教學目的：掌握利用根軌跡分析系統(tǒng)的性能教學重點：根軌跡的繪制和利用根軌跡分析系統(tǒng)性能教學難點：根軌跡的繪制本章授課學時：8第4章根軌跡法4.1根軌跡法的基本概念4.2根軌跡的繪制法則4.3用根軌跡法分析系統(tǒng)的動態(tài)特性仿真實現(xiàn)????本章研究內容第4章根軌跡法返回本章小節(jié)?第4章根軌跡法根軌跡概念:系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中某一參數(shù)從零變到無窮大時，閉環(huán)系統(tǒng)特征根在s平面上變化的軌跡。穩(wěn)態(tài)性能暫態(tài)性能閉環(huán)特征根(極點)的位置穩(wěn)定性閉環(huán)系統(tǒng)的零點、極點的位置輸入信號根軌跡法：利用根軌跡分析系統(tǒng)性能的方法。（圖解法）

已知:一單位反饋二階系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)傳遞函數(shù)為：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為：閉環(huán)系統(tǒng)特征根（即閉環(huán)極點）為：，研究開環(huán)放大系數(shù)K與閉環(huán)特征根s1、s2之間的關系Xr(s)Xc(s)

第4章根軌跡法Ks1s200-20.5-1-1-1+j1-1-j12∞-1+j∞-1-j∞▼▼▼▼▼K=1K=1K=2K=2K=0K=0K=0.5-1j-20j1-j1第4章根軌跡法開環(huán)放大系數(shù)K改變改變閉環(huán)特征根的位置改變系統(tǒng)性能閉環(huán)反饋系統(tǒng)的一般結構：開環(huán)傳遞函數(shù):閉環(huán)系統(tǒng)特征方程為：Xr(s)Xc(s)-zi——開環(huán)有限零點-pj——開環(huán)極點Kg——根軌跡放大系數(shù)考察閉環(huán)特征方程與開環(huán)傳遞函數(shù)的關系根軌跡的作用：

1、根據(jù)Kg確定閉環(huán)特征根的位置，判定系統(tǒng)穩(wěn)定性；

2、再考慮系統(tǒng)的閉環(huán)零點，確定系統(tǒng)的暫態(tài)性能；

3、根據(jù)對系統(tǒng)規(guī)定的性能指標的要求，合理安排零、極點的位置，設計或校正控制系統(tǒng)。繪制根軌跡時，實質上就是當某一參數(shù)（如Kg）變化時，尋求閉環(huán)特征方程式解s的變化軌跡。第4章根軌跡法幅角條件幅值條件本章返回4.1根軌跡法的基本概念閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為：令s=+j復數(shù)本節(jié)返回本章返回4.1根軌跡法的基本概念（=0，1，2，…）式中i——開環(huán)有限零點-zi到s的矢量輻角

j

——開環(huán)極點-pj到s的矢量輻角本節(jié)返回本章返回注意：測量幅角時，規(guī)定以逆時針方向為正

幅值：幅值條件：幅角：幅角條件：j1232sL1

L3

L2

l2

-p3-p2-p1-z1l1

1▼滿足幅值條件和幅角條件的s值，就是閉環(huán)特征方程的根，這些根所描述的曲線就是根軌跡幅值條件求Kg例4-1已知：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：求：閉環(huán)特征根s=s0時的放大系數(shù)Kk0。本節(jié)返回本章返回4.1根軌跡法的基本概念Kk——開環(huán)放大系數(shù)；-z1=-1/1——開環(huán)有限零點；-p0=0，-p1=-1/T1

-p2=-1/T2

其中——根軌跡放大系數(shù)；兩者區(qū)別兩者區(qū)別解：

開環(huán)極點本節(jié)返回本章返回4.1根軌跡法的基本概念1132L3

L1

L2

l1

-p2-p1-p0-z1j▼s0幅角條件：1-(1+2+3)=180(1+2)幅值條件：由于，所以開環(huán)放大系數(shù)為：同時滿足本節(jié)返回本章返回s點必滿足幅值條件和幅角條件：4.1根軌跡法的基本概念自動控制系統(tǒng)的根軌跡繪制根軌跡的一般法則4.2根軌跡的繪制方法零度根軌跡廣義根軌跡本章返回4.2.1繪制根軌跡的一般法則繪制根軌跡應確定以下幾個方面的內容：(9項)

