1隨機變量的數(shù)字特征—概述

分布函數(shù)能完整地描述隨機變量的統(tǒng)計特性.但在某些實際問題中，并不需要全面考察隨機變量的變化情況，而只需要知道隨機變量的某些特征，因而并不需要求出它的分布函數(shù).

例如，在評定某一地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時，在許多場合只要知道該地區(qū)的平均產(chǎn)量；又如,檢查一批棉花的質(zhì)量時，既需要注意纖維的平均長度，又需要注意纖維長度與平均長度的偏離程度，平均長度較大、偏離程度較小，質(zhì)量就較好.

與隨機變量有關(guān)的某些數(shù)值，雖然不能完整地描述隨機變量，但能描述隨機變量在某些方面的重要特征.2第四章隨機變量的數(shù)字特征4.1數(shù)學(xué)期望

4.2方差4.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)4.4大數(shù)定律與中心極限定理3引例有甲、乙兩個射手，他們的射擊技術(shù)用下表表出：

射手乙試問哪個射手本領(lǐng)較好？

射手甲解設(shè)兩個選手各射N槍，則有

甲：8×0.3N＋9×0.1N＋10×0.6N=9.3N

乙：8×0.2N＋9×0.5N＋10×0.3N=9.1N

甲平均射中9.3環(huán)，乙平均射中9.1環(huán)，因此甲射手的本領(lǐng)好些.

在這一問題中，以平均值的大小為準(zhǔn)則，來判定射手的射擊水平的高低.由此產(chǎn)生了隨機變量的數(shù)學(xué)期望E(X)的概念.4

射手甲射手乙試問哪個射手本領(lǐng)好一些？

若兩個選手各射N槍，則甲的平均環(huán)數(shù)為：(8×0.4N＋9×0.1N＋10×0.5N)/N=9.1，乙的平均環(huán)數(shù)為:（8×0.2N＋9×0.5N＋10×0.3N)/N=9.1.

這時，可用量

來衡量射手的射擊水平的高低.D(X)它表示射擊環(huán)數(shù)對平均值的離散度.D(X)的值越小，表示射擊環(huán)數(shù)x越集中在平均環(huán)數(shù)E(X)的附近，這意味著射手的射擊水平越穩(wěn)定.由此便產(chǎn)生了方差的概念.但是，僅利用平均值這一指標(biāo)，來判定射手的射擊水平的高低還不夠.例如，54.1隨機變量的數(shù)學(xué)期望4.1.1隨機變量的數(shù)學(xué)期望4.1.2隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望4.1.3數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)64.1.1數(shù)學(xué)期望的定義—離散型設(shè)離散型隨機變量X的分布律為絕對收斂，則稱的和為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望（或均值），記為.即若級數(shù)7數(shù)學(xué)期望的定義—連續(xù)型設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x)，即若積分絕對收斂，則稱

的值為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望（或均值），記為E(X).8例1，2求二項分布的數(shù)學(xué)期望.解例2求普阿松分布的數(shù)學(xué)期望.9例3，4隨機變量X取值對應(yīng)的概率為求數(shù)學(xué)期望.解盡管但由于因此，隨機變量X的期望E(X)不存在.例4隨機變量X服從指數(shù)分布求數(shù)學(xué)期望.解104.1.2隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望11例512例6

若將這兩個電子裝置串聯(lián)連接組成整機,求整機壽命(以小時計)N的數(shù)學(xué)期望.

