測當(dāng)堂檢測1已知一元二次方程x2+px+q=0的兩根分別為－2和1，則p=，q=.2.如果－1是方程2x2－x+m=0的一個根，則另一個根是，m=.3.已知方程3x2－19x+m=0的一個根是1，求它的另一個根及m的值.4.已知x1，x2是方程2x2+2kx+k－1=0的兩個根，且(x1+1)(x2+1)=4；(1)求k的值；(2)求(x1－x2)2的值.5.設(shè)x1，x2是方程3x2+4x－3=0的兩個根.利用根系數(shù)之間的關(guān)系，求下列各式的值.(1)(x1+1)(x2+1)；(2)拓展提升6.當(dāng)k為何值時，方程2x2－kx+1=0的兩根差為1.7.已知關(guān)于x的一元二次方程mx2-2mx+m-2=0(1)若方程有實數(shù)根,求實數(shù)m的取值范圍.(2)若方程兩根x1，x2滿足|x1-x2|=1求m的值.參考答案自主學(xué)習(xí)知識鏈接1.當(dāng)≥0時，方程ax2+bx+c=0(a≠0)的實數(shù)根可寫為.2.當(dāng)Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當(dāng)Δ＜0時，方程無實數(shù)根.課堂探究二、要點探究探究點1：探索一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系想一想一元二次方程兩根關(guān)系x1x2x2+3x－4=0-41x1+x2=-3，x1·x2=-4x2－5x+6=032x1+x2=5，x1·x2=62x2+3x+1=0-1x1+x2=，x1·x2=猜一猜1.方程(x－x1)(x－x2)=0(x1，x2為已知數(shù))的兩根是x=x1或x=x2.(x－x1)(x－x2)=x2-(x1+x2)x+x1x2=0,x1+x2=-p，x1x2=q.2.x1+x2=，x1x2=.探究點2：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系的應(yīng)用典例精析例1解：（1）這里a=1,b=–6,c=–15.Δ=b2-4ac=(–6)2–4×1×(–15)=96>0.∴方程有兩個實數(shù)根.設(shè)方程的兩個實數(shù)根是x1，x2，那么x1+x2=–(–6)=6，x1x2=–15.（2）這里a=3,b=7,c=-9.Δ=b2-4ac=72–4×3×(-9)=157>0，∴方程有兩個實數(shù)根.設(shè)方程的兩個實數(shù)根是x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=.（3）方程可化為4x2–5x+1=0，這里a=4，b=–5，c=1.Δ=b2-4ac=(–5)2–4×4×1=9>0.∴方程有兩個實數(shù)根.設(shè)方程的兩個實數(shù)根是x1，x2，那么x1+x2=，x1x2=例2解：設(shè)方程的兩個根分別是x1，x2，其中x1=2.所以x1x2=2x2=即x2=由于x1+x2=2+=得k=－7.答：方程的另一個根是k=－7.變式題解：設(shè)方程的兩個根分別是x1，x2，，其中x1=1.所以x1+x2=1+x2=6，即x2=5.由于x1x2=1×5=得m=15.答：方程的另一個根是5，m=15.例3解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可知：∵∴（2）練一練（1）4（2）1（3）14（4）12例4解：由方程有兩個實數(shù)根，得Δ=4（k-1）2-4k2≥0，即-8k+4≥0.由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=2(k-1),x1x2=k2.∴=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4.由4，得2k2-8k+4=4，解得k1=0，k2=4.經(jīng)檢驗，k2=4不合題意，舍去.所以k=0.當(dāng)堂檢測1.1-22.-33.解：將x=1代入方程中3-19+m=0.解得m=16，設(shè)另一個根為x1，則4.解：(1)根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=解得k=-7；(2)因為k=-7,所以則解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1=