起點、終點、根軌跡數(shù)、實軸上的根軌跡、分離點和匯合定、根軌跡的漸近線、根軌跡的出射角和入射角、根軌跡和虛軸的交點、根軌跡的走向。本節(jié)返回本章返回4.2根軌跡的繪制方法注意：實際繪制根軌跡時應根據(jù)具體情況有選擇性地考慮以上9項內容。當

Kg=0時，有根軌跡的始點——系統(tǒng)的開環(huán)極點閉環(huán)特征方程：——開環(huán)極點本節(jié)返回本章返回1、起點4.2根軌跡的繪制方法（Kg=0）系統(tǒng)的開環(huán)極點數(shù)——根軌跡數(shù)2、終點當

Kg=∞時，有根軌跡的終點——系統(tǒng)的開環(huán)有限零點——開環(huán)零點4.2根軌跡的繪制方法（Kg=∞）有m條根軌跡終止于開環(huán)有限零點；另外(n-m)條根軌跡終止于無限遠處(無限零點)3、根軌跡數(shù)和它的對稱性4、實軸上的根軌跡設Nz——實軸上根軌跡右側開環(huán)有限零點的數(shù)目Np——實軸上根軌跡右側開環(huán)極點的數(shù)目

實軸上某段有根軌跡的條件：

右側，開環(huán)零、極點數(shù)目的總和為奇數(shù)根軌跡數(shù)開環(huán)極點數(shù)n根軌跡對稱于實軸本節(jié)返回本章返回4.2根軌跡的繪制方法Nz+Np=1+2(=1,2,3…)ABCNz+Np=3Nz+Np=5Nz+Np=1本節(jié)返回本章返回4.2根軌跡的繪制方法j5、分離點和會合點分離點會合點

b

a

s2-z1-p1

s1-p2▼▼分離點、會合點的位置：注意：分離點、會合點一定在實軸上式中，Kg>0,z1>p1>p2>0，求分離點和會合點。例4-2已知開環(huán)傳遞函數(shù)為本節(jié)返回本章返回解：N(s)=s+z1，D(s)=(s+p1)(s+p2)-z1-p1–p2j分離點會合點得：本節(jié)返回本章返回4.2根軌跡的繪制方法▼s1

▼s26、根軌跡的漸近線漸近線的傾角漸近線的交點⑴漸近線的傾角設在無窮遠處有特征根sk，則s平面上所有開環(huán)有限零點-zi和極點-pj到sk的矢量輻角都相等，即：i=j=

代入幅角條件，得：漸近線的傾角為：(=0,1,2,…)漸近線包括兩方面內容本節(jié)返回本章返回——有獨立的(n-m)條⑵漸近線的交點設無限遠處有特征根sk，則s平面上所有開環(huán)有限零點-zi和極點-pj到sk的矢量長度都相等。可認為對于sk來說，所有開環(huán)零點和極點都匯集在一起，設位置為-k此即為漸近線交點。求此交點坐標-k：由幅值條件：本節(jié)返回本章返回4.2根軌跡的繪制方法令上式中sn-m-1項的系數(shù)相等，即：漸近線交點為：當s=sk=∞，則zi=pj=k，上式化簡為：本節(jié)返回本章返回試計算漸近線傾角和交點，即確定漸近線的位置。解：漸近線交點為：180о

60о

-60о

j漸近線-k=-5/3

漸近線漸近線例4-3設開環(huán)傳遞函數(shù)為：本節(jié)返回漸近線傾角為：本章返回m=0，n=3，故有3條漸近線入射角：i——除被測終點外，其他開環(huán)有限零點到該點的矢量輻角j——開環(huán)極點到被測終點的矢量輻角i——開環(huán)有限零點到被測起點的矢量輻角；j