有兩個相互獨立工作的電子裝置，它們的壽命服從同一指數(shù)分布，其概率密度為

1314隨機向量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望15隨機向量的分量的數(shù)學(xué)期望則有從而有16例7174.1.3數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)18例819即20矩的概念214.2隨機變量的方差4.2.1方差的定義4.2.2方差的性質(zhì)224.2.1隨機變量方差的定義23方差與數(shù)學(xué)期望的關(guān)系24例925例10

264.2.2方差的性質(zhì)27例11

2829例12

304.2.3標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的期望與方差31正態(tài)分布的期望與方差32正態(tài)隨機變量的線性組合—再生性3334例133536例14374.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)4.3.1定義4.3.2性質(zhì)4.3.3不相關(guān)與獨立384.3.1協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的定義39協(xié)方差與期望、方差的關(guān)系40例15

41424.3.2協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)43例16證明444.3.3不相關(guān)與獨立45不相關(guān)與獨立間的關(guān)系不相關(guān)獨立相關(guān)46例171/41/41/41/4P{X=j}1/21/4001/441/201/41/401P{Y=i}21-1-2

X

Y471/41/41/41/41/4P{X=j}1/21/4001/441/201/401P{Y=i}21-1-2

X

Y484.4.1大數(shù)定律的內(nèi)容辛欽大數(shù)定律（弱大數(shù)定律）49貝努里大數(shù)定律雖然某個事件在某一次實驗中可以出現(xiàn)，也可以不出現(xiàn).但是，在大量重復(fù)試驗中卻呈現(xiàn)明顯的規(guī)律性，即一個隨機事件出現(xiàn)的頻率在某個固定數(shù)的附近擺動，即所謂“頻率穩(wěn)定性”.顯然，貝努里大數(shù)定律是辛欽大數(shù)定律的特殊情況.雅各布第一貝努里（1652—1705）在《推測術(shù)》(1713年出版)中首先證明了這個規(guī)律.50大數(shù)定律的意義大數(shù)定律給出了在試驗次數(shù)很大時頻率和平均值的穩(wěn)定性，從理論上肯定了用算術(shù)平均值代替均值，用頻率代替概率的合理性.它既驗證了概率論中一些假設(shè)的合理性，又為數(shù)理統(tǒng)計中用樣本推斷總體提供了理論根據(jù)，所以說，大數(shù)定律是概率論中最重要的基本定律.514.4.2中心極限定理的內(nèi)容52林德伯格—萊維定理53中心極限定理的意義正態(tài)分布是現(xiàn)實生活中使用最多、最廣泛、最重要的一種分布.許多隨機變量本身并不服從正態(tài)分布，但在某些條件下，這些隨機變量之和的分布的極限是正態(tài)分布，即在一定的條件下，原來不服從正態(tài)分布的隨機變量的和的分布漸近地服從正態(tài)分布.中心極限定理為利用正態(tài)分布來解決這類隨機變量的概率問題提供了理論依據(jù).大數(shù)定律與中心極限定理都是通過極限理論來研究概率問題，研究的對象都是隨機變量序列，解決的都是概率論中的基本問題，因而在概率論中有重要的意義.所不同的是，大數(shù)定律研究平均值的極限，而中心極限定理則研究隨機變量總和分布的極限.54例185556例19575859德莫佛——拉普拉斯定理60概率計算公式61近似計算公式62例20

6364例21

65附錄1極限定理發(fā)展簡史

概率論歷史上第一個極限定理屬于貝努里，他于1713年提出，泊松于1837年稱之為“大數(shù)定律”.概率論中討論隨機變量序列的算術(shù)平均值收斂于常數(shù)的定律.它是概率論與數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的基本定律之一.又稱為弱大數(shù)理論.

1733年，徳莫佛--拉普拉斯在分布的極限定理方面走出了根本性的一步，證明了二項分布的極限分布是正態(tài)分布.拉普拉斯改進了他的證明并把二項分布推廣為更一般的分布.1900年，李雅普諾夫進一步推廣了他們的證明，并創(chuàng)立了特征函數(shù)法。這類分布極限問題是當(dāng)時概率論研究的中心問題，波利亞于1920年為之命名為“中心極限定理”.20世紀(jì)初，主要探討使中心極限定理成立的最廣泛的條件，二三十年代的林德貝格條件和費勒條件是獨立隨機變量序列情況下的顯著進展.66附錄2隨機向量的數(shù)學(xué)期望和方差67附錄3

補充題16869補充題