——除被測起點外，其他所有開環(huán)極點到該點的矢量輻角出射角：7、根軌跡的出射角和入射角

復數(shù)極點——根軌跡的出射角復數(shù)零點——根軌跡的入射角p3=-1-j11231求極點p4處的出射角：本節(jié)返回例4-4已知開環(huán)傳遞函數(shù)為：試確定根軌跡的出射角。解：該系統(tǒng)的開環(huán)零點和開環(huán)極點分別為：-z=-2，-p1=0，-p2=-3，-p3,4=-1j對于極點p3和p4有出射角。本章返回-p2=-3-z=-2-p1=0p4=-1+j1scp3處的出射角為：8、根軌跡和虛軸的交點

應確定根軌跡與虛軸例4-5已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為：試確定根軌跡與虛軸的交點，并計算臨界放大系數(shù)Kl。交點坐標值臨界放大系數(shù)Kl

值。系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：F(s)=1+Wk(s)=0F(s)=s3+3s2+2s+2Kk=0

方法一：當根軌跡與虛軸相交時，令s=j，Kk=KlF(j)=2Kl-32+j(2-3)=0

即：2Kl-32=0

2-3=0根軌跡與虛軸的交點坐標為：臨界放大系數(shù)為：Kl=3解得：=0，解：Kg方法二：利用勞斯判據(jù)計算交點和臨界放大系數(shù)臨界放大系數(shù)Kl：

令s1行為零，即2-2Kk/3=0，得：Kk=Kl=3根軌跡與虛軸的交點：由s2行的輔助方程求得，即令3s2+2Kk=0，得：本節(jié)返回由特征方程：F(s)=s3+3s2+2s+2Kk=0

勞斯行列表：s31

2s232Kks1

2-2Kk/30s02Kk

本章返回9、根軌跡的走向若特征方程的階次n-m≥2j本節(jié)返回-2-10本章返回4.2根軌跡的繪制方法一些根軌跡右行時

另一些根軌跡必左行特征方程：改寫為：本節(jié)返回本章返回——各特征根之積4.2根軌跡的繪制方法閉環(huán)特征根與特征方程系數(shù)的關系：——各特征根之和線性系統(tǒng)特征根之和等于特征方程中sn-1項系數(shù)特征根之積等于特征方程中常數(shù)項繪制根軌跡的法則：1、起點(Kg=0)

開環(huán)傳遞函數(shù)Wk(s)的極點即為根軌跡的起點。2、終點(Kg=∞)開環(huán)傳遞函數(shù)Wk(s)的零點(包括無限零點)即為根軌跡的終點。3、根軌跡數(shù)目及對稱性

根軌跡數(shù)目與開環(huán)極點數(shù)n相同;根軌跡對稱于實軸.4、實軸上的根軌跡

實軸上根軌跡右側的零、極點數(shù)目之和應為奇數(shù)本節(jié)返回本章返回5、分離點與會合點注意：求出s=-d后，應把它代入特征方程計算Kd，只有Kd為正值，s=-d才是分離點或會合點。漸近線的交點：6、根軌跡的漸近線(有n-m條漸近線)漸近線的傾角：本節(jié)返回本章返回4.2根軌跡的繪制方法7、根軌跡的出射角和入射角。出射角：入射角：8、根軌跡與虛軸的交點。（按勞斯判據(jù)計算）9、根軌跡走向

一些根軌跡向右行時，另一些根軌跡必向左行復數(shù)極點復數(shù)零點本節(jié)返回本章返回4.2根軌跡的繪制方法4.2.2自動控制系統(tǒng)的根軌跡1、二階系統(tǒng)Xr(s)Xc(s)解：開環(huán)傳遞函數(shù)為：其中本節(jié)返回本章返回試繪制根軌跡。4.2根軌跡的繪制方法繪制根軌跡：⑴起點：-p0=0,-p1=-1/T⑵終點：兩個開環(huán)無限零點⑶根軌跡數(shù)：有兩條根軌跡⑷實軸上根軌跡：在0~-1/T之間必有根軌跡⑸分離點:令本節(jié)返回本章返回則：4.2根軌跡的繪制方法漸近線的交點：漸近線j(=0)本節(jié)返回⑹漸近線：有n-m=2條獨立的漸近線。

-1/T-1/2T0

漸近線的傾角：本章返回Kg=K⑴起點：起始于兩個開環(huán)極點-p0=0,-p1=-0.2。⑵終點：終止于一個開環(huán)有限零點-z1=-a和一個無限零點⑶實軸上根軌跡：在0~-0.2之間和-a~-∞之間有根軌跡2、開環(huán)具有零點的二階系統(tǒng)

Xr(s)Xc(s)a>0.24.2根軌跡的繪制方法分離點和會合點：⑷根軌跡上的分離點和會合點：⑸復平面上根軌跡本節(jié)返回本章返回4.2根軌跡的繪制方法設s=+j，代入上式:復平面上各點均滿足幅角條件：利用反正切公式:兩邊取正切整理得:圓:圓心為（-a,0)，半徑為本節(jié)返回本章返回

s1-a-0.20

s2會合點分離點開環(huán)系統(tǒng)中加入一個零點隨著Kg的增大，根軌跡向左偏移遠離虛軸，使系統(tǒng)動態(tài)性能改善本節(jié)返回本章返回4.2根軌跡的繪制方法其中Kg=4Kk

⑴起點：三個開環(huán)極點-p0=0,-p1=-1，-p2=-4⑵終點：終止于三個開環(huán)無限零點，無限遠⑶根軌跡數(shù)：三條本節(jié)返回3、三階系統(tǒng)Xr(s)Xc(s)本章返回⑷實軸上根軌跡：在0-1和-4

-∞之間有根軌跡。⑸分離點：s=-0.467，s=-2.87（省略）⑹漸近線：有n-m=3條漸近線。漸近線傾角：4.2根軌跡的繪制方法漸近線交點：⑹根軌跡與虛軸交點：特征方程：勞斯行列表：s314s2

5Kgs1(20-Kg)/50s0

Kg=0Kg=20，Kk=Kg/4=55s2+Kg=5s2+20=0得：s=2j二階系統(tǒng)中加入一個極點，隨著Kg的增大，根軌跡向右偏移并穿過虛軸，使系統(tǒng)趨于不穩(wěn)定j2-j260

-60

-5/3-0.467-180

漸近線漸近線漸近線4、開環(huán)具有零點的三階系統(tǒng)Xr(s)Xc(s)其中Kg=K/TiT，-z1=-1/d，-p1=-1/T。(d=4T)本節(jié)返回本章返回4.2根軌跡的繪制方法⑴起點：有三個開環(huán)極點-p0=-p1=0，-p2=-1/T；三條⑵終點：有一個有限零點-z1=-1/d，兩個無限零點。⑶實軸上根軌跡：在實軸上-1/T~-1/d之間有根軌跡。⑷漸近線：有2條漸近線繪制根軌跡做=1/2的阻尼線，求此時特征根(3個)設d=4T漸近線

-1/T-1/4T0j60

-R1

▼▼-R2

▼-R3L1=L2L3l1求第3個特征根R3：由閉環(huán)特征方程：線性系統(tǒng)特征根之和等于特征方程中sn-1項系數(shù)特征根之積等于特征方程中常數(shù)項第二節(jié)根軌跡的繪制方法本節(jié)返回本章返回此時根軌跡放大系數(shù)Kg

系統(tǒng)開環(huán)放大系數(shù)K：本節(jié)返回本章返回由幅值條件：4.2根軌跡的繪制方法5、具有復數(shù)極點的四階系統(tǒng)Xr(s)Xc(s)本節(jié)返回本章返回

Kg=3Kk

4.2根軌跡的繪制方法⑴起點：四個開環(huán)極點0，-3，-1j1；有4條根軌跡⑵終點：一個開環(huán)有限零點-2，3個無限零點。⑶實軸上根軌跡：在0~-2和-3~-∞之間有根軌跡。⑷漸近線：有3條漸近線4.2根軌跡的繪制方法⑸出射角：sc1=-26.6，sc2=26.6

本節(jié)返回本章返回4.2根軌跡的繪制方法⑹根軌跡與虛軸的交點：閉環(huán)特征方程：s4+5s3+8s2+(6+Kg)s+2Kg=0s4182Kgs35（6+Kg）s28-(6+Kg)/52Kgs1(6+Kg)-10Kg/[8-(6+Kg)/5]0s02Kg

=0Kg=7，Kk=Kg/3=2.33[8-(6+Kg)/5]s2+2Kg=0得：s=j1.61

-3-2-10

▼▼-R4

-R3▼▼-R1-R260

-60

sc1=-26.6sc2=26.6-1.58-3.42=j1.61=-j1.61本節(jié)返回本章返回Kg=74.2根軌跡的繪制方法求根軌跡與虛軸相交時，另外兩個根R3、R4。即：R3=1.58，R4=3.42本節(jié)返回s4+5s3+8s2+(6+Kg)s+2Kg=0特征方程：本章返回R1+R2+R3+R4=(+j1.61)+(-j1.61)+R3+R4=5R1R2R3R4=(+j1.61)(-j1.61)R3R4=2Kg4.2.3零度根軌跡零度根軌跡：根軌跡的幅角條件滿足：

（=0，1，2，…）本節(jié)返回本章返回4.2根軌跡的繪制方法常見于非最小相位系統(tǒng)正反饋系統(tǒng)參數(shù)根軌跡的根軌跡Xr(s)Xc(s)其中：閉環(huán)特征方程：D(s)-KgN(s)=s(s+p1)-Kg(s-z1)=0即：本節(jié)返回本章返回非最小相位系統(tǒng)幅值條件：同前述相同幅角條件：（=0，1，2，…）本節(jié)返回本章返回一般情況：4.2根軌跡的繪制方法零度根軌跡繪制方法：⑴起點和終點（相同）：起點p0=0,-p1=-1/T1，終點z1=1/Ta和無限零點。⑵根軌跡數(shù)（相同）：有兩條。⑶實軸上根軌跡（不同）：存在的條件：它右側的零、極點數(shù)目之和為偶數(shù)即在0~-1/T1和1/Ta~∞之間存在根軌跡4.2根軌跡的繪制方法⑷分離點與匯合點（相同）——分離點——會合點復平面上的根軌跡是一個圓，圓心(1/Ta,0)，半徑4.2根軌跡的繪制方法⑸根軌跡與虛軸的交點（相同）特征方程：s(s+p1)-Kg(s-z1)=0s2+(p1-Kg)s+Kgz1=0勞斯表：s21Kgz1s1p1-Kg0s0Kgz1Kg=p1=1/T1

=0s2+Kgz1=0s2+p1z1=0本節(jié)返回本章返回4.2根軌跡的繪制方法

-p1s1p0z1s2

j本節(jié)返回本章返回結論：Kg<1/T1，系統(tǒng)穩(wěn)定Kg=1/T1，臨界穩(wěn)定Kg>1/T1，不穩(wěn)定4.2根軌跡的繪制方法Kg=1/T1

Xr(s)Xc(s)s系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)=內環(huán)閉環(huán)傳遞函數(shù)本節(jié)返回本章返回4.2.4參數(shù)根軌跡（廣義根軌跡）

常義根軌跡：以Kg作為變量的根軌跡。

廣義根軌跡：以Kg以外的參數(shù)作為變量的根軌跡。例4-7已知系統(tǒng)的結構圖，試以為變量繪制根軌跡。Xr(s)Xc(s)s系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)：閉環(huán)特征方程：等效開環(huán)傳遞函數(shù)：本節(jié)返回本章返回繪制以k為等效開環(huán)放大系數(shù)的根軌跡4.2根軌跡的繪制方法⑴起點和終點根軌跡始于開環(huán)極點:，本節(jié)返回本章返回根軌跡終止于有限零點s=0和一個無限零點。有兩條根軌跡。⑵實軸上根軌跡：在-∞~0之間有根軌跡。⑶匯合點4.2根軌跡的繪制方法（省略）根軌跡是一段圓弧，圓心為坐標原點，半徑為-p1-p2本節(jié)返回本章返回4.2根軌跡的繪制方法問題：取何值時，系統(tǒng)工作在欠阻尼狀態(tài)？求根軌跡會合時的值若使系統(tǒng)工作在欠阻尼狀態(tài)，的取值為：繪制廣義根軌跡，只要整理出系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)Weq，找到含有所研究參數(shù)的等效開環(huán)放大系數(shù)，即可把其轉換為常規(guī)根軌跡的繪制問題得：本節(jié)返回本章返回例4-9已知試：繪制以為參數(shù)的根軌跡，并利用根軌跡分析取何值時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。

解：閉環(huán)特征方程等效開環(huán)傳遞函數(shù)：零度根軌跡4.2根軌跡的繪制方法本節(jié)返回本章返回⑴起點和終點根軌跡始于開環(huán)極點：s=0，s=-1/2根軌跡終止于有限零點s=1，無限遠⑵實軸上根軌跡：在[-1/2，0]，[1~∞]⑶會合點和分離點分離點：會合點：4.2根軌跡的繪制方法本節(jié)返回本章返回閉環(huán)特征方程：(4)根軌跡與虛軸的交點>>><系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)系統(tǒng)處于不穩(wěn)定狀態(tài)4.2根軌跡的繪制方法本節(jié)返回本章返回利用根軌跡分析系統(tǒng)穩(wěn)定性在根軌跡上確定特征根4.3用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能本章返回利用根軌跡分析系統(tǒng)動態(tài)性能控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能分析開環(huán)零點對系統(tǒng)根軌跡的影響開環(huán)極點對系統(tǒng)根軌跡的影響開環(huán)傳遞函數(shù)繪制閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡4.3.1在根軌跡上確定特征根已知Kg在根軌跡上確定特征根的位置分析系統(tǒng)的性能——穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)性能、暫態(tài)性能本節(jié)返回本章返回考慮閉環(huán)零點的作用4.3用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能⑴在根軌跡上取一試點s0。⑵畫出s0與系統(tǒng)開環(huán)零、極點的連線，量出各連線的長度li,Lj。⑶把li,Lj代入幅值條件，求得Kg值。本節(jié)返回本章返回1、試探法（n-m>3）4.3用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能有兩種方法試探法先確定實軸上的特征根，再確定復數(shù)根——幅值條件▼L2s0L4L3l1L1-p4–p3-z1-p2-p12、先確定實軸上的特征根（即選擇試點）再確定復數(shù)根（n-m≤3）若滿足——找到不滿足——重試（根據(jù)代數(shù)方程中根與系數(shù)的關系）Xr(s)

Xc(s)解：⑴確定根軌跡起點、終點和根軌跡數(shù)：

起始于開環(huán)極點0、-1、-4終止于開環(huán)無限零點，有三條實軸上根軌跡：在0~-1和-4~-∞之間有根軌跡試確定Kg=10的特征根。本節(jié)返回例4-8系統(tǒng)結構圖為：本章返回

與虛軸的交點：

閉環(huán)特征方程為：

s3+5s2+4s

+Kg=0

勞斯行列表：

s314

s2

5Kgs1

(20-Kg)/50s0

Kg本節(jié)返回分離點：

s1=-0.467，s2=-2.869(忽略)本章返回令5s2+Kg=5s2+20=0得：s=2jKg=20jKg=f(-)Kg10-1=-4.6=-0.2+j1.46=-0.2-j1.46-2+j-2-j▼▼-4-102j-2j▼本節(jié)返回本章返回4.3用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能（Kg=20）（Kg=20）⑵確定Kg=10時實軸上特征根-1由作圖法確定Kg=10時，實軸上特征根-1

s=-=-4，Kg=0s=-=-4.5，Kg=7.875s=-=-4.7，Kg

=12.173s=-

=-5，Kg

=20

s=-

=-5.5，Kg

=37.125本節(jié)返回特征方程：s3+5s2+4s+Kg=0本章返回近似繪出Kg=f(-)曲線：

在-4~-∞之間取不同的試點s=-，代入特征方程中，求出對應的Kg值。⑶確定復根根據(jù)代數(shù)方程中根與系數(shù)的關系：得：1+(2+j)+(2-j)=5,

1(2+j)(2-j)=10得：2

=0.2，

=1.46兩個復根分別為：-0.2+j1.46,-0.2-j1.46本節(jié)返回本章返回s3+5s2+4s+Kg=04.3用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能本章返回本節(jié)返回K*<48——穩(wěn)定K*=48——臨界穩(wěn)定K*>48——不穩(wěn)定條件穩(wěn)定系統(tǒng)

（

用根軌跡法分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性）穩(wěn)定條件：本節(jié)返回本章返回典型二階系統(tǒng)：

特征方程繪制參數(shù)變化時的參數(shù)根軌跡：等效開環(huán)傳遞函數(shù)：起點（=0）：s1=+jn,s2=-jn，2條終點（）：s=0，負無窮遠分離點：4.3.2用根軌跡法分析系統(tǒng)的動態(tài)特性本節(jié)返回本章返回<<▼▼-n

阻尼線阻尼角強強弱弱n無阻尼振蕩角頻率本節(jié)返回本章返回暫態(tài)過程主要取決于離虛軸近的極點當R2≥6R1時，可忽略R2的影響-R2-R1▼▼單位階躍響應為單指數(shù)上升1、閉環(huán)系統(tǒng)有兩個負實極點2、閉環(huán)系統(tǒng)有一對復極點單位階躍響應為衰減振蕩特性離虛軸越近——震蕩越強-R1

-R2

▼▼本節(jié)返回本章返回討論：⑴n不變——系統(tǒng)的振蕩角頻率不變

↑→↓→特征根沿圓弧向虛軸靠近→振蕩加強

當=90о，=0，特征根到達虛軸，等幅振蕩

↓→↑→特征根沿圓弧向實軸靠近→振蕩減弱當=0о，=1，特征根會合于實軸，單指數(shù)遞增

本節(jié)返回本章返回▼▼4.3用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能強弱1

2

等阻尼比線等阻尼比線▼n▼n(慢)(快)-1n-1n本節(jié)返回本章返回同一條阻尼比線上的復極點具有相同的超調量，但響應速度不同⑵不變——系統(tǒng)的振蕩強弱不變-2-1等衰減系數(shù)線等衰減系數(shù)線小——振蕩強大——振蕩弱本節(jié)返回▼▼本章返回4.3用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能（3）n——衰減系數(shù)，有相同衰減系數(shù)的系統(tǒng)，將有相同的衰減速度和大致相同的調節(jié)時間3、閉環(huán)系統(tǒng)附加一個零點4、閉環(huán)系統(tǒng)附加一個實極點▼▼附加極點的作用：使系統(tǒng)相位滯后，相當于增加阻尼比，超調量減小，但調節(jié)時間增長-R-n-z-n▼▼附加零點的作用：使系統(tǒng)相位超前，相當于減小阻尼比，超調量增加當開環(huán)放大系數(shù)Kg≥Kl時，系統(tǒng)將變成不穩(wěn)定Kl

=6-2-1漸近線4.3.3開環(huán)零點對系統(tǒng)根軌跡的影響舉例說明：系統(tǒng)增加一個開環(huán)零點：s=-z⑴z>p2>p1

設z=3.6

-3.6-2-10漸近線-0.46Kl=10討論：0.3系統(tǒng)根軌跡向左偏移，臨界開環(huán)放大系數(shù)Kl有所增大，但性能改善不明顯，當開環(huán)放大系數(shù)：Kg

≥

Kl時，系統(tǒng)不穩(wěn)定。本節(jié)返回本章返回⑵p2>z>p1設z=1.6-0.8-0.54根軌跡繼續(xù)向左偏移，如果設計得當，閉環(huán)系統(tǒng)有三個極點，一個實極點，兩個共軛復數(shù)極點，且共軛復數(shù)極點離虛軸較近，為主導極點，系統(tǒng)近似為二階欠阻尼系統(tǒng)性能

-2-1.6-10漸近線本節(jié)返回本章返回⑶p2>p1>z

設z=0.6-1.42-1.2根軌跡繼續(xù)向左偏離，當設計得當，系統(tǒng)可有一個實極點和兩個復數(shù)極點，而且實極點離虛軸較近，系統(tǒng)近似為一階系統(tǒng)的特性，表現(xiàn)為單調變化的趨勢。

-2-1-0.6